In der rechenbetonten Mathematik ist eine wiederholende Methode ein mathematisches Verfahren, das eine Folge erzeugt, ungefähre Lösungen für eine Klasse von Problemen zu verbessern. Eine spezifische Durchführung einer wiederholenden Methode, einschließlich der Beendigungskriterien, ist ein Algorithmus der wiederholenden Methode. Eine wiederholende Methode wird konvergent genannt, wenn die entsprechende Folge für gegebene anfängliche Annäherungen zusammenläuft. Eine mathematisch strenge Konvergenz-Analyse einer wiederholenden Methode wird gewöhnlich durchgeführt; jedoch sind heuristische wiederholende Methoden auch üblich.

In den Problemen, die Wurzel einer Gleichung (oder eine Lösung eines Gleichungssystems) zu finden, verwendet eine wiederholende Methode eine anfängliche Annahme, um aufeinander folgende Annäherungen an eine Lösung zu erzeugen. Im Gegensatz versuchen direkte Methoden, das Problem durch eine begrenzte Folge von Operationen zu beheben. Ohne Rundungsfehler würden direkte Methoden eine genaue Lösung (wie das Lösen einer geradlinigen Gleichungssystem-Axt = b durch die Beseitigung von Gaussian) liefern. Wiederholende Methoden sind häufig die einzige Wahl für nichtlineare Gleichungen. Jedoch sind wiederholende Methoden häufig sogar für geradlinige Probleme nützlich, die eine Vielzahl von Variablen einschließen (manchmal der Ordnung von Millionen), wo direkte Methoden untersagend teuer (und in einigen Fällen unmöglich sein würden) sogar mit der besten verfügbaren Rechenmacht.

Attraktive feste Punkte

Wenn eine Gleichung in die Form f (x) = x gestellt werden kann, und eine Lösung x ein attraktiver fester Punkt der Funktion f ist, dann kann man mit einem Punkt x in der Waschschüssel der Anziehungskraft von x beginnen, und x = f (x) für n  1 lassen, und die Folge {x} wird zur Lösung x zusammenlaufen. Wenn die Funktion f unaufhörlich differentiable ist, besteht eine genügend Bedingung für die Konvergenz darin, dass der geisterhafte Radius der Ableitung von einer in einer Nachbarschaft des festen Punkts ausschließlich begrenzt wird. Wenn diese Bedingung am festen Punkt hält, dann muss eine genug kleine Nachbarschaft (Waschschüssel der Anziehungskraft) bestehen.

Geradlinige Systeme

Im Fall von einem System von geradlinigen Gleichungen sind die zwei Hauptklassen von wiederholenden Methoden die stationären wiederholenden Methoden, und mehr Subraummethoden von General Krylov.

Stationäre wiederholende Methoden

Stationäre wiederholende Methoden lösen ein geradliniges System mit einem Maschinenbediener, der dem ursprünglichen näher kommt; und gestützt auf einem Maß des Fehlers im Ergebnis (das restliche), bilden Sie eine "Korrektur-Gleichung", für die dieser Prozess wiederholt wird. Während diese Methoden einfach sind, abzuleiten, durchzuführen und zu analysieren, wird Konvergenz nur für eine beschränkte Klasse von matrices versichert. Beispiele von stationären wiederholenden Methoden sind die Methode von Jacobi, Methode von Gauss-Seidel und die Aufeinander folgende Überentspannungsmethode.

Subraummethoden von Krylov

Subraummethoden von Krylov arbeiten durch das Formen einer Basis der Folge von aufeinander folgenden Matrixmacht-Zeiten die Initiale restlich (die Folge von Krylov). Die Annäherungen an die Lösung werden dann durch die Minderung des restlichen über den gebildeten Subraum gebildet. Die archetypische Methode in dieser Klasse ist die verbundene Anstieg-Methode (CG). Andere Methoden sind die verallgemeinerte minimale restliche Methode (GMRES) und die biconjugate Anstieg-Methode (BiCG).

Konvergenz von Subraummethoden von Krylov

Da diese Methoden eine Basis bilden, ist es offensichtlich, dass die Methode in N Wiederholungen zusammenläuft, wo N die Systemgröße ist. Jedoch in Gegenwart von Rundungsfehlern hält diese Behauptung nicht; außerdem in der Praxis kann N sehr groß sein, und der wiederholende Prozess erreicht genügend Genauigkeit bereits viel früher. Die Analyse dieser Methoden ist abhängig von einer komplizierten Funktion des Spektrums des Maschinenbedieners hart.

Vorklimaanlagen

Der näher kommende Maschinenbediener, der in stationären wiederholenden Methoden erscheint, kann auch in Subraummethoden von Krylov wie GMRES vereinigt werden (wechselweise, vorbedingte Methoden von Krylov können als Beschleunigungen von stationären wiederholenden Methoden betrachtet werden), wo sie Transformationen des ursprünglichen Maschinenbedieners zu einem vermutlich besser bedingten werden. Der Aufbau von Vorklimaanlagen ist ein großes Forschungsgebiet.

Geschichte

Wahrscheinlich ist die erste wiederholende Methode, für ein geradliniges System zu lösen, in einem Brief von Gauss einem Studenten von seinem erschienen. Er hat vorgehabt, 4 durch 4 Gleichungssystem zu lösen, indem er den Bestandteil wiederholt gelöst hat, in dem das restliche am größten war.

Die Theorie von stationären wiederholenden Methoden wurde mit der Arbeit von D.M. Young fest gegründet, der in den 1950er Jahren anfängt. Die Verbundene Anstieg-Methode wurde auch in den 1950er Jahren, mit unabhängigen Entwicklungen von Cornelius Lanczos, Magnus Hestenes und Eduard Stiefel erfunden, aber seine Natur und Anwendbarkeit wurden zurzeit missverstanden. Nur in den 1970er Jahren war es hat begriffen, dass conjugacy Methode-Arbeit sehr gut für teilweise Differenzialgleichungen, besonders der elliptische Typ gestützt hat.

Siehe auch

• Wurzelfindender Algorithmus

Links

• Schablonen für die Lösung geradliniger Systeme
• Y. Saad: Wiederholende Methoden für Spärliche Geradlinige Systeme, 1. Ausgabe, PWS 1996