In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der Exponentialvertrieb (a.k.a. negativer Exponentialvertrieb) eine Familie des dauernden Wahrscheinlichkeitsvertriebs. Es beschreibt die Zeit zwischen Ereignissen in einem Prozess von Poisson, d. h. einem Prozess, in dem Ereignisse unaufhörlich und unabhängig an einer unveränderlichen durchschnittlichen Rate vorkommen. Es ist die dauernde Entsprechung des geometrischen Vertriebs.

Bemerken Sie, dass der Exponentialvertrieb nicht dasselbe als die Klasse von Exponentialfamilien des Vertriebs ist, die eine große Klasse des Wahrscheinlichkeitsvertriebs ist, die den Exponentialvertrieb als eines seiner Mitglieder einschließt, sondern auch die Normalverteilung, den binomischen Vertrieb, den Gammavertrieb, Poisson und die vielen anderen einschließt.

Charakterisierung

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (pdf) eines Exponentialvertriebs ist

:

f (x; \lambda) = \begin {Fälle }\

\lambda e^ {-\lambda x}, & x \ge 0, \\

0, & x

Wechselweise kann das mit der Schritt-Funktion von Heaviside, H (x) definiert werden.

:

f (x; \lambda) = \mathrm \lambda e^ {-\lambda x} H (x) \!

</Mathematik>

Hier λ &gt; 0 ist der Parameter des Vertriebs, häufig genannt den Rate-Parameter. Der Vertrieb wird auf dem Zwischenraum 0,  unterstützt. Wenn eine zufällige Variable X diesen Vertrieb hat, schreiben wir X ~ Exp (λ).

Der Exponentialvertrieb stellt unendliche Teilbarkeit aus.

Kumulative Vertriebsfunktion

Die kumulative Vertriebsfunktion wird durch gegeben

:

F (x; \lambda) = \begin {Fälle }\

1-e^ {-\lambda x}, & x \ge 0, \\

0, & x Wechselweise kann das mit der Schritt-Funktion von Heaviside, H (x) definiert werden.:

F (x; \lambda) = \mathrm (1-e^ {-\lambda x}) H (x) \!

</Mathematik>

Alternative parameterization

Eine allgemein verwendete Alternative parameterization soll die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (pdf) von einem Exponentialvertrieb als definieren

:

f (x; \beta) = \begin {Fälle }\

\frac {1} {\\Beta} E^ {-x/\beta}, & x \ge 0, \\

0, & x

wo β> 0 ein Skala-Parameter des Vertriebs ist und das Gegenstück des Rate-Parameters, λ, definiert oben ist. In dieser Spezifizierung ist β ein Überleben-Parameter im Sinn dass, wenn eine zufällige Variable X die Dauer der Zeit ist, dass ein gegebenes biologisches oder mechanisches System schafft zu überleben und X ~ Exponential-(β) dann E [X] = β. Das heißt, ist die erwartete Dauer des Überlebens des Systems β Einheiten der Zeit. Das Parameterisation-Beteiligen des "Rate"-Parameters entsteht im Zusammenhang von Ereignissen, eine Rate λ erreichend, wenn die Zeit zwischen Ereignissen (der mit einem Exponentialvertrieb modelliert werden könnte) einen bösartigen von β = λ hat.

Die alternative Spezifizierung ist manchmal günstiger als ein gegebener oben, und einige Autoren werden sie als eine Standarddefinition verwenden. Diese alternative Spezifizierung wird hier nicht verwendet. Leider verursacht das eine notational Zweideutigkeit. Im Allgemeinen muss der Leser überprüfen, welche von diesen zwei Spezifizierungen verwendet wird, wenn ein Autor "X ~ Exponential-(λ)", seit irgendeinem schreibt, konnten die Notation im vorherigen (λ verwendend), oder die Notation in dieser Abteilung (hier, mit β, um Verwirrung zu vermeiden), beabsichtigt sein.

