Das quater-imaginäre Ziffer-System wurde zuerst von Donald Knuth 1955 in einer Vorlage zu einer Wissenschaftstalent-Suche der Höheren Schule vorgeschlagen. Es ist ein Sonderstellungsziffer-System, das die imaginäre Zahl 2i als seine Basis verwendet. Es ist (fast) im Stande einzigartig vertreten jede komplexe Zahl mit nur die Ziffern 0, 1, 2, und 3. (Zahlen weniger als Null, die normalerweise mit minus das Zeichen vertreten werden, sind wiederpräsentabel, weil Ziffer im quater-imaginären spannt; zum Beispiel wird die Zahl −1 als "103" in der quater-imaginären Notation vertreten.)

Das Umwandeln vom quater-imaginären

Um eine Ziffer-Schnur vom quater-imaginären System bis das dezimale System umzuwandeln, kann die Standardformel für Stellungszahl-Systeme verwendet werden. Das sagt, dass eine Ziffer-Schnur in der Basis b zu einer Dezimalzahl mit der Formel umgewandelt werden kann

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Für das quater-imaginäre System.

Beispiel

Um die Schnur zu einer Dezimalzahl umzuwandeln, füllen Sie die Formel oben aus:

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Ein anderer, längeres Beispiel: In der Basis 10 ist

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Das Umwandeln in den quater-imaginären

Es ist auch möglich, eine Dezimalzahl zu einer Zahl im quater-imaginären System umzuwandeln. Jede komplexe Zahl (jede Zahl der Form a+bi) hat eine quater-imaginäre Darstellung. Die meisten Zahlen haben eine einzigartige quater-imaginäre Darstellung, aber gerade als 1 die zwei Darstellungen 1.0 = 0.9... in der dezimalen Notation hat, so / hat die zwei quater-imaginären Darstellungen 1. (0300) … = 0. (0003) ….

Um eine willkürliche komplexe Zahl zum quater-imaginären umzuwandeln, ist es genügend, die Zahl in seine echten und imaginären Bestandteile zu spalten, jeden von denjenigen getrennt umzuwandeln, und dann die Ergebnisse durch das Durchschießen der Ziffern hinzuzufügen. Zum Beispiel, da-1+4i-1 plus 4i gleich ist, ist die quater-imaginäre Darstellung von-1+4i die quater-imaginäre Darstellung-1 (nämlich, 103) plus die quater-imaginäre Darstellung 4i (nämlich, 20), der ein Endresultat von-1+4i = 123 gibt.

Um die quater-imaginäre Darstellung des imaginären Bestandteils zu finden, genügt es, um diesen Bestandteil mit 2i zu multiplizieren, der eine reelle Zahl gibt; dann finden Sie die quater-imaginäre Darstellung dieser reellen Zahl, und wechseln Sie schließlich die Darstellung durch einen Platz nach rechts aus (so sich durch 2i teilend). Zum Beispiel wird die quater-imaginäre Darstellung 6i durch das Multiplizieren 6i berechnet · 2i =-12, der als 300, und dann Verschiebung durch einen Platz nach rechts, das Tragen ausgedrückt wird: 6i = 30.

Die Entdeckung der quater-imaginären Darstellung einer willkürlichen reellen Zahl kann manuell durch das Lösen eines Systems von gleichzeitigen Gleichungen, wie gezeigt, unten getan werden.

Beispiel: Reelle Zahl

Als ein Beispiel einer reellen Zahl können wir versuchen, den quater-imaginären Kollegen der Dezimalzahl 7 zu finden (oder 7, da die Basis des dezimalen Systems 10 ist). Da es hart ist, genau vorauszusagen, wie lang die Ziffer-Schnur für eine gegebene Dezimalzahl sein wird, ist es sicher, eine ziemlich große Schnur anzunehmen. In diesem Fall kann eine Reihe von sechs Ziffern gewählt werden. Wenn eine Initiale auf die Größe der Schnur schätzt, schließlich erweist sich, ungenügend zu sein, eine größere Schnur kann verwendet werden.

