Lose ist Gleichheit der Staat, quantitativ dasselbe zu sein. Mehr formell ist Gleichheit (oder die Identitätsbeziehung) die binäre Beziehung auf einem Satz X definiert durch

:.

Die Identitätsbeziehung ist der Archetyp des mehr Gesamtkonzeptes einer Gleichwertigkeitsbeziehung auf einem Satz: Jene binären Beziehungen, die reflexiv, symmetrisch, und transitiv sind. Die Beziehung der Gleichheit ist auch antisymmetrisch. Diese vier Eigenschaften bestimmen einzigartig die Gleichheitsbeziehung auf jedem Satz S und machen Gleichheit die einzige Beziehung auf S, der sowohl eine Gleichwertigkeitsbeziehung als auch eine teilweise Ordnung ist. Es folgt daraus, dass Gleichheit die kleinste Gleichwertigkeitsbeziehung auf jedem Satz S im Sinn ist, dass es eine Teilmenge jeder anderen Gleichwertigkeitsbeziehung auf S ist. Eine Gleichung ist einfach eine Behauptung, dass zwei Ausdrücke durch die Gleichheit verbunden sind (sind gleich).

Auf schwach getippten Programmiersprachen wie C gibt eine logische Operation des Gleichheitstests häufig einen Wertwert von 1 oder 0 nach oder wird in solch einem Wert automatisch umgewandelt, wenn die Umgebung das verlangt. Die mathematische Entsprechung von solcher Operation ist Delta von Kronecker. Sprachen mit stärkeren Typ-Systemen (wie Java) haben häufig einen hingebungsvollen Datentyp von Boolean.

Die Etymologie des Wortes ist vom lateinischen aequalis, gleichförmig oder identisch von aequus bedeutend, "Niveau, sogar, oder gerade bedeutend."

Logische Formulierungen

Die Gleichheitsbeziehung wird immer solch definiert, dass Dinge, die gleich sind, alle und nur dieselben Eigenschaften haben. Einige Menschen definieren Gleichheit als Kongruenz. Häufig wird Gleichheit gerade als Identität definiert.

Ein stärkerer Sinn der Gleichheit wird erhalten, wenn eine Form des Gesetzes von Leibniz als ein Axiom hinzugefügt wird; die Behauptung dieses Axioms schließt "bloße Einzelheiten" — Dinge aus, die alle und nur dieselben Eigenschaften haben, aber einander nicht gleich sind — die in einigen logischen Formalismen möglich sind. Das Axiom stellt fest, dass zwei Dinge gleich sind, wenn sie alle und nur dieselben Eigenschaften haben. Formell:

: In Anbetracht jedes x und y, x = y wenn, in Anbetracht jedes Prädikats P, P (x) wenn und nur wenn P (y).

In diesem Gesetz, das Bindewort "wenn, und nur wenn" zu "wenn" geschwächt werden kann; das modifizierte Gesetz ist zum Original gleichwertig.

Anstatt das Gesetz von Leibniz als ein Axiom zu betrachten, kann es auch als die Definition der Gleichheit genommen werden. Das Eigentum, eine Gleichwertigkeitsbeziehung, sowie die Eigenschaften zu sein, die unten gegeben sind, kann dann bewiesen werden: Sie werden Lehrsätze.

Wenn a=b, dann ersetzt eine Dose b und b, a ersetzen kann.

Einige grundlegende logische Eigenschaften der Gleichheit

Die Ersatz-Eigentumsstaaten:

• Für irgendwelche Mengen a und b und jeder Ausdruck F (x), wenn = b, dann F (a) = F (b) (wenn jede Seite Sinn hat, d. h. gut gebildet wird).

In der Logik der ersten Ordnung ist das ein Diagramm, da wir über Ausdrücke wie F nicht messen können (der ein funktionelles Prädikat sein würde).

Einige spezifische Beispiele davon sind:

• Für irgendwelche reellen Zahlen a, b, und c, wenn = b, dann + c = b + c (hier F (x) ist x + c);
• Für irgendwelche reellen Zahlen a, b, und c, wenn = b, dann ein  c = b  c (hier F (x) ist x  c);
• Für irgendwelche reellen Zahlen a, b, und c, wenn = b, dann ac = bc (hier F (x) ist xc);
• Für irgendwelche reellen Zahlen a, b, und c, wenn = b und c nicht Null ist, dann a/c = b/c (hier F (x) ist x/c).

Die reflexiven Eigentumsstaaten:

:For jede Menge a, = a.

Dieses Eigentum wird allgemein in mathematischen Beweisen als eine Zwischenstufe verwendet.

Die symmetrischen Eigentumsstaaten:

• Für irgendwelche Mengen a und b, wenn = b, dann b = a.

Die transitiven Eigentumsstaaten:

• Für irgendwelche Mengen a, b, und c, wenn = b und b = c, dann = c.

Die binäre Beziehung "ist" zwischen reellen Zahlen oder anderen Dingen ungefähr gleich, selbst wenn genauer definiert, nicht transitiv ist (es kann also auf den ersten Blick scheinen, aber viele kleine Unterschiede können sich auf etwas Großes belaufen).

Jedoch ist Gleichheit fast überall transitiv.

Obwohl die symmetrischen und transitiven Eigenschaften häufig als grundsätzlich gesehen werden, können sie bewiesen werden, wenn der Ersatz und die reflexiven Eigenschaften stattdessen angenommen werden.

Beziehung mit der Gleichwertigkeit und dem Isomorphismus

In einigen Zusammenhängen ist Gleichheit von der Gleichwertigkeit oder dem Isomorphismus scharf bemerkenswert. Zum Beispiel kann man Bruchteile von rationalen Zahlen, die Letzteren unterscheiden, die Gleichwertigkeitsklassen von Bruchteilen sind: Die Bruchteile und sind als Bruchteile als verschiedene Reihen von Symbolen verschieden, aber sie "vertreten" dieselbe rationale Zahl, denselben Punkt auf einem Zahlenstrahl. Diese Unterscheidung verursacht den Begriff eines Quotient-Satzes.

Ähnlich die Sätze

: und

sind nicht gleiche Sätze - das erste besteht aus Briefen, während das zweite aus Zahlen besteht - aber sie sind beide Sätze von drei Elementen, und so isomorph, bedeutend, dass es eine Bijektion zwischen ihnen, zum Beispiel gibt

Jedoch gibt es andere Wahlen des Isomorphismus wie

und diese Sätze können nicht identifiziert werden, ohne solch eine Wahl - jede Behauptung zu machen, die sie identifiziert, "hängt von Wahl der Identifizierung ab". Diese Unterscheidung, zwischen Gleichheit und Isomorphismus, ist von grundsätzlicher Wichtigkeit in der Kategorie-Theorie, und ist eine Motivation für die Entwicklung der Kategorie-Theorie.

Siehe auch

• Gleichheitszeichen
• Ungleichheit
• Logische Gleichheit
• Extensionality