Eigenschaften

Bösartig, Abweichung, Momente und Mittellinie

Der bösartige oder erwartete Wert einer exponential verteilten zufälligen Variable X mit dem Rate-Parameter λ wird durch gegeben

:

Im Licht der Beispiele, die oben angeführt sind, hat das Sinn: Wenn Sie Anrufe an einer durchschnittlichen Rate 2 pro Stunde erhalten, dann können Sie annehmen, auf eine halbe Stunde für jeden Anruf zu warten.

Die Abweichung X wird durch gegeben

:

Die Momente X, für n=1,2 werden... durch gegeben

:

Die Mittellinie X wird durch gegeben

:

wo sich ln auf den natürlichen Logarithmus bezieht. So ist der absolute Unterschied zwischen dem bösartigen und mittleren

:

in Übereinstimmung mit.

Memorylessness

Ein wichtiges Eigentum des Exponentialvertriebs besteht darin, dass es memoryless ist. Das bedeutet, dass, wenn eine zufällige Variable T exponential verteilt wird, seine bedingte Wahrscheinlichkeit folgt

:

Das sagt, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass wir zum Beispiel mehr warten müssen als weitere 10 Sekunden vor der ersten Ankunft, vorausgesetzt, dass die erste Ankunft nach 30 Sekunden noch nicht geschehen ist, der anfänglichen Wahrscheinlichkeit gleich ist, dass wir auf mehr als 10 Sekunden für die erste Ankunft warten müssen. Also, wenn wir seit 30 Sekunden gewartet haben und die erste Ankunft nicht geschehen ist (T> 30), ist Wahrscheinlichkeit, dass wir auf weitere 10 Sekunden für die erste Ankunft werden warten müssen (T> 30 + 10) dasselbe als die anfängliche Wahrscheinlichkeit, dass wir auf mehr als 10 Sekunden für die erste Ankunft (T> 10) warten müssen. Die Tatsache, dass Pr (T> 40 | T> 30) = Pr (T> 10) nicht meint, dass die Ereignisse T> 40 und T> 30 unabhängig sind.

Zusammenzufassen: "Memorylessness" des Wahrscheinlichkeitsvertriebs der Wartezeit T bis zur ersten Ankunft bedeutet

:

Es bedeutet nicht

:

(Der Unabhängigkeit sein würde. Diese zwei Ereignisse sind ziemlich abhängig.)

Der Exponentialvertrieb und der geometrische Vertrieb sind der einzige memoryless Wahrscheinlichkeitsvertrieb.

Der Exponentialvertrieb ist folglich auch notwendigerweise der einzige dauernde Wahrscheinlichkeitsvertrieb, der eine unveränderliche Misserfolg-Rate hat.

Quantiles

Die Quantile-Funktion (umgekehrte kumulative Vertriebsfunktion) für den Exponential-(λ) ist

:

Die quartiles sind deshalb:

der erste quartile: ln (4/3)/λ\

Mittellinie: ln (2)/λ\

Drittel quartile: ln (4)/λ\

Kullback-Leibler Abschweifung

Die geleitete Kullback-Leibler Abschweifung zwischen Exp (λ) ('wahrer' Vertrieb) und Exp (λ) (Vertrieb 'näher kommend'), wird durch gegeben

:

\Delta (\lambda_0 || \lambda) = \log (\lambda_0) - \log (\lambda) + \frac {\\Lambda} {\\lambda_0} - 1.

</Mathematik>

Maximaler Wärmegewicht-Vertrieb

Unter dem ganzen dauernden Wahrscheinlichkeitsvertrieb mit der Unterstützung hat der Exponentialvertrieb mit λ = 1/μ das größte Wärmegewicht. Wechselweise ist es der maximale Wärmegewicht-Wahrscheinlichkeitsvertrieb für einen zufälligen variate X, für den befestigt und größer wird als Null.

