In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der geometrische Vertrieb irgendein zwei getrennten Wahrscheinlichkeitsvertriebs:

• Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Zahl von Proben von X Bernoulli musste einen Erfolg bekommen, der auf dem Satz {1, 2, 3 unterstützt ist... }\
• Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Nummer Y = X  1 von Misserfolgen vor dem ersten Erfolg, der auf dem Satz {0, 1, 2, 3 unterstützt ist... }\

man ruft "der" geometrische Vertrieb ist eine Sache der Tagung und Bequemlichkeit.

geometrischer Vertrieb sollte mit einander nicht verwirrt sein. Häufig hat sich der Name bewegt geometrischer Vertrieb wird für den ersteren ein (Vertrieb der Nummer X) angenommen; jedoch, um Zweideutigkeit zu vermeiden, wird es klug betrachtet anzuzeigen, der, durch das Erwähnen der Reihe ausführlich beabsichtigt ist.

Es ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Ereignis des Erfolgs k Zahl von unabhängigen Proben, jedem mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p verlangt. Wenn die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs auf jeder Probe p ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die kth Probe (aus k Proben) der erste Erfolg ist

:

für k = 1, 2, 3....

Die obengenannte Form des geometrischen Vertriebs wird verwendet, für die Zahl von Proben bis zum ersten Erfolg zu modellieren. Im Vergleich wird die folgende Form des geometrischen Vertriebs verwendet, um Zahl von Misserfolgen bis zum ersten Erfolg zu modellieren:

:

für k = 0, 1, 2, 3....

In jedem Fall ist die Folge von Wahrscheinlichkeiten eine geometrische Folge.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass ein Übliches stirbt, wird wiederholt geworfen, bis das erste Mal "1" erscheint. Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Zahl von Zeiten es wird geworfen, wird auf dem unendlichen Satz {1, 2, 3 unterstützt...} und ist ein geometrischer Vertrieb mit p = 1/6.

Momente und cumulants

Der erwartete Wert einer geometrisch verteilten zufälligen Variable X ist 1/p, und die Abweichung ist (1 − p)/p:

:

\qquad\mathrm {var} (X) = \frac {1-p} {p^2}. </Mathematik>

Ähnlich ist der erwartete Wert der geometrisch verteilten zufälligen Variable Y (1 &minus; p) sind/p und seine Abweichung (1 &minus; p)/p:

:

\qquad\mathrm {var} (Y) = \frac {1-p} {p^2}. </Mathematik>

Lassen Sie μ = (1 &minus; p)/p, der erwartete Wert von Y sein. Dann befriedigen die cumulants des Wahrscheinlichkeitsvertriebs von Y den recursion

:

Umriss des Beweises: Dass der erwartete Wert ist (1 &minus; p) kann/p folgendermaßen gezeigt werden. Lassen Sie Y als oben sein. Dann

: \begin {richten }\aus

\mathrm {E} (Y) & {} = \sum_ {k=0} ^\\infty (1-p) ^k p\cdot k \\

& {} =p\sum_ {k=0} ^\\infty (1-p) ^k k \\

& {} = p\left [\frac {d} {dp }\\verlassen (-\sum_ {k=0} ^\\infty (1-p) ^k\right) \right] (1-p) \\

& {} =-p (1-p) \frac {d} {dp }\\frac {1} {p} = \frac {1-p} {p}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

(Der Austausch der Summierung und Unterscheidung wird durch die Tatsache gerechtfertigt, dass konvergente Macht-Reihen gleichförmig auf Kompaktteilmengen des Satzes von Punkten zusammenlaufen, wo sie zusammenlaufen.)

Parameter-Bewertung

Für beide Varianten des geometrischen Vertriebs kann der Parameter p durch die Gleichstellung des erwarteten Werts mit der bösartigen Probe geschätzt werden. Das ist die Methode von Momenten, die in diesem Fall zufällig maximale Wahrscheinlichkeitsschätzungen von p nachgibt.

Spezifisch, für die erste Variante lassen k = k..., k eine Probe wo k  1 weil ich = 1..., n sein. Dann kann p als geschätzt werden

:

In der Bayesian Schlussfolgerung ist der Beta-Vertrieb der verbundene vorherige Vertrieb für den Parameter p. Wenn dieser Parameter ein Beta (α, β) vorherig gegeben wird, dann ist der spätere Vertrieb

:

Der spätere bösartige E [p] nähert sich der maximalen Wahrscheinlichkeitsschätzung als α, und β nähern sich Null.

Im alternativen Fall, lassen Sie k..., k eine Probe wo k  0 weil ich = 1..., n sein. Dann kann p als geschätzt werden

:

Der spätere Vertrieb von p gegeben ein Beta (α, β) vorherig ist

:

Wieder nähert sich der spätere bösartige E [p] der maximalen Wahrscheinlichkeitsschätzung als α, und β nähern sich Null.

