In der Arithmetik ist lange Abteilung ein Standardverfahren, das passend ist, um einfache oder komplizierte Mehrziffer-Zahlen zu teilen. Es bricht ein Abteilungsproblem in eine Reihe von leichteren Schritten. Als in allen Abteilungsproblemen, einer Zahl, hat die Dividende genannt, wird von einem anderen geteilt, den Teiler genannt, das Erzeugen eines Ergebnisses hat den Quotienten genannt. Es ermöglicht Berechnung, die mit willkürlich großer Anzahl verbunden ist, durch den folgenden eine Reihe von einfachen Schritten durchgeführt zu werden. Die abgekürzte Form der langen Abteilung wird kurze Abteilung genannt, die fast immer statt der langen Abteilung verwendet wird, wenn der Teiler nur eine Ziffer hat.

Platz in der Ausbildung

Heute sind billige Rechenmaschinen und Computer die allgemeinste Weise geworden, Abteilungsprobleme zu beheben, die traditionelle Bildungsbefehlsform vermindernd, um zu wissen, wie man so durch Papier und Bleistift-Techniken tut. (Innerlich verwenden jene Geräte eine einer Vielfalt von Abteilungsalgorithmen). In den Vereinigten Staaten ist lange Abteilung besonders für die De-Betonung oder sogar Beseitigung aus dem Schullehrplan durch die Reformmathematik, obwohl traditionell eingeführt, in den 4. oder 5. Rängen ins Visier genommen worden. Einige Lehrpläne wie Tägliche Mathematik lehren, dass Sondermethoden, oder im Fall von TERC behaupten, dass lange Abteilungsnotation selbst nicht mehr in der Mathematik ist. Jedoch haben viele in der Mathematik-Gemeinschaft behauptet, dass arithmetische Standardmethoden wie lange Abteilung fortsetzen sollten, unterrichtet zu werden.

Methode

In englisch sprechenden Ländern verwendet lange Abteilung den Hieb (/) oder obelus (÷) Zeichen nicht, stattdessen, Teiler, und zeigend (sobald es gefunden wird) der Quotient in einem Gemälde.

Der Prozess wird durch das Teilen ganz links Ziffer der Dividende durch den Teiler begonnen. Der Quotient (nach unten abgerundet zu einer ganzen Zahl) wird die erste Ziffer des Ergebnisses, und der Rest wird berechnet (dieser Schritt wird als eine Subtraktion in Notenschrift geschrieben). Dieser Rest trägt vor, wenn der Prozess auf der folgenden Ziffer der Dividende (in Notenschrift geschrieben als 'das Herunterbringen' der folgenden Ziffer zum Rest) wiederholt wird. Als alle Ziffern bearbeitet worden sind und kein Rest verlassen wird, ist der Prozess abgeschlossen.

Ein Beispiel wird unten gezeigt, die Abteilung 500 durch 4 (mit einem Ergebnis 125) vertretend.

(Erklärungen)

4) 500

(4 × = 4)

0 (5 - 4 =)

(4 × = 8)

0 (10 - 8 =)

(4 × = 20)

0 (20 - 20 = 0)

