In der klassischen Logik besteht ein Widerspruch aus einer logischen Inkompatibilität zwischen zwei oder mehr Vorschlägen. Es kommt vor, wenn die Vorschläge, genommen zusammen, zwei Beschlüsse nachgeben, die das logische, die gewöhnlich entgegengesetzten Inversionen von einander bilden. Eine allgemeine Tendenz in der angewandten Logik illustrierend, stellt Aristoteles Gesetz des Nichtwiderspruchs fest, dass "Man von etwas nicht sagen kann, dass es ist, und dass es nicht in derselben Rücksicht und zur gleichen Zeit ist."

Durch die Erweiterung, außerhalb der klassischen Logik, kann man von Widersprüchen zwischen Handlungen sprechen, wenn man wagt, dass ihre Motive einander widersprechen.

Geschichte

Durch die Entwicklung eines Paradox-Dialogs von Plato von Euthydemus demonstriert das Bedürfnis nach dem Begriff des Widerspruchs. Im folgenden Dialog bestreitet Dionysodorus die Existenz "des Widerspruchs" die ganze Zeit, dass Sokrates ihm widerspricht:

: "... Ich in meinem Erstaunen habe gesagt: Was haben Sie Dionysodorus vor? Ich habe häufig gehört und habe mich gewundert, um, diese These von euch zu hören, die aufrechterhalten und von den Aposteln von Protagoras und anderen vor ihnen verwendet wird, und welch zu mir scheint, ziemlich wunderbar, und selbstmörderisch sowie zerstörend zu sein, und ich denke, dass ich höchstwahrscheinlich die Wahrheit darüber von Ihnen hören werde. Der Machtspruch ist, dass es kein solches Ding wie eine Lüge gibt; ein Mann muss entweder sagen, was wahr ist oder sagen Sie nichts. Ist nicht dass Ihre Position?

Tatsächlich gibt Dionysodorus zu, dass "es kein solches Ding wie falsche Meinung gibt... es gibt kein solches Ding wie Unerfahrenheit" und Anforderungen von Plato, mich "zu widerlegen." Sokrates antwortet, "Aber wie kann ich Sie widerlegen, wenn, wie Sie sagen, um eine Lüge zu erzählen, unmöglich ist?".

Widerspruch in der formalen Logik

:Note: Das Symbol (falsum) vertritt einen willkürlichen Widerspruch mit dem DoppelT-Stück-Symbol, das verwendet ist, um eine willkürliche Tautologie anzuzeigen. Widerspruch wird manchmal durch "Opq" und Tautologie durch "Vpq" symbolisiert. Das Drehkreuz-Symbol, wird häufig als "Erträge" gelesen oder "erweist sich".

In der klassischen Logik, besonders im Satz- und der Logik der ersten Ordnung, ist ein Vorschlag ein Widerspruch wenn und nur wenn. Seitdem für den Widerspruch ist es wahr, dass für alle (weil) man jeden Vorschlag von einer Reihe von Axiomen beweisen kann, der Widersprüche enthält. Das wird den "Grundsatz der Explosion" oder "ab falso quodlibet" genannt ("von der Unehrlichkeit, was auch immer Sie" mögen).

In einer ganzen Logik ist eine Formel widersprechend, wenn, und nur wenn es unsatisfiable ist.

Beweis durch den Widerspruch

Für einen Vorschlag ist es wahr, dass, d. h. das eine Tautologie ist, d. h. dass es immer wahr ist, wenn und nur wenn, d. h. wenn die Ablehnung dessen ein Widerspruch ist. Deshalb ist ein Beweis, der auch das beweist, wahr. Der Gebrauch dieser Tatsache setzt die Technik des Beweises durch den Widerspruch ein, den Mathematiker umfassend verwenden. Das gilt nur in einer Logik mit der ausgeschlossenen Mitte als ein Axiom.

Symbolische Darstellung

In der Mathematik ändert sich das Symbol, das verwendet ist, um einen Widerspruch innerhalb eines Beweises zu vertreten. http://www.ctan.org/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf schließen Einige Symbole, die verwendet werden können, um einen Widerspruch zu vertreten, , Opq, , ,  und  ein. Es ist ziemlich üblich, Q.E.D. oder eine Variante sofort nach einem Widerspruch-Symbol zu sehen; das kommt in einem Beweis beim Widerspruch vor, um anzuzeigen, dass die ursprüngliche Annahme falsch war, und dass der Lehrsatz deshalb wahr sein muss.

Der Begriff des Widerspruchs in einem axiomatischen System und einem Beweis seiner Konsistenz

Ein Konsistenz-Beweis verlangt (i) ein axiomatisches System (ii) eine Demonstration, dass es nicht der Fall ist, dass sowohl die Formel p als auch seine Ablehnung ~p abgeleitet im System können. Aber durch beliebige Methode geht man darüber, alle Konsistenz-Beweise würden scheinen, den primitiven Begriff des Widerspruchs nötig zu machen; außerdem scheint es, als ob dieser Begriff gleichzeitig "außerhalb" des formellen Systems in der Definition der Tautologie würde sein müssen.