Andere Eigenschaften

• Die Wahrscheinlichkeit erzeugenden Funktionen X und Y, sind beziehungsweise,

::\begin {richten }\aus

G_X (s) & = \frac {s \, p} {1-s \, (1-p)}, \\[10pt]

G_Y (s) & = \frac {p} {1-s \, (1-p)}, \quad |s |

• Wie seine dauernde Entsprechung (der Exponentialvertrieb) ist der geometrische Vertrieb memoryless. Das bedeutet, dass, wenn Sie vorhaben, ein Experiment bis zum ersten Erfolg dann zu wiederholen, vorausgesetzt, dass der erste Erfolg noch nicht vorgekommen ist, der bedingte Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Zahl von zusätzlichen Proben nicht abhängt, wie viele Misserfolge beobachtet worden sind. Das Sterben des Derjenige-Werfens oder der Münze, die man wirft, hat kein "Gedächtnis" dieser Misserfolge. Der geometrische Vertrieb ist tatsächlich der einzige memoryless getrennte Vertrieb.
• Unter dem ganzen getrennten Wahrscheinlichkeitsvertrieb, der auf {1, 2, 3 unterstützt ist...} mit dem gegebenen erwarteten Wert μ ist der geometrische Vertrieb X mit dem Parameter p = 1/μ derjenige mit dem größten Wärmegewicht.
• Der geometrische Vertrieb der Nummer Y von Misserfolgen vor dem ersten Erfolg, ist d. h., für jede positive ganze Zahl n ungeheuer teilbar, dort bestehen Sie unabhängige identisch verteilte zufällige Variablen Y..., Y, dessen Summe denselben Vertrieb hat, den Y hat. Diese werden wenn n = 1 nicht geometrisch verteilt; sie folgen einem negativen binomischen Vertrieb.
• Die dezimalen Ziffern der geometrisch verteilten zufälligen Variable Y sind eine Folge von unabhängigen (und nicht identisch verteilt) zufällige Variablen. Zum Beispiel haben die Hunderte Ziffer D diesen Wahrscheinlichkeitsvertrieb:

::

:where q = 1 &minus; p, und ähnlich für die anderen Ziffern, und, mehr allgemein, ähnlich für Ziffer-Systeme mit anderen Basen als 10. Wenn die Basis 2 ist, zeigt das, dass eine geometrisch verteilte zufällige Variable als eine Summe von unabhängigen zufälligen Variablen geschrieben werden kann, deren Wahrscheinlichkeitsvertrieb unzerlegbar ist.

• Das Codieren von Golomb ist der optimale Präfix-Code für den geometrischen getrennten Vertrieb.

Zusammenhängender Vertrieb

• Der geometrische Vertrieb Y ist ein spezieller Fall des negativen binomischen Vertriebs, mit r = 1. Mehr allgemein, wenn Y..., Y unabhängige geometrisch verteilte Variablen mit dem Parameter p, dann die Summe sind

::

:follows ein negativer binomischer Vertrieb mit Rahmen r und '1-'p.

• Wenn Y..., Y unabhängige geometrisch verteilte Variablen (mit vielleicht verschiedenen Erfolg-Rahmen p), dann ihr Minimum sind

::

:is auch geometrisch verteilt, mit dem Parameter

• Denken Sie 0 hat einen Vertrieb von Poisson mit dem erwarteten Wert r/k. Dann

::

:has eine geometrische Vertriebseinnahme schätzt im Satz {0, 1, 2...}, mit dem erwarteten Wert r / (1 &minus; r).

• Der Exponentialvertrieb ist die dauernde Entsprechung des geometrischen Vertriebs. Wenn X eine exponential verteilte zufällige Variable mit dem Parameter λ, dann ist

::

: wo der Fußboden (oder größte ganze Zahl) Funktion ist, ist eine geometrisch verteilte zufällige Variable mit dem Parameter p = 1 &minus; e (so &lambda; = &minus;ln (1 &minus; p)) und nehmende Werte im Satz {0, 1, 2...}. Das kann verwendet werden, um geometrisch verteilte Pseudozufallszahlen durch das erste Erzeugen von exponential verteilten Pseudozufallszahlen von einem gleichförmigen Pseudozufallszahlengenerator zu erzeugen: Dann wird mit dem Parameter geometrisch verteilt, wenn in [0,1] gleichförmig verteilt wird.

Siehe auch

• Hypergeometrischer Vertrieb
• Gutschein-Sammler-Problem

Links

• Geometrischer Vertrieb auf MathWorld.
• Geometrische Online-Vertriebsrechenmaschine