Differenzialgeometrie ist eine mathematische Disziplin, die die Techniken von Differenzialrechnung und Integralrechnung, sowie geradliniger Algebra und mehrgeradliniger Algebra verwendet, um Probleme in der Geometrie zu studieren. Die Theorie des Flugzeugs und der Raumkurven und Oberflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum hat die Basis für die Entwicklung der Differenzialgeometrie während des 18. Jahrhunderts und des 19. Jahrhunderts gebildet. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts ist Differenzialgeometrie in ein Feld betroffen mehr allgemein mit den geometrischen Strukturen auf Differentiable-Sammelleitungen hineingewachsen. Differenzialgeometrie ist nah mit der Differenzialtopologie, und mit den geometrischen Aspekten der Theorie von Differenzialgleichungen verbunden. Der Beweis von Grigori Perelman der Vermutung von Poincaré mit den Techniken von Flüssen von Ricci hat die Macht der differenzialgeometrischen Annäherung an Fragen in der Topologie demonstriert, und es hat die wichtige durch seine analytischen Methoden gespielte Rolle hervorgehoben. Die Differenzialgeometrie von Oberflächen gewinnt viele von der Schlüsselidee- und Technik-Eigenschaft dieses Feldes.

Zweige der Differenzialgeometrie

Geometrie von Riemannian

Geometrie von Riemannian studiert Sammelleitungen von Riemannian, glatte Sammelleitungen mit metrischem Riemannian. Das ist ein Konzept der Entfernung, die mittels einer glatten positiven bestimmten symmetrischen bilinearen Form ausgedrückt ist, die auf dem Tangente-Raum an jedem Punkt definiert ist. Geometrie von Riemannian verallgemeinert Euklidische Geometrie zu Räumen, die nicht notwendigerweise Wohnung sind, obwohl sie noch dem Euklidischen Raum an jedem Punkt "unendlich klein", d. h. in der ersten Ordnung der Annäherung ähneln. Verschiedene Konzepte haben auf der Länge, wie die Kreisbogen-Länge von Kurven, das Gebiet von Flugzeug-Gebieten und das Volumen von Festkörpern gestützt alle besitzen natürliche Entsprechungen in der Geometrie von Riemannian. Der Begriff einer Richtungsableitung einer Funktion von der mehrvariablen Rechnung wird in der Geometrie von Riemannian zum Begriff einer kovarianten Ableitung eines Tensor erweitert. Viele Konzepte und Techniken der Analyse und Differenzialgleichungen sind zur Einstellung von Sammelleitungen von Riemannian verallgemeinert worden.

Eine Entfernungsbewahrung diffeomorphism zwischen Sammelleitungen von Riemannian wird eine Isometrie genannt. Dieser Begriff kann auch lokal, d. h. für die kleine Nachbarschaft von Punkten definiert werden. Irgendwelche zwei regelmäßigen Kurven sind lokal isometrisch. Jedoch hat Theorema Egregium von Carl Friedrich Gauss gezeigt, dass bereits für Oberflächen die Existenz einer lokalen Isometrie starke Vereinbarkeitsbedingungen ihrer Metrik auferlegt: Die Krümmungen von Gaussian an den entsprechenden Punkten müssen dasselbe sein. In höheren Dimensionen ist der Krümmungstensor von Riemann ein wichtiger pointwise invariant vereinigt zu einer Sammelleitung von Riemannian, die misst, wie nahe es dazu ist, flach zu sein. Eine wichtige Klasse von Sammelleitungen von Riemannian ist Riemannian symmetrische Räume, deren Krümmung nicht notwendigerweise unveränderlich ist. Das sind die nächsten Entsprechungen dem "gewöhnlichen" Flugzeug und in der Euklidischen und nicht-euklidischen Geometrie betrachteten Raum.

Pseudo-Riemannian Geometrie

Pseudo-Riemannian Geometrie verallgemeinert Geometrie von Riemannian zum Fall, in dem der metrische Tensor nicht positiv-bestimmt zu sein braucht.

Ein spezieller Fall davon ist eine Sammelleitung von Lorentzian, die die mathematische Basis der allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein des Ernstes ist.

Geometrie von Finsler

Geometrie von Finsler lässt Finsler als der Hauptgegenstand der Studie vervielfältigen. Das ist eine Differenzialsammelleitung mit Finsler metrisch, d. h. eine auf jedem Tangente-Raum definierte Norm von Banach. Ein Finsler metrischer ist eine viel allgemeinere Struktur als metrischer Riemannian. Eine Finsler Struktur auf einer mannigfaltigen M ist eine Funktion F: TM  [0, ) solch dass:

1. F (x, mein) = mF (x, y) für den ganzen x, y in TM,
2. F ist ungeheuer differentiable in TM  {0},
3. Die vertikale Jute von F ist bestimmt positiv.

