Universale Algebra (hat manchmal allgemeine Algebra genannt), ist das Feld der Mathematik, die algebraische Strukturen selbst, nicht Beispiele ("Modelle") von algebraischen Strukturen studiert.

Zum Beispiel, anstatt besondere Gruppen als der Gegenstand der Studie in der universalen Algebra zu nehmen, nimmt man "die Theorie von Gruppen" als ein Gegenstand der Studie.

Grundidee

Aus dem Gesichtswinkel von der universalen Algebra ist eine Algebra (oder algebraische Struktur) ein Satz zusammen mit einer Sammlung von Operationen auf A. Eine n-stufige Operation' auf A ist eine Funktion, die n Elemente von A nimmt und ein einzelnes Element von A zurückgibt. So können eine 0-ary Operation (oder nullary Operation) einfach als ein Element von A oder eine Konstante vertreten werden, die häufig durch einen Brief wie a angezeigt ist. Eine 1-ary Operation (oder unäre Operation) sind einfach eine Funktion von bis A, der häufig durch ein Symbol angezeigt ist, das vor seinem Argument wie ~x gelegt ist. Eine 2-ary Operation (oder binäre Operation) werden häufig durch ein Symbol angezeigt, das zwischen seinen Argumenten, wie x * y gelegt ist. Operationen von höherem oder unangegebenem arity werden gewöhnlich durch Funktionssymbole mit den Argumenten angezeigt, die in Parenthesen gelegt sind, und haben sich durch Kommas, wie f (x, y, z) oder f (x..., x) getrennt. Einige Forscher erlauben infinitary Operationen, solcher als, wo J ein unendlicher Index-Satz ist, so in die algebraische Theorie von ganzen Gittern führend. Eine Sprechweise über eine Algebra ist dann durch das Kennzeichnen davon als eine Algebra eines bestimmten Typs, wo eine bestellte Folge von natürlichen Zahlen ist, die den arity der Operationen der Algebra vertreten.

Gleichungen

Nachdem die Operationen angegeben worden sind, kann die Natur der Algebra weiter durch Axiome beschränkt werden, die in der universalen Algebra häufig die Form der Identität oder equational Gesetze annehmen. Ein Beispiel ist das assoziative Axiom für eine binäre Operation, die durch die Gleichung x * (y * z) = (x * y) * z gegeben wird. Das Axiom ist beabsichtigt, um für alle Elemente x, y, und z des Satzes A zu halten.

Varianten

Eine algebraische Struktur, die durch die Identität definiert werden kann, wird eine Vielfalt genannt, und diese sind genug wichtig, dass einige Autoren Varianten als den einzigen Gegenstand der Studie in der universalen Algebra betrachten, während andere sie als einen Gegenstand betrachten.

Das Einschränken von jemandes Studie zu Varianten schließt aus:

• Prädikat-Logik, namentlich Quantifizierung, einschließlich der existenziellen Quantifizierung und universalen Quantifizierung
• Beziehungen, einschließlich der Ungleichheit, beider und Ordnungsbeziehungen

In dieser schmaleren Definition kann universale Algebra als ein spezieller Zweig der Mustertheorie gesehen werden, in der wir uns normalerweise mit Strukturen habende Operationen befassen nur (d. h. der Typ Symbole für Funktionen, aber nicht für Beziehungen außer der Gleichheit haben kann), und in dem die Sprache gepflegt hat, über diese Struktur-Gebrauch-Gleichungen nur zu sprechen.

Nicht alle algebraischen Strukturen in einem breiteren Sinn fallen in dieses Spielraum. Zum Beispiel werden befohlene Gruppen in der universalen Hauptströmungsalgebra nicht studiert, weil sie eine Einrichtungsbeziehung einschließen.

Eine grundsätzlichere Beschränkung besteht darin, dass universale Algebra die Klasse von Feldern nicht studieren kann, weil es keinen Typ gibt, in dem alle Feldgesetze als Gleichungen geschrieben werden können (Gegenteile von Elementen werden für alle Nichtnullelemente in einem Feld definiert, so kann Inversion nicht zum Typ einfach hinzugefügt werden).

