In der Mathematik ist eine Teilung der Einheit eines topologischen Raums X eine Reihe dauernder Funktionen, von X bis den Einheitszwischenraum [0,1] solch das für jeden Punkt,

• es gibt eine Nachbarschaft von x, wo alle außer einer begrenzten Zahl der Funktionen 0, und sind
• die Summe aller Funktionswerte an x ist 1, d. h..

Manchmal ist die Voraussetzung nicht als streng: Die Summe aller Funktionswerte an einem besonderen Punkt ist nur erforderlich, aber nicht eine festgelegte Zahl für alle Punkte im Raum positiv

Teilungen der Einheit sind nützlich, weil sie häufig erlauben, lokale Aufbauten zum ganzen Raum zu erweitern.

Die Existenz von Teilungen der Einheit nimmt zwei verschiedene Formen an:

1. In Anbetracht jedes offenen Deckels {U} eines Raums, dort besteht eine Teilung {ρ} mit einem Inhaltsverzeichnis versehen über denselben Satz I solch dass supp ρ  U. Wie man sagt, ist solch eine Teilung dem offenen Deckel {U} untergeordnet.
2. In Anbetracht jedes offenen Deckels {U} eines Raums, dort besteht eine Teilung {ρ} mit einem Inhaltsverzeichnis versehen über einen vielleicht verschiedenen Index hat solchen J gesetzt, dass jeder ρ Kompaktunterstützung und für jeden jJ, supp ρ  U für einen iI hat.

So beschließt man, entweder die Unterstützungen durch den offenen Deckel oder die kompakten Unterstützungen mit einem Inhaltsverzeichnis versehen zu lassen. Wenn der Raum kompakt ist, dann dort bestehen Teilungen, die beide Voraussetzungen befriedigen.

Die Parakompaktheit des Raums ist eine notwendige Bedingung, die Existenz einer Teilung des Einheitsuntergebenen zu jedem offenen Deckel zu versichern. Abhängig von der Kategorie, der der Raum gehört, kann es auch eine genügend Bedingung sein. Der Aufbau verwendet mollifiers (Beule-Funktionen), die in den dauernden und glatten mannigfaltigen Kategorien, aber nicht der analytischen Kategorie bestehen. So bestehen analytische Teilungen der Einheit nicht. Sieh analytische Verlängerung.

Anwendungen

Eine Teilung der Einheit kann verwendet werden, um das Integral (in Bezug auf eine Volumen-Form) von einer über eine Sammelleitung definierten Funktion zu definieren: Ein erster definiert das Integral einer Funktion, deren Unterstützung in einem einzelnen Koordinatenfleck der Sammelleitung enthalten wird; dann verwendet man eine Teilung der Einheit, um das Integral einer willkürlichen Funktion zu definieren; schließlich zeigt man, dass die Definition der gewählten Teilung der Einheit unabhängig ist.

Eine Teilung der Einheit kann verwendet werden, um die Existenz von auf einer willkürlichen Sammelleitung metrischem Riemannian zu zeigen.

Siehe auch

• das Kleben des Axioms
• feines Bündel

• sieh Kapitel 13

Links

• Allgemeine Information über die Teilung der Einheit an [Mathworld]
• Anwendungen einer Teilung der Einheit an [Planet-Mathematik]