In der mathematischen Analyse ist Kontinuität von Lipschitz, genannt nach Rudolf Lipschitz, eine starke Form der gleichförmigen Kontinuität für Funktionen. Intuitiv, ein Lipschitz dauernde Funktion wird darin beschränkt, wie schnell sie sich ändern kann: Für jedes Paar von Punkten auf dem Graphen dieser Funktion ist der absolute Wert des Hangs der Linie, die sie verbindet, nicht größer als eine bestimmte reelle Zahl; das gebunden wird den "Lipschitz der Funktion unveränderlich" (oder "Modul der gleichförmigen Kontinuität") genannt.

In der Theorie von Differenzialgleichungen ist Kontinuität von Lipschitz die Hauptbedingung des Picard-Lindelöf Lehrsatzes, der die Existenz und Einzigartigkeit der Lösung eines Anfangswert-Problems versichert. Ein spezieller Typ der Kontinuität von Lipschitz, genannt Zusammenziehung, wird in Banach befestigter Punkt-Lehrsatz verwendet.

Das Konzept der Kontinuität von Lipschitz ist auf metrischen Räumen bestimmt. Eine Generalisation der Kontinuität von Lipschitz wird Kontinuität von Hölder genannt.

Definitionen

In Anbetracht zwei metrischer Räume (X, d) und (Y, d), wo d anzeigt, ist das metrische auf dem Satz X und d das metrische auf dem Satz Y (zum Beispiel, Y könnte der Satz von reellen Zahlen R mit dem metrischen d sein (x, y) = |x  y, und X könnte eine Teilmenge von R), eine Funktion sein

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wird dauernden Lipschitz genannt, wenn dort ein echter unveränderlicher K  0 solches dass, für den ganzen x und x in X, besteht

Jeder solcher K wird für den Funktions-ƒ unveränderlichen Lipschitz genannt. Die kleinste Konstante wird manchmal (besten) unveränderlichen Lipschitz genannt; jedoch in den meisten Fällen ist der letzte Begriff weniger wichtig. Wenn K = 1 die Funktion eine kurze Karte, und wenn 0  K = x genannt wird. Sonst kann man eine Funktion gleichwertig definieren, dauernder Lipschitz zu sein, wenn, und nur wenn dort ein unveränderlicher K  0 solches dass, für den ganzen x  x, besteht

Für reellwertige Funktionen von mehreren echten Variablen hält das, ob, und nur wenn der Hang aller schneidenden Linien durch K begrenzt wird. Der Satz von Linien des Hangs K das Durchführen eines Punkts auf dem Graphen der Funktion bildet einen kreisförmigen Kegel, und eine Funktion ist Lipschitz, wenn, und nur wenn der Graph der Funktion überall völlig außerhalb dieses Kegels liegt (sieh Zahl).

Eine Funktion wird lokal dauernden Lipschitz genannt, wenn für jeden x in X dort eine Nachbarschaft U von solchem x besteht, dass auf U eingeschränkter f dauernder Lipschitz ist. Gleichwertig, wenn X ein lokal kompakter metrischer Raum, dann &fnof ist; ist lokal Lipschitz, wenn, und nur wenn es Lipschitz ist, der auf jeder Kompaktteilmenge X dauernd ist. In Räumen, die nicht lokal kompakt sind, ist das ein notwendiger, aber nicht eine genügend Bedingung.

Mehr allgemein, wie man sagt, ist eine Funktion f definiert auf X Hölder dauernd oder befriedigt eine Bedingung von Hölder der Ordnung α> 0 auf X, wenn dort eine Konstante M> 0 solches dass besteht

für den ganzen x und y in X. Manchmal wird eine Bedingung von Hölder der Ordnung α auch eine gleichförmige Bedingung von Lipschitz der Ordnung α> 0 genannt.

Wenn dort ein K &ge besteht; 1 mit

dann wird ƒ bilipschitz (auch schriftlicher bi-Lipschitz) genannt. Ein kartografisch darstellender bilipschitz ist injective, und ist tatsächlich ein homeomorphism auf sein Image. Eine Bilipschitz-Funktion ist dasselbe Ding wie eine injective Funktion von Lipschitz, deren umgekehrte Funktion auch Lipschitz ist. Funktionen von Surjective bilipschitz sind genau der Isomorphismus von metrischen Räumen.

Beispiele

Lipschitz dauernde Funktionen

• Die Funktion f (x) = definiert für alle reellen Zahlen ist Lipschitz, der mit Lipschitz unveränderlicher K = 1 dauernd ist, weil es überall differentiable ist und der absolute Wert der Ableitung oben durch 1 begrenzt wird.
• Ebenfalls ist die Sinusfunktion dauernder Lipschitz, weil seine Ableitung, die Kosinus-Funktion, oben durch 1 im absoluten Wert begrenzt wird.
• Die Funktion f (x) = x definiert auf dem reals ist Lipschitz, der mit Lipschitz dauernd ist, unveränderlich gleich 1, durch die Rückdreieck-Ungleichheit. Das ist ein Beispiel von Lipschitz dauernde Funktion, die nicht differentiable ist. Mehr allgemein ist eine Norm auf einem Vektorraum Lipschitz, der in Bezug auf das verbundene metrische mit Lipschitz dauernd ist, unveränderlich gleich 1.

Dauernde Funktionen, die nicht (allgemein) dauernder Lipschitz sind:

• Die Funktion f (x) = x mit dem Gebiet alle reellen Zahlen ist nicht dauernder Lipschitz. Diese Funktion wird willkürlich steil als x Annäherungsunendlichkeit. Es ist jedoch lokal dauernder Lipschitz.
• Die Funktion f (x) = definiert auf [0, 1] ist nicht dauernder Lipschitz. Diese Funktion wird ungeheuer steil, weil sich x 0 nähert, da seine Ableitung unendlich wird. Jedoch ist es sowie Hölder gleichförmig dauernd, der der Klasse C für α  1/2 dauernd ist.