Ein Vorteil dieser Beschränkung besteht darin, dass die in der universalen Algebra studierten Strukturen in jeder Kategorie definiert werden können, die begrenzte Produkte hat. Zum Beispiel ist eine topologische Gruppe gerade eine Gruppe in der Kategorie von topologischen Räumen.

Beispiele

Die meisten üblichen algebraischen Systeme der Mathematik sind Beispiele von Varianten, aber nicht immer auf eine offensichtliche Weise - die üblichen Definitionen schließen häufig Quantifizierung oder Ungleichheit ein.

Gruppen

Um zu sehen, wie das arbeitet, wollen wir die Definition einer Gruppe denken. Normalerweise wird eine Gruppe in Bezug auf eine einzelne binäre Operation *, Thema diesen Axiomen definiert:

• Associativity (als in der vorherigen Abteilung): x * (y * z) = (x * y) * z.
• Identitätselement: Dort besteht ein Element e solch das für jedes Element x, e * x = x = x * e.
• Umgekehrtes Element: Es kann leicht gesehen werden, dass das Identitätselement einzigartig ist. Wenn wir dieses einzigartige Identitätselement durch e dann für jeden x anzeigen, dort besteht ein Element i solch dass x * ich = e = ich * x.

(Manchmal werden Sie auch ein Axiom genannt "Verschluss" sehen, feststellend, dass x * y dem Satz gehört, wann auch immer x und y tun. Aber aus einem Gesichtspunkt eines universalen algebraist, der bereits einbezogen wird, wenn Sie * eine binäre Operation rufen.)

Jetzt ist diese Definition einer Gruppe aus dem Gesichtswinkel von der universalen Algebra problematisch. Der Grund besteht darin, dass die Axiome des Identitätselements und der Inversion rein in Bezug auf equational Gesetze nicht festgesetzt werden sondern auch Klauseln haben, die den Ausdruck einschließen, "dort besteht... solch dass...". Das ist ungünstig; die Liste von Gruppeneigenschaften kann zu allgemein gemessenen Gleichungen vereinfacht werden, wenn wir eine nullary Operation e und eine unäre Operation ~ zusätzlich zur binären Operation * hinzufügen, dann die Axiome für diese drei Operationen wie folgt verzeichnen:

• Associativity: x * (y * z) = (x * y) * z.
• Identitätselement: e * x = x = x * e.
• Umgekehrtes Element: x * (~x) = e = (~x) * x.

(Natürlich schreiben wir gewöhnlich "x "statt" ~x", der zeigt, dass die Notation für Operationen von niedrigem arity immer als im zweiten Paragrafen nicht gegeben wird.)

Was sich geändert hat, ist, dass in der üblichen Definition es gibt:

• eine einzelne binäre Operation (Unterschrift (2))
• 1 equational Gesetz (associativity)
• 2 gemessene Gesetze (Identität und Gegenteil)

... während in der universalen Algebra-Definition es gibt

• 3 Operationen: eine Dualzahl, eine unäre, und ein nullary (Unterschrift (2,1,0))
• 3 equational Gesetze (associativity, Identität und Gegenteil)
• keine gemessenen Gesetze

Es ist wichtig zu überprüfen, dass das wirklich die Definition einer Gruppe gewinnt. Der Grund, dass es nicht könnte, besteht darin, dass das Spezifizieren von einer dieser universalen Gruppen mehr Information geben könnte als das Spezifizieren von einer der üblichen Art der Gruppe. Immerhin hat nichts in der üblichen Definition gesagt, dass das Identitätselement e einzigartig war; wenn es ein anderes Identitätselement e gibt' dann ist es zweideutig, welcher der Wert des nullary Maschinenbedieners e sein sollte. Jedoch ist das nicht ein Problem, weil, wie man beweisen kann, Identitätselemente immer einzigartig sind. Dasselbe Ding trifft auf umgekehrte Elemente zu. So ist die Definition des universalen algebraist einer Gruppe wirklich zur üblichen Definition gleichwertig.