Als Emil Post in seiner 1921-Einführung in eine allgemeine Theorie von elementaren Vorschlägen seinen Beweis der Konsistenz der Satzrechnung (d. h. die Logik) außer diesem von Principia Mathematica (PM) erweitert hat, hat er bemerkt, dass in Bezug auf einen verallgemeinerten Satz von Postulaten (d. h. Axiome) er nicht mehr im Stande sein würde, den Begriff "des Widerspruchs" automatisch anzurufen - könnte solch ein Begriff nicht in den Postulaten enthalten werden:

: "Das Haupterfordernis von einer Reihe von Postulaten ist, dass es entspricht. Da der gewöhnliche Begriff der Konsistenz den des Widerspruchs einschließt, der wieder Ablehnung einschließt, und da diese Funktion im Allgemeinen als ein Primitiver in [der verallgemeinerte Satz von Postulaten] nicht erscheint, muss eine neue Definition gegeben werden".

Die Lösung des Postens des Problems wird in der Demonstration Ein Beispiel eines Erfolgreichen Absoluten Beweises der Konsistenz beschrieben, die von Ernest Nagel und James R. Newman ihren 1958 der Beweis von Gödel angeboten ist. Sie beobachten auch ein Problem in Bezug auf den Begriff "des Widerspruchs" mit seinen üblichen "Wahrheitswerten" "der Wahrheit" und "Unehrlichkeit". Sie bemerken dass:

: "Das Eigentum, eine Tautologie zu sein, ist in Begriffen der Wahrheit und Unehrlichkeit definiert worden. Und doch schließen diese Begriffe offensichtlich eine Verweisung auf etwas außerhalb der Formel-Rechnung ein. Deshalb bietet das Verfahren, das im Text tatsächlich erwähnt ist, eine Interpretation der Rechnung, durch die Versorgung eines Modells für das System an. Dieser, so seiend, haben die Autoren nicht getan, was sie nämlich versprochen haben, ein Eigentum von Formeln in Bezug auf rein strukturelle Eigenschaften der Formeln selbst zu definieren. [Tatsächlich]... Beweise der Konsistenz, die auf Modellen basieren, und die von der Wahrheit von Axiomen zu ihrer Konsistenz streiten, wechseln bloß das Problem aus."

In Anbetracht einiger "primitiver Formeln" wie die Primitiven des Premierministers S V S [einschließlich ODER] ~S (Ablehnung) wird eine gezwungen, die Axiome in Bezug auf diese primitiven Begriffe zu definieren. Auf eine gründliche Weise demonstriert Posten im PREMIERMINISTER und definiert (wie Nagel und Newman tun, sieh unten), dass das Eigentum von doppelt gemoppelten - bis jetzt, um definiert zu werden - "geerbt" wird: Wenn man mit einer Reihe doppelt gemoppelter Axiome (Postulate) und ein Abzug-System beginnt, das Ersatz und Modus ponens dann enthält, wird ein konsequentes System nur doppelt gemoppelte Formeln nachgeben.

So, wie wird die Definition von doppelt gemoppelten sein?

Nagel und Newman schaffen zwei gegenseitig exklusive und erschöpfende Klassen K und K in der Fall (das Ergebnis) die Axiome wenn ihre Variablen z.B. S und S werden von diesen Klassen zugeteilt. Das gilt auch für die primitiven Formeln. Zum Beispiel: "Eine Formel, die die Form S V S hat, wird in die Klasse K gelegt, wenn sowohl S als auch S in K sind; sonst wird es in K gelegt", und "Eine Formel, die die Form hat, wird ~S in K gelegt, wenn S in K ist; sonst wird es in K gelegt".

Nagel und Newman können jetzt den Begriff von doppelt gemoppelten definieren: "Eine Formel ist eine Tautologie, wenn, und nur wenn sie in der Klasse K ganz gleich fällt, in welche der zwei Klassen seine Elemente gelegt werden". Jetzt wird das Eigentum, "doppelt gemoppelt zu sein", ohne Berücksichtigung eines Modells oder einer Interpretation beschrieben.

:For-Beispiel in Anbetracht einer Formel wie ~S V S und eine Anweisung von K zu S und K zu S kann man die Formel bewerten und sein Ergebnis in eines oder die anderen der Klassen legen. Die Anweisung von K zu ~S legt ~S in K, und jetzt können wir sehen, dass unsere Anweisung die Formel veranlasst, in die Klasse K zu fallen. So definitionsgemäß ist unsere Formel nicht eine Tautologie.