Funktionen von Differentiable, die nicht (allgemein) dauernder Lipschitz sind:

• Die Funktion f (x) = xsin (1/x) (x  0) und f (0) = 0, eingeschränkt auf [0, 1], führt ein Beispiel einer Funktion an, die differentiable auf einem Kompaktsatz ist, während nicht lokal Lipschitz, weil seine abgeleitete Funktion nicht begrenzt wird. Siehe auch das erste Eigentum unten.

Eigenschaften

• Überall fungieren differentiable g: R  ist R dauernder Lipschitz (mit K = Mund voll g′ (x)) wenn, und nur wenn es die erste Ableitung begrenzt hat; eine Richtung folgt aus dem Mittelwertlehrsatz. Insbesondere jede C-Funktion ist lokal Lipschitz, weil dauernde Funktionen auf einem lokal kompakten Raum so lokal begrenzt werden, ist sein Anstieg.
• Ein Lipschitz fungiert g: R  ist R absolut dauernd und ist deshalb differentiable fast überall, d. h. differentiable an jedem Punkt außerhalb einer Reihe von Lebesgue messen Null. Seine Ableitung wird im Wesentlichen im Umfang von Lipschitz unveränderlich, und für a begrenzt, wo U ein offener Satz in R ist, ist fast überall differentiable. Außerdem, wenn K bester von ƒ unveränderlicher Lipschitz, dann ist, wann auch immer der abgeleitete GesamtDƒ besteht.
• Weil differentiable Lipschitz ƒ kartografisch darstellt: U  R die Ungleichheit hält für besten Lipschitz unveränderlich von f, und es erweist sich, eine Gleichheit zu sein, wenn das Gebiet U konvex ist.
• Nehmen Sie an, dass das eine Folge von Lipschitz dauernder mappings zwischen zwei metrischen Räumen ist, und dass alle Lipschitz unveränderlich begrenzt durch einen K haben. Wenn ƒ zu einem kartografisch darstellenden ƒ gleichförmig zusammenläuft, dann ist ƒ auch Lipschitz, mit Lipschitz unveränderlich begrenzt durch denselben K. Insbesondere das deutet an, dass der Satz von reellwertigen Funktionen auf einem metrischen Kompaktraum mit einer Einzelheit, die für unveränderlichen Lipschitz gebunden ist, eine geschlossene und konvexe Teilmenge des Banachraums von dauernden Funktionen ist. Dieses Ergebnis hält für Folgen nicht, in denen die Funktionen unbounded&thinsp haben können; Konstanten von Lipschitz, jedoch. Tatsächlich ist der Raum aller Funktionen von Lipschitz auf einem metrischen Kompaktraum im Banachraum von dauernden Funktionen, einer elementaren Folge des Stein-Weierstrass Lehrsatzes dicht.
• Jede Lipschitz dauernde Karte, ist und folglich ein fortiori dauernder gleichförmig dauernd. Mehr allgemein geht eine Reihe von Funktionen mit begrenztem Lipschitz unveränderliche Formen ein equicontinuous unter. Der Arzelà-Ascoli Lehrsatz deutet dass an, wenn eine gleichförmig begrenzte Folge von Funktionen mit begrenztem unveränderlichem Lipschitz ist, dann hat es eine konvergente Subfolge. Durch das Ergebnis des vorherigen Paragrafen ist die Grenze-Funktion auch Lipschitz mit demselben, das für unveränderlichen Lipschitz gebunden ist. Insbesondere fungiert der Satz ganzen reellwertigen Lipschitz auf einem metrischen Kompaktraum X habende Lipschitz constant   K  ist eine lokal kompakte konvexe Teilmenge des Banachraums C (X).
• Wenn U eine Teilmenge der metrischen RaumM und des ƒ ist: U  ist R Lipschitz dauernde Funktion, dort immer bestehen Lipschitz dauernde Karten M  R, die ƒ erweitern und denselben als ƒ unveränderlichen Lipschitz haben (sieh auch Lehrsatz von Kirszbraun). Eine Erweiterung wird dadurch zur Verfügung gestellt, wo k Lipschitz ist, der für den ƒ auf U unveränderlich ist.

Sammelleitungen von Lipschitz

Lassen Sie U und V zwei offene Sätze in R sein. Eine Funktion T: U  V wird bi-Lipschitz genannt, wenn es Lipschitz homeomorphism auf sein Image ist, und sein Gegenteil auch Lipschitz ist.

Mit bi-Lipschitz mappings ist es möglich, eine Struktur von Lipschitz auf einer topologischen Sammelleitung zu definieren, da es eine Pseudogruppenstruktur auf bi-Lipschitz homeomorphisms gibt. Diese Struktur ist zwischen dieser einer piecewise-geradlinigen Sammelleitung und einer glatten Sammelleitung Zwischen-. Tatsächlich verursacht eine PL Struktur eine einzigartige Struktur von Lipschitz; es kann in diesem Sinn 'fast' geglättet werden.

Einseitiger Lipschitz

Lassen Sie F (x) eine obere halbdauernde Funktion von x sein, und dass F (x) ein geschlossener, konvexer Satz für den ganzen x ist. Dann ist F einseitiger Lipschitz wenn

für einen C für den ganzen x und x.

Siehe auch

• Kontinuität von Dini
• Modul der Kontinuität