Geometrie von Symplectic

Geometrie von Symplectic ist die Studie von Symplectic-Sammelleitungen. Fast symplectic Sammelleitung ist eine Differentiable-Sammelleitung, die mit glatt ausgestattet ist, unterschiedlich nichtdegeneriert verdrehen - symmetrische bilineare Form auf jedem Tangente-Raum, d. h., ein nichtdegenerierter 2-Formen-ω, genannt die Symplectic-Form. Eine Symplectic-Sammelleitung ist fast symplectic Sammelleitung, für die sich die symplectic formen, wird ω geschlossen: dω = 0.

Ein diffeomorphism zwischen zwei Symplectic-Sammelleitungen, der die Symplectic-Form bewahrt, wird einen symplectomorphism genannt. Nichtdegeneriert verdrehen - symmetrische bilineare Formen können nur auf sogar dimensionalen Vektorräumen bestehen, so haben Symplectic-Sammelleitungen notwendigerweise sogar Dimension. In der Dimension 2 ist eine Symplectic-Sammelleitung gerade eine mit einer Bereichsform ausgestattete Oberfläche, und ein symplectomorphism ist eine Bereichsbewahrung diffeomorphism. Der Phase-Raum eines mechanischen Systems ist eine Symplectic-Sammelleitung, und sie haben ein implizites Äußeres bereits in der Arbeit von Joseph Louis Lagrange auf der analytischen Mechanik und später in den Formulierungen von Carl Gustav Jacobi und William Rowan Hamiltons der klassischen Mechanik gemacht.

Im Vergleich mit der Geometrie von Riemannian, wo die Krümmung einen lokalen invariant von Sammelleitungen von Riemannian zur Verfügung stellt, stellt der Lehrsatz von Darboux fest, dass alle Symplectic-Sammelleitungen lokal isomorph sind. Die einzigen invariants einer Symplectic-Sammelleitung sind in der Natur global, und topologische Aspekte spielen eine prominente Rolle in der symplectic Geometrie. Die ersten laufen auf symplectic Topologie hinaus ist wahrscheinlich der Lehrsatz von Poincaré-Birkhoff, der von Henri Poincaré vermutet ist und dann von G.D. Birkhoff 1912 bewiesen ist. Es behauptet dass, wenn eine Bereichsbewahrungskarte eines Ringrohrs jeden Grenzbestandteil in entgegengesetzten Richtungen dreht, dann hat die Karte mindestens zwei feste Punkte.

Setzen Sie sich mit Geometrie in Verbindung

Setzen Sie sich mit Geometrie-Geschäften mit bestimmten Sammelleitungen der sonderbaren Dimension in Verbindung. Es ist symplectic Geometrie und wie die Letzteren nah, es ist in Fragen der klassischen Mechanik entstanden. Eine Kontakt-Struktur auf (2n + 1) - dimensionale mannigfaltige M wird durch ein glattes Hyperflugzeug Feld H im Tangente-Bündel gegeben, das ist, so weit möglich davon, mit den Niveau-Sätzen einer Differentiable-Funktion auf der M vereinigt zu werden (ist der Fachbegriff "völlig nonintegrable Tangente-Hyperflugzeug-Vertrieb"). In der Nähe von jedem Punkt p wird ein Hyperflugzeug-Vertrieb durch eine nirgends verschwindende 1 Form bestimmt, die bis zur Multiplikation nach einer nirgends verschwindenden Funktion einzigartig ist:

Eine lokale 1 Form auf der M ist eine Kontakt-Form, wenn die Beschränkung seiner Außenableitung zu H ein nichtdegenerierter zwei-Formen-ist und so eine symplectic Struktur auf H an jedem Punkt veranlasst. Wenn der Vertrieb H durch eine globale eine Form dann definiert werden kann, ist diese Form Kontakt wenn und nur wenn die spitzendimensionale Form

ist eine Volumen-Form auf der M, d. h. verschwindet nirgends. Eine Kontakt-Entsprechung des Lehrsatzes von Darboux hält: Alle Kontakt-Strukturen auf einer sonderbar-dimensionalen Sammelleitung sind lokal isomorph und können zu einer bestimmten lokalen normalen Form durch eine passende Wahl des Koordinatensystems gebracht werden.

Complex und Geometrie von Kähler

Komplizierte Differenzialgeometrie ist die Studie von komplizierten Sammelleitungen.

Eine fast komplizierte Sammelleitung ist eine echte Sammelleitung, die mit einem Tensor des Typs ausgestattet ist (1, 1), d. h. ein Vektor-Bündel-Endomorphismus (hat eine fast komplizierte Struktur genannt)

: solch dass.