Im obengenannten Beispiel ist der erste Schritt, die kürzeste Folge von Ziffern zu finden, die vom linken Ende der Dividende, 500 anfangen, dass der Teiler 4 mindestens einmal eintritt; diese kürzeste Folge in diesem Beispiel ist einfach die erste Ziffer, 5. Die größte Zahl, dass der Teiler 4 multipliziert werden kann mit, ohne 5 zu weit zu gehen, ist 1, so wird die Ziffer 1 über den 5 gestellt, um anzufangen, den Quotienten zu bauen. Dann wird 1 mit dem Teiler 4 multipliziert, um die größte ganze Zahl zu erhalten (4 in diesem Fall), der ein Vielfache des Teilers 4 ist, ohne die 5 zu überschreiten; dieses Produkt von 1mal 4 ist 4, so 4 wird unter den 5 gelegt. Als nächstes werden die 4 unter den 5 von den 5 abgezogen, um den Rest, 1 zu bekommen, der unter den 4 unter den 5 gelegt wird. Dieser Rest 1 ist notwendigerweise kleiner als der Teiler 4. Als nächstes wird die erste bis jetzt unbenutzte Ziffer in der Dividende, in diesem Fall die erste Ziffer 0 nach den 5, direkt unter selbst und neben dem Rest 1 kopiert, um die Nummer 10 zu bilden. An diesem Punkt wird der Prozess genug Male wiederholt, um einen anhaltenden Punkt zu erreichen: Die größte Zahl, durch die der Teiler 4 multipliziert werden kann, ohne 10 zu weit zu gehen, ist 2, so 2 wird über 0 geschrieben, der neben den 5 — d. h. direkt über der letzten Ziffer in den 10 ist. Dann wird der letzte Zugang zum Quotienten, 2, mit dem Teiler 4 multipliziert, um 8 zu kommen, der das größte Vielfache 4 ist, der 10 nicht zu weit geht; so 8 wird unten 10 geschrieben, und die Subtraktion 10 minus 8 wird durchgeführt, um den Rest 2 zu bekommen, der unter den 8 gelegt wird. Dieser Rest 2 ist notwendigerweise kleiner als der Teiler 4. Die folgende Ziffer der Dividende (letzter 0 in 500) wird direkt unter sich und neben dem Rest 2 kopiert, um sich 20 zu formen. Dann wird die größte Zahl, durch die der Teiler 4 multipliziert werden kann, ohne 20 zu weit zu gehen, festgestellt; diese Zahl ist 5, so 5 wird über der letzten Dividendenziffer gelegt, die (d. h., über niedrigstwertigem 0 in 500) heruntergebracht wurde. Dann wird diese neue Quotient-Ziffer 5 mit dem Teiler 4 multipliziert, um 20 zu kommen, der am Boden unter den vorhandenen 20 geschrieben wird. Dann 20 wird von 20 abgezogen, 0 tragend, der unter den 20 geschrieben wird. Wir wissen, dass wir jetzt getan werden, weil zwei Dinge wahr sind: Es gibt keine Ziffern mehr, um von der Dividende herunterzubringen, und das letzte Subtraktionsergebnis war 0.

Wenn der letzte Rest, als wir an Dividendenziffern knapp geworden sind, etwas anderes gewesen wäre als 0, hätte es zwei mögliche Kurse der Handlung gegeben. (1) konnten Wir gerade dort anhalten und sagen, dass die durch den Teiler geteilte Dividende der Quotient geschrieben oben mit dem am Boden geschriebenen Rest ist; gleichwertig konnten wir die Antwort als der Quotient schreiben, der von einem Bruchteil gefolgt ist, der der durch die Dividende geteilte Rest ist. Oder (2) konnten wir die Dividende erweitern, indem wir es als, sagen wir, 500.000 geschrieben haben..., und den Prozess fortsetzen (einen dezimalen Punkt im Quotienten direkt über dem dezimalen Punkt in der Dividende verwendend), um eine dezimale Antwort, als im folgenden Beispiel zu bekommen.

4) 127.00

(12-12=0, der über die folgende Linie geschrieben wird)

07 (die sieben wird von der Dividende 127 heruntergebracht)

30 (3 ist der Rest, der durch 4 geteilt wird, um 0.75 zu geben)

(7 × 4 = 28)

20 (wird eine zusätzliche Null heruntergebracht)

(5 × 4 = 20)

0

In diesem Beispiel wird der dezimale Teil des Ergebnisses durch das Fortsetzen des Prozesses außer der Einheitsziffer, "das Herunterbringen" von Nullen als seiend der dezimale Teil der Dividende berechnet.