Vertrieb des Minimums von zufälligen Exponentialvariablen

Lassen Sie X..., X unabhängige exponential verteilte zufällige Variablen mit Rate-Rahmen λ..., λ sein. Dann

:

\min\{\\, X_1, \dots, X_n \,\}\

</Mathematik>

wird auch, mit dem Parameter exponential verteilt

:

\lambda = \lambda_1 +\cdots +\lambda_n. \,

</Mathematik>

Das kann durch das Betrachten der kumulativen Ergänzungsvertriebsfunktion gesehen werden:

:\begin {richten }\aus

\Pr (\min\{\\, X_1, \dots, X_n \,\}> x) & = \Pr\left (X_1> x \text {und }\\dots\text {und} X_n> x\right) \\

\prod_ {ich

1\^n \Pr (X_i> x) & = \prod_ {i=1} ^n \exp (-x\lambda_i) = \exp\left (-x\sum_ {i=1} ^n \lambda_i\right).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Der Index der Variable, die das Minimum erreicht, wird gemäß dem Gesetz verteilt

:

Bemerken Sie das

:

\max\{\\, X_1, \dots, X_n \,\}\

</Mathematik>

wird nicht exponential verteilt.

Parameter-Bewertung

Nehmen Sie an, dass eine gegebene Variable exponential verteilt wird und der Rate-Parameter λ geschätzt werden soll.

Maximale Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für λ, in Anbetracht einer unabhängigen und identisch verteilten Probe x = (x..., x) gezogen von der Variable, ist

:wo:

ist die bösartige Probe.

Die Ableitung des Wahrscheinlichkeitsfunktionslogarithmus ist

:

Folglich ist die maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung für den Rate-Parameter

:

Während diese Schätzung die wahrscheinlichste Rekonstruktion des wahren Parameters λ ist, ist es nur eine Schätzung, und als solcher, man kann sich vorstellen, dass mehr Datenpunkte besser verfügbar sind, wird die Schätzung sein. Es geschieht so, dass man ein genaues Vertrauensintervall - d. h. ein Vertrauensintervall schätzen kann, das für die ganze Zahl von Proben, nicht nur große gültig ist. Die 100 (1  α) % genaues Vertrauensintervall für diese Schätzung werden durch gegeben

:

der auch gleich ist:

:

wo die MLE-Schätzung ist, der wahre Wert des Parameters ist, und der Prozentanteil des chi ist, hat Vertrieb mit Graden der Freiheit quadratisch gemacht.

Schlussfolgerung von Bayesian

Das verbundene vorherige für den Exponentialvertrieb ist der Gammavertrieb (von denen der Exponentialvertrieb ein spezieller Fall ist). Der folgende parameterization des Gammas pdf ist nützlich:

:

Der spätere Vertrieb p kann dann in Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsfunktion ausgedrückt werden, die oben und ein vorheriges Gamma definiert ist:

: \begin {richten }\aus

& {} \qquad p (\lambda) \propto L (\lambda) \times \mathrm {Gamma} (\lambda \; \, \alpha, \beta) \\

{} & = \lambda^n \, \exp (-\lambda \, n\overline {x}) \times \frac {\\beta^ {\\Alpha}} {\\Gamma (\alpha)} \, \lambda^ {\\Alpha 1\\, \exp (-\lambda \,\beta) \\

& {} \propto \lambda^ {(\alpha+n)-1} \, \exp (-\lambda \, (\beta + n\overline {x})).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Jetzt ist die spätere Dichte p bis zu einem Vermissten angegeben worden, der unveränderlich normalisiert. Da es die Form eines Gammas pdf hat, kann das leicht ausgefüllt werden, und man erhält

:

Hier kann der Parameter α als die Zahl von vorherigen Beobachtungen und der β als die Summe der vorherigen Beobachtungen interpretiert werden.