Auf den ersten Blick ist das einfach ein technischer Unterschied, gemessene Gesetze durch equational Gesetze ersetzend. Jedoch hat es unmittelbare praktische Folgen - wenn es einen Gruppengegenstand in der Kategorie-Theorie definiert, wo der fragliche Gegenstand kein Satz sein kann, muss man equational Gesetze verwenden (die Sinn in allgemeinen Kategorien haben), und gemessene Gesetze nicht verwenden kann (die nicht tun, weil Gegenstände in allgemeinen Kategorien Elemente nicht haben). Weiter besteht die Perspektive der universalen Algebra nicht nur darauf, dass das Gegenteil und die Identität bestehen, aber dass sie, Karten in der Kategorie sein. Das grundlegende Beispiel ist einer topologischen Gruppe - nicht nur muss das Gegenteil, mit dem Element klug, aber die umgekehrte Karte zu bestehen, muss dauernd sein (einige Autoren verlangen auch, dass die Identitätskarte eine geschlossene Einschließung, folglich cofibration ist, wieder sich auf Eigenschaften der Karte beziehend).

Grundlegende Aufbauten

Wir nehmen an, dass der Typ befestigt worden ist. Dann gibt es drei grundlegende Aufbauten in der universalen Algebra: Homomorphic-Image, Subalgebra und Produkt.

Ein Homomorphismus zwischen zwei Algebra A und B ist eine Funktion h: Ein  B vom Satz zum Satz B solch dass, für jede Operation f (arity, sagen wir, n), h (f (x..., x)) = f (h (x)..., h (x)). (Hier werden Subschriften auf f gelegt, um anzuzeigen, ob es die Version von f in A oder B ist. In der Theorie konnten Sie das vom Zusammenhang erzählen, so werden diese Subschriften gewöhnlich weggelassen.) Zum Beispiel, wenn e eine Konstante (nullary Operation), dann h (e) = e ist. Wenn ~ eine unäre Operation, dann h (~x) = ~h (x) ist. Wenn * eine binäre Operation, dann h (x * y) = h (x) * h (y) ist. Und so weiter. Einige der Dinge, die mit dem Homomorphismus, sowie den Definitionen von bestimmten speziellen Arten des Homomorphismus getan werden können, werden unter dem Zugang-Homomorphismus verzeichnet. Insbesondere wir können das homomorphic Image einer Algebra, h (A) nehmen.

Eine Subalgebra von A ist eine Teilmenge, der unter allen Operationen von A geschlossen wird. Ein Produkt von einem Satz von algebraischen Strukturen ist das kartesianische Produkt der Sätze mit definiertem coordinatewise der Operationen.

Einige grundlegende Lehrsätze

• Die Isomorphismus-Lehrsätze, die die Isomorphismus-Lehrsätze von Gruppen, Ringen, Modulen usw. umfassen.
• Der HSP Lehrsatz von Birkhoff, der feststellt, dass eine Klasse von Algebra eine Vielfalt ist, wenn, und nur wenn es unter homomorphic Images, Subalgebra und willkürlichen direkten Produkten geschlossen wird.

Motivationen und Anwendungen

Zusätzlich zu seiner Vereinheitlichen-Annäherung gibt universale Algebra auch tiefe Lehrsätze und wichtige Beispiele und Gegenbeispiele. Es stellt ein nützliches Fachwerk für diejenigen zur Verfügung, die vorhaben, die Studie von neuen Klassen von Algebra anzufangen.

Es kann den Gebrauch von Methoden ermöglichen, die für einige besondere Klassen von Algebra zu anderen Klassen von Algebra, durch das Umgießen der Methoden in Bezug auf die universale Algebra (wenn erfunden sind, möglich), und dann diese in Bezug auf andere Klassen interpretierend. Es hat auch Begriffserläuterung zur Verfügung gestellt; wie J.D.H. Smith, "Sagt, welche Blicke, die unordentlich und in einem besonderen Fachwerk kompliziert sind, sich erweisen können, einfach und im richtigen allgemeinen offensichtlich zu sein."

Insbesondere universale Algebra kann auf die Studie von monoids, Ringen und Gittern angewandt werden. Bevor universale Algebra mitgekommen ist, wurden viele Lehrsätze (am meisten namentlich die Isomorphismus-Lehrsätze) getrennt in allen diesen Feldern bewiesen, aber mit der universalen Algebra können sie ein für allemal für jede Art des algebraischen Systems bewiesen werden.