Dieses Beispiel illustriert auch, dass, am Anfang des Prozesses, ein Schritt, der eine Null erzeugt, weggelassen werden kann. Da die erste Ziffer 1 weniger ist als der Teiler 4, wird der erste Schritt stattdessen auf den ersten zwei Ziffern 12 durchgeführt. Ähnlich, wenn der Teiler 13 wäre, würde man den ersten Schritt auf 127 aber nicht 12 oder 1 durchführen.

Grundlegendes Verfahren für die lange Abteilung durch die Langschrift

Wenn

1. er zwei Zahlen, zum Beispiel, n geteilt durch die M teilt, ist n die Dividende, und M ist der Teiler; die Antwort ist der Quotient.
2. Finden Sie die Position aller dezimalen Punkte in der Dividende und dem Teiler.
3. Vereinfachen Sie nötigenfalls das lange Abteilungsproblem, indem Sie die Dezimalzahlen des Teilers und der Dividende durch dieselbe Zahl von dezimalen Plätzen nach rechts bewegen, (oder nach links), so dass die Dezimalzahl des Teilers rechts von der letzten Ziffer ist.

Wenn

1. Sie lange Abteilung tun, halten Sie die Zahlen aufgestellt gerade von oben bis unten laut des Gemäldes.
2. Nach jedem Schritt, sicher sein, ist der Rest für diesen Schritt weniger als der Teiler. Wenn es nicht ist, gibt es drei mögliche Probleme: Die Multiplikation ist falsch, die Subtraktion ist falsch, oder ein größerer Quotient ist erforderlich.
3. Schließlich wird der Rest, r, zum wachsenden Quotienten als ein Bruchteil, r/m hinzugefügt.

Interpretation von dezimalen Ergebnissen

Wenn der Quotient nicht ist, werden eine ganze Zahl und der Abteilungsprozess außer dem dezimalen Punkt erweitert, eines von zwei Dingen kann geschehen. (1) kann Der Prozess enden, was bedeutet, dass ein Rest 0 erreicht wird; oder (2) konnte ein Rest erreicht werden, der zu einem vorherigen Rest identisch ist, der vorgekommen ist, nachdem die dezimalen Punkte geschrieben wurden. Im letzten Fall, den Prozess fortsetzend, würde sinnlos sein, weil von diesem Punkt vorwärts dieselbe Folge von Ziffern im Quotienten immer wieder erscheinen würde. So wird eine Bar über die sich wiederholende Folge gezogen, um anzuzeigen, dass es sich für immer wiederholt.

Notation in englisch nichtsprechenden Ländern

China, Japan und Indien verwenden dieselbe Notation wie englische Sprecher. Anderswohin werden dieselben allgemeinen Grundsätze verwendet, aber die Zahlen werden häufig verschieden eingeordnet.

Lateinamerika

In Lateinamerika (außer Mexiko, Kolumbien, Venezuela und Brasilien), ist die Berechnung fast genau dasselbe, aber wird verschieden wie gezeigt, unten mit denselben zwei Beispielen niedergeschrieben, die oben verwendet sind. Gewöhnlich wird der Quotient unter einer unter dem Teiler gezogenen Bar geschrieben. Eine lange vertikale Linie wird manchmal rechts von den Berechnungen gezogen.

500 ÷ 4 = </u> (Erklärungen)

(4 &times; = 4)

0 (5 - 4 =)

(4 &times; = 8)

0 (10 - 8 =)

(4 &times; = 20)

0 (20 - 20 = 0)

und

127 ÷ 4 = 31.75

(12-12=0, der über die folgende Linie geschrieben wird) 07 (die sieben wird von der Dividende 127 heruntergebracht) 30 (3 ist der Rest, der durch 4 geteilt wird, um 0.75 zu geben) (7 &times; 4 = 28)

20 (wird eine zusätzliche Null heruntergebracht)

(5 &times; 4 = 20)

0

In Mexiko wird die US-Notation verwendet, außer dass nur das Ergebnis der Subtraktion kommentiert wird und die Berechnung geistig, wie gezeigt, unten getan wird:

(Erklärungen) 4) 500 0 (5 - 4 =) 0 (10 - 8 =) 0 (20 - 20 = 0)

In Brasilien, Venezuela und Kolumbien, wird die europäische Notation (sieh unten) verwendet, außer dass der Quotient durch eine vertikale Linie, wie gezeigt, unten nicht getrennt wird:

127|

- 31,75

07

-

30

-

20

-

0

Dasselbe Verfahren gilt in Mexiko, nur das Ergebnis der Subtraktion wird kommentiert, und die Berechnung wird geistig getan.

Europa

In Spanien, Italien, Frankreich, Portugal, Rumänien, der Türkei, Griechenland und Russland, ist der Teiler rechts von der Dividende, und getrennt durch eine vertikale Bar. Die Abteilung kommt auch in der Säule vor, aber der Quotient (Ergebnis) wird unter dem Teiler geschrieben, und durch die horizontale Linie getrennt.

127|

 |31,75

07



30



20



0

In Frankreich trennt eine lange vertikale Bar die Dividende und nachfolgenden Subtraktionen vom Quotienten und Teiler, als in unten 6359 geteilter durch 17, der 374 mit einem Rest 1 ist.

Verschieden von der englischen Notation werden Dezimalzahlen direkt nicht geteilt. Stattdessen werden die Dividende und der Teiler mit einer Macht zehn multipliziert, so dass die Abteilung zwei ganze Zahlen einschließt. Deshalb, wenn man sich 12,7 durch 0,4 teilen würde (Kommas, die statt dezimaler Punkte verwenden werden), würden die Dividende und der Teiler zuerst zu 127 und 4 geändert, und dann würde die Abteilung als oben weitergehen.

In Deutschland wird die Notation einer normalen Gleichung für die Dividende, den Teiler und den Quotienten verwendet:

127: 4 = 31,75



07  30  20  0

Dieselbe Notation wird in Norwegen, Mazedonien, Polen, Kroatien, Slowenien, Ungarn, Tschechien, der Slowakei und in Bulgarien angenommen.

Verallgemeinerungen

Rationale Zahlen

Die lange Abteilung von ganzen Zahlen kann leicht erweitert werden, um Dividenden der nichtganzen Zahl einzuschließen, so lange sie vernünftig sind. Das ist, weil jede rationale Zahl eine wiederkehrende dezimale Vergrößerung hat. Das Verfahren kann auch erweitert werden, um Teiler einzuschließen, die eine begrenzte oder endende dezimale Vergrößerung (d. h. Dezimalbrüche) haben. In diesem Fall schließt das Verfahren das Multiplizieren des Teilers und der Dividende durch die passende Macht zehn ein, so dass der neue Teiler eine ganze Zahl — das Ausnutzen der Tatsache dass ein ÷ b = (ca) ÷ (CB) ist — und dann als oben weitergehend.

Polynome

Eine verallgemeinerte Version dieser Methode hat gerufen polynomische lange Abteilung wird auch verwendet, um sich zu teilen, Polynome (manchmal eine Schnellschrift-Version verwendend, hat synthetische Abteilung genannt).

Siehe auch

• Arithmetik der willkürlichen Präzision
• Ägyptische Multiplikation und Abteilung
• Elementare Arithmetik
• Abteilung von Fourier
• Polynomische lange Abteilung
• Die Verschiebung des n-ten Wurzelalgorithmus - um Quadratwurzel oder jede n-te Wurzel einer Zahl zu finden
• Kurze Abteilung

Links

• Arithmetik der Vielfachen Präzision, Teil 2 durchführend. Algorithmus für die lange Abteilung und C ++ Durchführung an sputsoft.com
• Langer Abteilungsalgorithmus
• http://www.alexpetty.com/2011/05/20/long-division-and-euclids-lemma lange Abteilung und das Lemma von Euklid