Vertrauensintervall

Eine einfache und schnelle Methode, ein ungefähres Vertrauensintervall für die Bewertung von λ zu berechnen, basiert auf der Anwendung des Hauptgrenzwertsatzes. Diese Methode stellt eine gute Annäherung der Vertrauensintervall-Grenzen für Proben zur Verfügung, die mindestens 15 - 20 Elemente enthalten. Durch N die Beispielgröße anzeigend, werden die oberen und niedrigeren Grenzen des 95-%-Vertrauensintervalls vorgeschrieben durch:

::

Das Erzeugen von Exponentialvariates

Eine begrifflich sehr einfache Methode, um Exponentialvariates zu erzeugen, basiert auf dem Gegenteil gestalten Stichprobenerhebung um: In Anbetracht eines zufälligen variate U gezogen von der Rechteckverteilung auf dem Einheitszwischenraum (0, 1), der variate

:

hat einen Exponentialvertrieb, wo F die Quantile-Funktion ist, die durch definiert ist

:

Außerdem, wenn U darauf gleichförmig ist (0, 1), dann auch ist 1  U. Das bedeutet, dass man Exponentialvariates wie folgt erzeugen kann:

:

Andere Methoden, um Exponentialvariates zu erzeugen, werden von Knuth und Devroye besprochen.

Der Zikkurat-Algorithmus ist eine schnelle Methode, um Exponentialvariates zu erzeugen.

Eine schnelle Methode, um eine Reihe von bereit bestellten Exponentialvariates zu erzeugen, ohne eine Sortieren-Routine zu verwenden, ist auch verfügbar.

Zusammenhängender Vertrieb

• Exponentialvertrieb wird unter dem Schuppen durch einen positiven Faktor geschlossen. Wenn dann
• Wenn und dann
• Wenn dann
• Der Benktander Weibull Vertrieb nimmt zu einem gestutzten Exponentialvertrieb ab
• Wenn dann (Vertrieb von Benktander Weibull)
• Der Exponentialvertrieb ist eine Grenze eines schuppigen Beta-Vertriebs:
• Wenn dann (Vertrieb von Erlang)
• Wenn dann (Verallgemeinerter äußerster Wertvertrieb)
• Wenn dann (Gammavertrieb)
• Wenn und dann (Vertrieb von Laplace)

Wenn und dann Wenn dann

• Wenn dann (logistischer Vertrieb)
• Wenn und dann (logistischer Vertrieb)
• Wenn dann (Vertrieb von Pareto)

Wenn dann

• Exponentialvertrieb ist ein spezieller Fall des Typs 3 Vertrieb von Pearson
• Wenn dann (Macht-Gesetz)
• Wenn dann (Vertrieb von Rayleigh)
• Wenn dann (Vertrieb von Weibull)

Wenn dann (Vertrieb von Weibull)

• Wenn (Rechteckverteilung (dauernd)) dann
• Wenn (Vertrieb von Poisson) wo dann (geometrischer Vertrieb)
• Wenn und dann (K-Vertrieb)
• Der Hoyt Vertrieb kann beim Exponentialvertrieb und Vertrieb von Arcsine erhalten werden

Wenn und dann Wenn und dann

• Wenn, dann: Sieh verdrehen - logistischer Vertrieb.
• , d. h. Y hat einen Vertrieb von Gumbel, wenn und.
• , d. h. X hat einen chi-karierten Vertrieb mit 2 Graden der Freiheit, wenn.
• Lassen Sie und seien Sie unabhängig. Dann hat Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion. Das kann verwendet werden, um ein Vertrauensintervall dafür zu erhalten.

Anderer zusammenhängender Vertrieb:

• Hyperexponentialvertrieb - der Vertrieb, dessen Dichte eine belastete Summe von Exponentialdichten ist.
• Vertrieb von Hypoexponential - der Vertrieb einer allgemeinen Summe von zufälligen Exponentialvariablen.
• ExGaussian-Vertrieb - die Summe eines Exponentialvertriebs und einer Normalverteilung.

Anwendungen

Ereignis von Ereignissen

Der Exponentialvertrieb kommt natürlich vor, wenn er die Längen der Zwischenankunftszeit in einem homogenen Prozess von Poisson beschreibt.