Dem 1956-Vortrag von Higgins, der unten Verweise angebracht ist, ist für sein Fachwerk für eine Reihe von besonderen algebraischen Systemen gut gefolgt worden, während sein 1963-Papier für seine Diskussion von Algebra mit Operationen bemerkenswert ist, die nur, typische Beispiele dafür teilweise definiert werden, Kategorien und groupoids seiend. Das geht zum Thema der höheren dimensionalen Algebra voran, die als die Studie von algebraischen Theorien mit teilweisen Operationen definiert werden kann, deren Gebiete unter geometrischen Bedingungen definiert werden. Bemerkenswerte Beispiele von diesen sind verschiedene Formen von höheren dimensionalen Kategorien und groupoids.

Kategorie-Theorie und operads

Ein mehr verallgemeinertes Programm entlang diesen Linien wird durch die Kategorie-Theorie ausgeführt.

In Anbetracht einer Liste von Operationen und Axiomen in der universalen Algebra sind die entsprechenden Algebra und der Homomorphismus die Gegenstände und morphisms einer Kategorie.

Kategorie-Theorie gilt für viele Situationen, wo universale Algebra nicht tut, die Reichweite der Lehrsätze erweiternd. Umgekehrt verallgemeinern viele Lehrsätze, die in der universalen Algebra halten, den ganzen Weg zur Kategorie-Theorie nicht. So sind beide Studienfächer nützlich.

Eine neuere Entwicklung in der Kategorie-Theorie, die Operationen verallgemeinert, ist operad Theorie - ein operad ist eine Reihe von Operationen, die einer universalen Algebra ähnlich ist.

Geschichte

Im Buch von Alfred North Whitehead Eine Abhandlung auf der Universalen Algebra, veröffentlicht 1898, der Begriff hatte universale Algebra im Wesentlichen dasselbe Meinen, dass es heute hat. Kredite von Whitehead William Rowan Hamilton und Augustus De Morgan als Schöpfer des Gegenstands und James Joseph Sylvester mit dem Münzen des Begriffes selbst.

An den Zeitstrukturen, die Liegen, haben Algebra und hyperbolischer quaternions Aufmerksamkeit auf das Bedürfnis gelenkt, algebraische Strukturen darüber hinaus assoziativ multiplicative Klasse auszubreiten. In einer Rezension hat Alexander Macfarlane geschrieben: "Die Hauptidee von der Arbeit ist nicht Vereinigung der mehreren Methoden, noch Generalisation der gewöhnlichen Algebra, um sie, aber eher die vergleichende Studie ihrer mehrerer Strukturen einzuschließen." In der Zeit hat die Algebra von George Boole der Logik einen starken Kontrapunkt zur gewöhnlichen Zahl-Algebra, so der Begriff "universaler" gemacht, der gedient ist, um gespannte Feingefühle zu beruhigen.

Die frühe Arbeit von Whitehead hat sich bemüht, quaternions (wegen Hamiltons), der Ausdehnungslehre von Grassmann und die Algebra von Boole der Logik zu vereinigen. Whitehead hat in seinem Buch geschrieben:

: "Solche Algebra haben einen inneren Wert für die getrennte ausführliche Studie; auch sie sind der vergleichenden Studie wegen des Lichtes würdig, das dadurch auf der allgemeinen Theorie des symbolischen Denkens, und auf der algebraischen Symbolik geworfen ist insbesondere. Die vergleichende Studie setzt notwendigerweise etwas vorherige getrennte Studie, Vergleich voraus, der ohne Kenntnisse unmöglich ist."

Whitehead hatte jedoch keine Ergebnisse einer allgemeinen Natur. Die Arbeit am Thema war bis zum Anfang der 1930er Jahre minimal, als Garrett Birkhoff und Erz von Øystein begonnen haben, auf universalen Algebra zu veröffentlichen. Entwicklungen in metamathematics und Kategorie-Theorie haben in den 1940er Jahren und 1950er Jahren das Feld, besonders die Arbeit von Abraham Robinson, Alfred Tarski, Andrzej Mostowski und ihren Studenten (Brainerd 1967) gefördert.