Es folgt aus dieser Definition, dass eine fast komplizierte Sammelleitung sogar dimensional ist.

Eine fast komplizierte Sammelleitung wird kompliziert genannt, wenn, wo ein Tensor des Typs (2, 1) verbunden mit, genannt den Tensor von Nijenhuis (oder manchmal die Verdrehung) ist.

Eine fast komplizierte Sammelleitung ist kompliziert, wenn, und nur wenn sie einen Holomorphic-Koordinatenatlas zulässt.

Fast Struktur von Hermitian wird durch eine fast komplizierte Struktur J, zusammen mit Riemannian metrischer g gegeben, die Vereinbarkeitsbedingung befriedigend

:.

Fast Struktur von Hermitian definiert natürlich einen unterschiedlichen zwei-Formen-

:.

Die folgenden zwei Bedingungen sind gleichwertig:

wo die Verbindung von Levi-Civita dessen ist. In diesem Fall, wird eine Struktur von Kähler genannt, und eine Sammelleitung von Kähler ist eine mit einer Struktur von Kähler ausgestattete Sammelleitung. Insbesondere eine Sammelleitung von Kähler ist sowohl ein Komplex als auch eine Symplectic-Sammelleitung. Eine große Klasse von Sammelleitungen von Kähler (die Klasse von Sammelleitungen von Hodge) wird durch alle glatten komplizierten projektiven Varianten gegeben.

CR Geometrie

CR Geometrie ist die Studie der inneren Geometrie von Grenzen von Gebieten in komplizierten Sammelleitungen.

Differenzialtopologie

Differenzialtopologie ist die Studie von (globalem) geometrischem invariants ohne einen metrischen oder Symplectic-Form. Es fängt von den natürlichen Operationen an, die Ableitung von natürlichen Vektor-Bündeln und Differenzial von de Rham von Formen Liegen. Neben der Lüge algebroids fangen auch Courant algebroids an, eine wichtigere Rolle zu spielen.

Lügen Sie Gruppen

Eine Lüge-Gruppe ist eine Gruppe in der Kategorie von glatten Sammelleitungen. Neben den algebraischen Eigenschaften genießt das auch geometrische Differenzialeigenschaften. Der offensichtlichste Aufbau ist der einer Lüge-Algebra, die der Tangente-Raum an der Einheit ist, die mit der Lüge-Klammer zwischen nach-links-invariant Vektorfeldern ausgestattet ist. Neben der Struktur-Theorie gibt es auch das breite Feld der Darstellungstheorie.

Bündel und Verbindungen

Der Apparat von Vektor-Bündeln, Hauptbündeln und Verbindungen auf Bündeln spielt eine außerordentlich wichtige Rolle in der modernen Differenzialgeometrie. Eine glatte Sammelleitung trägt immer ein natürliches Vektor-Bündel, das Tangente-Bündel. Lose sprechend, ist diese Struktur allein genügend, um nur Analyse auf die Sammelleitung zu entwickeln, während das Tun der Geometrie, außerdem, eine Weise verlangt, die Tangente-Räume an verschiedenen Punkten, d. h. einen Begriff des parallelen Transports zu verbinden. Ein wichtiges Beispiel wird durch affine Verbindungen zur Verfügung gestellt. Für eine Oberfläche in R können Tangentialebenen an verschiedenen Punkten mit einem natürlichen mit dem Pfad klugen Parallelismus identifiziert werden, der durch den umgebenden Euklidischen Raum veranlasst ist, der eine wohl bekannte Standarddefinition von metrischen und Parallelismus hat. In der Riemannian Geometrie dient die Verbindung von Levi-Civita einem ähnlichen Zweck. (Die Verbindung von Levi-Civita definiert mit dem Pfad klugen Parallelismus in Bezug auf gegebenen willkürlichen auf einer Sammelleitung metrischen Riemannian.) Mehr allgemein denkt Differenzial geometers Räume mit einem Vektor-Bündel und einer willkürlichen affine Verbindung, die in Bezug auf einen metrischen nicht definiert wird. In der Physik kann die Sammelleitung das Raum-Zeit-Kontinuum und die Bündel sein, und Verbindungen sind mit verschiedenen physischen Feldern verbunden.