Posten hat bemerkt, dass, wenn das System, ein Abzug darin inkonsequent war (d. h. ist die letzte Formel in einer Folge von Formeln auf die Tautologie zurückzuführen gewesen), S selbst schließlich nachgeben konnte. Als als eine Anweisung zur Variable kann S aus jeder Klasse K oder K kommen, der Abzug verletzt die Erbe-Eigenschaft der Tautologie, d. h. die Abstammung muss tragen (Einschätzung einer Formel), der in die Klasse K fallen wird. Davon ist Posten im Stande gewesen, die folgende Definition der Widersprüchlichkeit ohne den Gebrauch des Begriffs des Widerspruchs abzuleiten:

:Definition. Wie man sagen wird, wird ein System inkonsequent sein, wenn es die Behauptung der unmodifizierten Variable p [S in den Beispielen von Newman und Nagel] nachgibt.

Mit anderen Worten kann der Begriff "des Widerspruchs" verteilt werden, wenn man einen Beweis der Konsistenz baut; was es ersetzt, ist der Begriff "gegenseitig exklusiver und erschöpfender" Klassen. Mehr interessanterweise braucht ein axiomatisches System nicht den Begriff "des Widerspruchs" einzuschließen.

Widersprüche und Philosophie

Anhänger der erkenntnistheoretischen Theorie von coherentism behaupten normalerweise, dass als eine notwendige Bedingung der Rechtfertigung eines Glaubens, dass Glaube einen Teil eines logisch nichtwidersprechenden (konsequenten) Systems des Glaubens bilden muss. Einige dialetheists, einschließlich des Priesters von Graham, haben behauptet, dass Kohärenz Konsistenz nicht verlangen kann.

Pragmatische Widersprüche

Ein pragmatischer Widerspruch kommt vor, wenn die wirkliche Behauptung des Arguments den Ansprüchen widerspricht, behauptet es. Eine Widersprüchlichkeit entsteht in diesem Fall, weil die Tat der Äußerung, aber nicht der Inhalt dessen, was gesagt wird, seinen Beschluss untergräbt.

Für Beispiele, wohl, die Behauptung von Nietzsche, dass man anderen oder dem Paradox von Moore nicht folgen sollte. Innerhalb der analytischen Tradition werden diese als Selbstwiderlegung von Behauptungen und performative Widersprüchen gesehen. Andere Traditionen können sie mehr wie Zen koans lesen, in dem die Autor-Zwecke einen Widerspruch mit der traditionellen Bedeutung macht, aber dann eine neue Bedeutung des Wortes einbezieht, das der Behauptung nicht widerspricht.

Dialektischer Materialismus

Im dialektischen Materialismus bezieht sich Widerspruch, wie abgeleitet, durch Karl Marx von Hegelianism, gewöhnlich auf eine Opposition, die von Natur aus innerhalb eines Bereichs, einer vereinigter Kraft oder Gegenstands vorhanden ist. Dieser Widerspruch, im Vergleich mit dem metaphysischen Denken, ist nicht ein objektiv unmögliches Ding, weil diese Widersprechen-Kräfte in der objektiven Wirklichkeit bestehen, einander nicht annullierend, aber wirklich jede Existenz eines anderen definierend. Gemäß der Marxistischen Theorie kann solch ein Widerspruch, zum Beispiel, in der Tatsache dass gefunden werden:

: (a) enormer Reichtum und produktive Mächte koexistieren neben:

: (b) äußerste Armut und Elend;

: (c) die Existenz von (a), der gegen die Existenz von (b) ist.

Theorie von Hegelian und Marxist setzt fest, dass die dialektische Natur der Geschichte zum sublation oder Synthese von seinen Widersprüchen führen wird. Marx hat deshalb verlangt, dass Geschichte logisch Kapitalismus sich zu einer sozialistischen Gesellschaft würde entwickeln lassen, wo die Mittel der Produktion der ausgenutzten und leidenden Klasse der Gesellschaft ebenso dienen würden, so den vorherigen Widerspruch zwischen (a) und (b) auflösend.

Der philosophische Aufsatz von Mao Zedong hat Marx und die These von Lenin gefördert und hat darauf hingewiesen, dass die ganze Existenz das Ergebnis des Widerspruchs ist.

Widerspruch außerhalb der formalen Logik

Umgangssprachlicher Gebrauch kann Handlungen und/oder Behauptungen als das Widersprechen einander bei Verfall (oder wahrgenommen als erwartet) zu Voraussetzungen etikettieren, die im logischen Sinn widersprechend sind.

Der Beweis durch den Widerspruch wird in der Mathematik verwendet, um Beweise zu bauen.

Siehe auch

• Gegenteil (Logik)
• Dialektischer Materialismus
• Doublethink
• Ironie
• Oxymoron
• Parakonsequente Logik
• Paradox
• Quadrat der Opposition
• Wahrheit

Kommentare

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis der Mathematischen Logik, die aus den französischen und deutschen Ausgaben von Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, das Südliche Holland übersetzt ist.
• Jean van Heijenoort 1967 Von Frege bis Gödel: Ein Quellbuch in der Mathematischen Logik 1879-1931, Universität von Harvard Presse, Cambridge, Massachusetts, internationale Standardbuchnummer 0-674-32449-8 (pbk).
• Ernest Nagel und James R. Newman 1958 der Beweis von Gödel, New Yorker Universität Presse, Kartei-Zahl: 58-5610.

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