Um die Darstellung zu finden, schreiben Sie zuerst die allgemeine Formel und Gruppenbegriffe aus:

:\begin {richten }\aus

7_ {10} & = d_ {0} +d_ {1 }\\cdot b+d_ {2 }\\cdot b^ {2} +d_ {3 }\\cdot b^ {3} +d_ {4 }\\cdot b^ {4} +d_ {5 }\\cdot b^ {5} \\

& = d_ {0} +2id_ {1}-4d_ {2}-8id_ {3} +16d_ {4} +32id_ {5} \\

& = d_ {0}-4d_ {2} +16d_ {4} +i (2d_ {1}-8d_ {3} +32d_ {5}) \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Seitdem 7 ist eine reelle Zahl, es wird erlaubt zu beschließen, dass d, d und d Null sein sollten. Jetzt muss der Wert der Koeffizienten d, d und d, gefunden werden. Weil d  4 d + 16 d = 7, und weil — durch die Natur des quater-imaginären Systems — die Koeffizienten nur 0, 1, 2 oder 3 der Wert der Koeffizienten sein können, gefunden werden kann. Eine mögliche Konfiguration konnte sein: d = 3, d = 3 und d = 1. Diese Konfiguration gibt die resultierende Ziffer-Schnur für 7.

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Beispiel: Imaginäre Zahl

Die Entdeckung einer quater-imaginären Darstellung einer rein komplexen Zahl ist der Methode analog, die oben für eine reelle Zahl beschrieben ist. Zum Beispiel, um die Darstellung 6i zu finden, ist es möglich, die allgemeine Formel zu verwenden. Dann müssen alle Koeffizienten des echten Teils Null sein, und der komplizierte Teil sollte 6 machen. Jedoch für 6i wird es durch das Schauen auf die Formel leicht gesehen, dass, wenn d = 3 und alle anderen Koeffizienten Null sind, wir die gewünschte Schnur für 6i bekommen. Das ist:

:

Basis-Punkt "."

Ein Basis-Punkt im dezimalen System ist das übliche. (Punkt), der die Trennung zwischen dem integralen Bestandteil und dem Bruchteil der Zahl kennzeichnet.

Im quater-imaginären System kann ein Basis-Punkt auch verwendet werden. Weil eine Ziffer-Schnur der Basis-Punkt die Trennung zwischen positiven und negativen Mächten von b kennzeichnet. Das Verwenden der Basis spitzt an, dass die allgemeine Formel wird:

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oder

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32id_ {5} +16d_ {4}-8id_ {3}-4d_ {2} +2id_ {1} +d_ {0} + \frac {1} {2i} d_ {-1} + \frac {1} {-4} d_ {-2} + \frac {1} {-8i} d_ {-3} </Mathematik>

Beispiel

Wenn die quater-imaginäre Darstellung der komplizierten Einheit, die ich, die Formel ohne Basis-Punkt gefunden werden muss, nicht genügen wird. Deshalb sollte die obengenannte Formel verwendet werden. Folglich:

:

\begin {richten} mich & = 32id_ {5} +16d_ {4}-8id_ {3}-4d_ {2} +2id_ {1} +d_ {0} + \frac {1} {2i} d_ {-1} + \frac {1} {-4} d_ {-2} + \frac {1} {-8i} d_ {-3 }\\\{aus}

& = ich (32d_ {5}-8d_ {3} +2d_ {1}-\frac {1} {2} d_ {-1} + \frac {1} {8} d_ {-3}) +16d_ {4}-4d_ {2} +d_ {0}-\frac {1} {4} d_ {-2 }\\\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Für bestimmte Koeffizienten d. Dann, weil der echte Teil Null sein muss: d = d = d = d = 0.

Für den imaginären Teil, wenn d = d = d = 0, und wenn d=1 und d=2 die Ziffer-Schnur gefunden werden kann. Mit den obengenannten Koeffizienten in der Ziffer-Schnur ist das Ergebnis:

:.

Hinzufügung und Subtraktion

Es ist möglich, Zahlen im quater-imaginären System hinzuzufügen und abzuziehen. Im Tun davon gibt es zwei Grundregeln, die beachtet werden müssen:

1. Wann auch immer eine Zahl 3 zu weit geht, machen Sie 4 Abstriche und "tragen Sie" &minus;1 zwei Plätze nach links.
2. Wann auch immer eine Zahl unten 0 fällt, tragen Sie 4 bei und "tragen Sie" +1 zwei Plätze nach links.