Inner gegen den unwesentlichen

Vom Anfang und im Laufe der Mitte des 18. Jahrhunderts wurde Differenzialgeometrie aus dem unwesentlichen Gesichtspunkt studiert: Kurven und Oberflächen wurden als liegend in einem Euklidischen Raum der höheren Dimension (zum Beispiel eine Oberfläche in einem umgebenden Raum von drei Dimensionen) betrachtet. Die einfachsten Ergebnisse sind diejenigen in der Differenzialgeometrie von Kurven und Differenzialgeometrie von Oberflächen. Mit der Arbeit von Riemann anfangend, wurde der innere Gesichtspunkt entwickelt, in dem vom Bewegen "außerhalb" des geometrischen Gegenstands nicht sprechen kann, weil, wie man betrachtet, es auf eine freistehende Weise gegeben wird. Das grundsätzliche Ergebnis hier ist der theorema von Gauss egregium, des Inhalts, dass Krümmung von Gaussian ein innerer invariant ist.

Der innere Gesichtspunkt ist flexibler. Zum Beispiel ist es in der Relativität nützlich, wo Raum-Zeit als unwesentlich nicht natürlich genommen werden kann (was würde "außerhalb" seiner sein?). Mit dem inneren Gesichtspunkt ist es härter, das Hauptkonzept der Krümmung und anderen Strukturen wie Verbindungen zu definieren, also gibt es einen Preis, um zu zahlen.

Diese zwei Gesichtspunkte können beigelegt werden, d. h. die unwesentliche Geometrie kann als eine zur inneren zusätzliche Struktur betrachtet werden. (Sieh den Nash Lehrsatz einbetten.)

Anwendungen der Differenzialgeometrie

Unten sind einige Beispiele dessen, wie Differenzialgeometrie auf andere Felder der Wissenschaft und Mathematik angewandt wird.

• In der Physik wird drei Gebrauch erwähnt:
• Differenzialgeometrie ist die Sprache, auf der die allgemeine Relativitätstheorie von Einstein ausgedrückt wird. Gemäß der Theorie ist das Weltall eine glatte Sammelleitung, die mit einem pseudo-Riemannian metrischen ausgestattet ist, der die Krümmung der Raum-Zeit beschreibt. Das Verstehen dieser Krümmung ist für die Positionierung von Satelliten in die Bahn um die Erde notwendig. Differenzialgeometrie ist auch in der Studie von Gravitationslensing und schwarzen Löchern unentbehrlich.
• Differenzialformen werden in der Studie des Elektromagnetismus verwendet.
• Differenzialgeometrie hat Anwendungen sowohl auf die Mechanik von Lagrangian als auch auf Mechanik von Hamiltonian. Sammelleitungen von Symplectic können insbesondere verwendet werden, um Systeme von Hamiltonian zu studieren.
• In der Volkswirtschaft hat Differenzialgeometrie Anwendungen auf das Feld von econometrics.
• Das geometrische Modellieren (einschließlich der Computergrafik) und computergestütztes geometrisches Design stützt sich auf Ideen von der Differenzialgeometrie.
• In der Technik kann Differenzialgeometrie angewandt werden, um Probleme in der Digitalsignalverarbeitung zu beheben.
• In der Wahrscheinlichkeit, Statistik und Informationstheorie, kann man verschiedene Strukturen als Sammelleitungen von Riemannian interpretieren, der das Feld der Informationsgeometrie besonders über die metrische Information von Fisher nachgibt.
• In der Strukturgeologie wird Differenzialgeometrie verwendet, um geologische Strukturen zu analysieren und zu beschreiben.
• In der Computervision wird Differenzialgeometrie verwendet, um Gestalten zu analysieren.
• In der Bildverarbeitung wird Differenzialgeometrie verwendet, um Daten auf nichtflachen Oberflächen zu bearbeiten und zu analysieren.

Siehe auch

• Integrierte Geometrie
• Liste von Differenzialgeometrie-Themen
• Wörterverzeichnis der Differenzialgeometrie und Topologie
• Wichtige Veröffentlichungen in der Differenzialgeometrie
• Wichtige Veröffentlichungen in der Differenzialtopologie
• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Differenzialgeometrie von Affine
• Projektive Differenzialgeometrie
• Nichtersatzgeometrie
• Synthetische Differenzialgeometrie
• Abstrakte Differenzialgeometrie
• Getrennte Differenzialgeometrie
• Analyse auf fractals

Weiterführende Literatur

• Klassische geometrische Annäherung an die Differenzialgeometrie ohne Tensor-Analyse.
• Gute klassische geometrische Annäherung an die Differenzialgeometrie mit der Tensor-Maschinerie.

Links

• B. Conrad. Differenzialgeometrie-Flugblätter, Universität von Stanford
• Der Online-Differenzialgeometrie-Kurs von Michael Murray, 1996
• Ein Moderner Kurs über Kurven und Oberfläche, Richard S Palais, 2003
• Richard Palais 3DXM die Galerie Surfaces
• Die Zeichen von Balázs Csikós auf der Differenzialgeometrie
• N. J. Hicks, Zeichen auf der Differenzialgeometrie, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Differenzialgeometrie, Fall 2008