Der Exponentialvertrieb kann als eine dauernde Kopie des geometrischen Vertriebs angesehen werden, der die Zahl von für einen getrennten Prozess notwendigen Proben von Bernoulli beschreibt, um Staat zu ändern. Im Gegensatz beschreibt der Exponentialvertrieb die Zeit für einen dauernden Prozess, um Staat zu ändern.

In wirklichen Drehbüchern ist die Annahme einer unveränderlichen Rate (oder Wahrscheinlichkeit pro Einheitszeit) selten zufrieden. Zum Beispiel unterscheidet sich die Rate von eingehenden Anrufen gemäß der Zeit des Tages. Aber wenn wir uns auf einen Zeitabstand konzentrieren, während dessen die Rate, solcher als von 14:00 Uhr - 16:00 Uhr während Werktage grob unveränderlich ist, kann der Exponentialvertrieb als ein gutes ungefähres Modell für die Zeit verwendet werden, bis der folgende Anruf ankommt. Ähnliche Verwahrungen gelten für die folgenden Beispiele, die ungefähr exponential verteilte Variablen nachgeben:

• Die Zeit bis zu einer radioaktiven Partikel, verfällt oder die Zeit zwischen Klicks eines Geigerzählers
• Die Zeit nimmt es vor Ihrem folgenden Anruf
• Die Zeit bis zum Verzug (auf der Zahlung an Firmenschuldhalter) im reduzierten Form-Kredit riskiert, zu modellieren

Exponentialvariablen können auch an Mustersituationen gewöhnt sein, wo bestimmte Ereignisse mit einer unveränderlichen Wahrscheinlichkeit pro Einheitslänge, wie die Entfernung zwischen Veränderungen auf einem DNA-Ufer, oder zwischen roadkills auf einer gegebenen Straße vorkommen.

In der Schlange stehenden Theorie werden die Dienstzeiten von Agenten in einem System (z.B, wie lange es für einen Bankerzähler usw. nimmt, um einem Kunden zu dienen) häufig als exponential verteilte Variablen modelliert. (Die Zwischenankunft von Kunden zum Beispiel in einem System wird normalerweise durch den Vertrieb von Poisson in den meisten Verwaltungswissenschaftslehrbüchern modelliert.) Wird die Länge eines Prozesses, von dem als eine Folge von mehreren unabhängigen Aufgaben gedacht werden kann, durch eine Variable im Anschluss an den Vertrieb von Erlang besser modelliert (der der Vertrieb der Summe von mehreren unabhängigen exponential verteilten Variablen ist).

Zuverlässigkeitstheorie und Zuverlässigkeitstechnik machen auch umfassenden Gebrauch des Exponentialvertriebs. Wegen des memoryless Eigentums dieses Vertriebs ist es gut passend, um den unveränderlichen Gefahr-Rate-Teil der in der Zuverlässigkeitstheorie verwendeten Badewanne-Kurve zu modellieren. Es ist auch sehr günstig, weil es so leicht ist, Misserfolg-Raten in einem Zuverlässigkeitsmodell hinzuzufügen.

Der Exponentialvertrieb ist jedoch nicht passend, die gesamte Lebenszeit von Organismen oder technischen Geräten zu modellieren, weil die "Misserfolg-Raten" hier nicht unveränderlich sind: Mehr Misserfolge kommen für den sehr jungen und für sehr alte Systeme vor.

In der Physik, wenn Sie ein Benzin bei einer festen Temperatur und Druck in einem gleichförmigen Schwerefeld beobachten, folgen die Höhen der verschiedenen Moleküle auch einem ungefähren Exponentialvertrieb. Das ist eine Folge des Wärmegewicht-Eigentums, das unten erwähnt ist.

In der Hydrologie wird der Exponentialvertrieb verwendet, um äußerste Werte solcher Variablen als monatliche und jährliche maximale Werte des täglichen Niederschlags und der Flussentladungsvolumina zu analysieren.