Oder für den kurzen: "Wenn Sie vier beitragen, +1 tragen. Wenn Sie vier Abstriche machen,-1 tragen". Das ist das Gegenteil der normalen langen Hinzufügung, in der ein "Tragen" in der aktuellen Säule das Hinzufügen 1 zur folgenden Säule nach links verlangt, und ein "Leihen" das Abziehen verlangt. In der quater-imaginären Arithmetik macht ein "Tragen" von der next-one Säule Abstriche, und ein "Leihen" trägt bei.

Beispiel: Hinzufügung

Unten sind zwei Beispiele des Hinzufügens im quater-imaginären System:

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1 - 2i 1031 3 - 4i 1023

1 - 2i 1031 1 - 8i 1001

-------+

2 - 4i 1022 4 - 12i 12320

</pre>

Im ersten Beispiel fangen wir an, indem wir die zwei 1s in der ersten Säule (die Säule der "") hinzufügen, 2 gebend. Dann fügen wir die zwei 3s in der zweiten Säule ("2is Säule") hinzu, 6 gebend; 6 ist größer als 3, so machen wir 4 (das Geben 2 als das Ergebnis in der zweiten Säule) Abstriche und tragen &minus;1 in die vierte Säule. Das Hinzufügen des 0s in der dritten Säule gibt 0; und schließlich gibt das Hinzufügen der zwei 1s und das getragene &minus;1 in der vierten Säule 1.

Im zweiten Beispiel tragen wir zuerst 3+1 bei, 4 gebend; 4 ist größer als 3, so machen wir 4 (das Geben 0) Abstriche und tragen &minus;1 in die dritte Säule ("&minus;4s Säule"). Dann tragen wir 2+0 in der zweiten Säule bei, 2 gebend. In der dritten Säule haben wir 0+0 + (&minus;1) wegen des Tragens; &minus;1 ist weniger als 0, so tragen wir 4 (das Geben 3 als das Ergebnis in der dritten Säule) bei und "borgen" +1 in die fünfte Säule. In der vierten Säule, 1+1 ist 2; und das Tragen in der fünften Säule gibt 1, für ein Ergebnis dessen.

Beispiel: Subtraktion

Subtraktion ist der Hinzufügung analog, in der sie dieselben zwei Regeln verwendet, die oben beschrieben sind. Unten ist ein Beispiel:

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- 2 - 8i 1102

1 - 6i 1011

--------

- 3 - 2i 1131

</pre>

In diesem Beispiel müssen wir davon Abstriche machen. Die niedrigstwertige Ziffer ist 2&minus;1 = 1. Die zweite Ziffer vom Recht würde &minus;1 werden, so tragen Sie 4 bei, um 3 zu geben und dann +1 zwei Plätze nach links zu tragen. Die dritte Ziffer vom Recht ist 1&minus;0 = 1. Dann ist die leftmost Ziffer 1&minus;1 plus 1 vom Tragen, 1 gebend. Das gibt eine Endantwort dessen.

Multiplikation

Für die lange Multiplikation im quater-imaginären System werden die zwei angegebenen Regeln ebenso verwendet. Wenn Sie Zahlen multiplizieren, multiplizieren Sie die erste Schnur mit jeder Ziffer in der zweiten Schnur aufeinander folgend und fügen Sie die resultierenden Schnuren hinzu. Mit jeder Multiplikation wird eine Ziffer in der zweiten Schnur mit der ersten Schnur multipliziert. Die Multiplikation fängt mit der niedrigstwertigen Ziffer in der zweiten Schnur an und bewegt sich dann nach links durch eine Ziffer, jede Ziffer mit der ersten Schnur multiplizierend.

Dann werden die resultierenden teilweisen Produkte hinzugefügt, wohin jeder nach links durch eine Ziffer ausgewechselt wird. Ein Beispiel:

:

11201

20121 x

--------

11201

Das entspricht einer Multiplikation dessen.

Tabellarisierte Konvertierungen

Unten ist ein Tisch von einigen Dezimalzahlen und komplexen Zahlen und ihren quater-imaginären Kollegen.

Beispiele

Unten sind einige andere Beispiele von Konvertierungen von Dezimalzahlen bis quater-imaginäre-Zahlen.

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Siehe auch

• Vierergruppe-Ziffer-System
• Komplizierte Grundsysteme
• D. Knuth. Die Kunst der Computerprogrammierung. Band 2, 3. Ausgabe. Addison-Wesley. Seiten 205, "Stellungszahl-Systeme"