In der Periode zwischen 1935 und 1950 wurden die meisten Papiere entlang den von den Papieren von Birkhoff angedeuteten Linien geschrieben, sich mit freien Algebra, Kongruenz und Subalgebra-Gittern und Homomorphismus-Lehrsätzen befassend. Obwohl die Entwicklung der mathematischen Logik Anwendungen auf die Algebra möglich gemacht hatte, sind sie langsam geschehen; Ergebnisse, die von Anatoly Maltsev in den 1940er Jahren veröffentlicht sind, sind unbemerkt wegen des Krieges gegangen. Der Vortrag von Tarski in 1950, den der Internationale Kongress von Mathematikern in Cambridge in einer neuen Periode hineingeführt hat, in der mustertheoretische Aspekte, hauptsächlich von Tarski selbst, sowie C.C. Chang, Leon Henkin, Bjarni Jónsson, Roger Lyndon und anderen entwickelt wurden.

Gegen Ende der 1950er Jahre hat Edward Marczewski die Wichtigkeit von freien Algebra betont, zur Veröffentlichung von mehr als 50 Papieren auf der algebraischen Theorie von freien Algebra durch Marczewski selbst, zusammen mit Jan Mycielski, Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J führend. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik und andere.

Siehe auch

• Graph-Algebra
• Homomorphismus
• Gitter-Theorie
• Unterschrift
• Begriff-Algebra
• Vielfalt
• Klon
• Universale algebraische Geometrie

Kommentare

• Bergman, George M., 1998. Eine Einladung zur Allgemeinen Algebra und den Universalen Aufbauten (Bar. Henry Helson, 15 der Halbmond, Berkeley CA, 94708) 398 Internationale Seiten-Standardbuchnummer 0-9655211-4-1.
• Birkhoff, Garrett, 1946. Universale Algebra. Comptes Rendus du Premier Congrès Canadien de Mathématiques, Universität der Toronto Presse, Torontos, Seiten 310-326.
• Brainerd, Barron, Aug-Sep 1967. Rezension der Universalen Algebra durch P. M. Cohn. Amerikaner Mathematisch Monatlich, 74 (7): 878-880.
• Burris, Stanley N. und H.P. Sankappanavar, 1981. Ein Kurs im Universalen Algebra-Springer-Verlag. Internationale Standardbuchnummer 3-540-90578-2 Gratis online Ausgabe.
• Cohn, Paul Moritz, 1981. Universale Algebra. Dordrecht, die Niederlande: D.Reidel Publishing. Internationale Standardbuchnummer 90-277-1213-1 (Zuerst veröffentlicht 1965 von Harper & Row)
• Stopp, Ralph und Ralph McKenzie, 1987. Umschalter-Theorie für die Kongruenz Modulvarianten, 1. Hrsg. London Mathematische Gesellschaftsvortrag-Zeichen-Reihe, 125. Cambridge Univ. Drücken. Internationale Standardbuchnummer 0-521-34832-3. Gratis online die zweite Ausgabe.
• Grätzer, George, 1968. Universal Algebra D. Van Nostrand Company, Inc.
• Higgins, P. J. Gruppen mit vielfachen Maschinenbedienern. Proc. Londoner Mathematik. Soc. (3) 6 (1956), 366-416.
• Higgins, P.J. Algebra mit einem Schema von Maschinenbedienern. Mathematik. Nachr. (27) (1963) 115-132.
• Hobby, David und Ralph McKenzie, 1988. Die Struktur des Begrenzten Algebra-Amerikaners Mathematische Gesellschaft. Internationale Standardbuchnummer 0-8218-3400-2. Gratis online Ausgabe.
• Jipsen, Peter und Henry Rose, 1992. Varianten von Gittern, Vortrag-Zeichen in der Mathematik 1533. Springer Verlag. Internationale Standardbuchnummer 0-387-56314-8. Gratis online Ausgabe.
• Pigozzi, Don. Allgemeine Theorie von Algebra.
• Schmied, J.D.H., 1976. Varianten von Mal'cev, Springer-Verlag.
• Whitehead, Alfred North, 1898. Eine Abhandlung auf der Universalen Algebra, Cambridge. (Hauptsächlich vom historischen Interesse.)

Links

• Algebra Universalis — eine der Universalen Algebra gewidmete Zeitschrift.