:The blaues Bild illustriert ein Beispiel, den Exponentialvertrieb an aufgereihte jährlich maximale eintägige Niederschläge zu passen, die auch den auf dem binomischen Vertrieb gestützten 90-%-Vertrauensriemen zeigen. Die Niederschlag-Daten werden durch das Plotten von Positionen als ein Teil der kumulativen Frequenzanalyse vertreten.

Vorhersage

Eine Probe von n Datenpunkten von einem unbekannten Exponentialvertrieb beobachtet, ist eine allgemeine Aufgabe, diese Proben zu verwenden, um Vorhersagen über zukünftige Daten von derselben Quelle zu machen. Ein allgemeiner prophetischer Vertrieb über zukünftige Proben ist der so genannte Einfügefunktionsvertrieb, der durch die Verstopfung einer passenden Schätzung für den Rate-Parameter λ in die Exponentialdichte-Funktion gebildet ist. Eine allgemeine Wahl der Schätzung ist diejenige, die durch den Grundsatz der maximalen Wahrscheinlichkeit zur Verfügung gestellt ist, und das verwendend, gibt die prophetische Dichte über eine zukünftige Probe x, bedingt auf den beobachteten Proben x = (x..., x) gegeben durch nach

:

Die Bayesian-Annäherung stellt einen prophetischen Vertrieb zur Verfügung, der die Unklarheit des geschätzten Parameters in Betracht zieht, obwohl das entscheidend von der Wahl von vorherigen abhängen kann.

Ein prophetischer Vertrieb frei von den Problemen, priors zu wählen, die unter der subjektiven Annäherung von Bayesian entstehen, ist

:

der als betrachtet werden kann

(1) ein frequentist Vertrauensvertrieb, der beim Vertrieb der Angelmenge erhalten ist;

(2) ein Profil prophetische Wahrscheinlichkeit, die durch das Beseitigen des Parameters von der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit und durch die Maximierung erhalten ist;

(3) objektiver Bayesian prophetischer späterer Vertrieb, das erhaltene Verwenden nichtinformativen vorherigen Jeffreys;

und (4) Conditional Normalized Maximum Likelihood (CNML) prophetischer Vertrieb, von der Information theoretische Rücksichten.

Die Genauigkeit eines prophetischen Vertriebs kann mit der Entfernung oder Abschweifung zwischen dem wahren Exponentialvertrieb mit dem Rate-Parameter, λ, und dem prophetischen Vertrieb gemessen werden, der auf der Probe x gestützt ist. Die Kullback-Leibler Abschweifung ist allgemein verwendet, parameterisation freies Maß des Unterschieds zwischen zwei Vertrieb. Das Lassen Δ (λp) zeigen die Kullback-Leibler Abschweifung zwischen einem Exponential-mit dem Rate-Parameter λ und einem prophetischen Vertrieb p an ihm kann das gezeigt werden

:\begin {richten }\aus

{\\rm E\_ {\\lambda_0} \left [\Delta (\lambda_0 || p_ {\\rm ML}) \right] &= \psi (n) + \frac {1} {n-1} - \log n \\

{\\rm E\_ {\\lambda_0} \left [\Delta (\lambda_0 || p_ {\\rm CNML}) \right] &= \psi (n) + \frac {1} {n} - \log n \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo die Erwartung in Bezug auf den Exponentialvertrieb mit dem Rate-Parameter genommen wird, und die Digamma-Funktion ist. Es ist klar, dass der CNML prophetische Vertrieb als der maximale Wahrscheinlichkeitseinfügefunktionsvertrieb in Bezug auf die Kullback-Leibler durchschnittliche Abschweifung für alle Beispielgrößen ausschließlich höher ist.

Siehe auch

• Tote Zeit - eine Anwendung des Exponentialvertriebs zur Partikel-Entdecker-Analyse.
• Vertrieb von Laplace oder der "doppelte Exponentialvertrieb".

Links

• Online-Rechenmaschine des Exponentialvertriebs