In der Mathematik ist eine geradlinige Kombination ein von einer Reihe von Begriffen gebauter Ausdruck durch das Multiplizieren jedes Begriffes durch eine Konstante und das Hinzufügen der Ergebnisse (z.B eine geradlinige Kombination von x und y würde jeder Ausdruck der Form-Axt + dadurch sein, wo a und b Konstanten sind). Das Konzept geradliniger Kombinationen ist zur geradlinigen Algebra und den verwandten Feldern der Mathematik zentral.

Der grösste Teil dieses Artikels befasst sich mit geradlinigen Kombinationen im Zusammenhang eines Vektorraums über ein Feld mit einigen am Ende des Artikels gegebenen Generalisationen.

Definition

Nehmen Sie an, dass K ein Feld ist (zum Beispiel, die reellen Zahlen) und V ist ein Vektorraum über K. Wie gewöhnlich nennen wir Elemente von V Vektoren und Anruf-Elemente von K Skalaren.

Wenn v..., v Vektoren sind und a..., Skalare sind, dann ist die geradlinige Kombination jener Vektoren mit jenen Skalaren als Koeffizienten

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Es gibt etwas Zweideutigkeit im Gebrauch des Begriffes "geradlinige Kombination" betreffs, ob es sich auf den Ausdruck oder auf seinen Wert bezieht. In den meisten Fällen wird der Wert, wie in der Behauptung "der Satz aller geradlinigen Kombinationen von v betont..., v bildet immer einen Subraum"; jedoch konnte man auch sagen, dass "zwei verschiedene geradlinige Kombinationen denselben Wert haben können", in welchem Fall der Ausdruck gemeint geworden sein muss. Der feine Unterschied zwischen diesem Gebrauch ist die Essenz des Begriffs der geradlinigen Abhängigkeit: Eine Familie F Vektoren ist genau linear unabhängig, wenn eine geradlinige Kombination der Vektoren in F (als Wert) einzigartig so (als Ausdruck) ist. Jedenfalls, selbst wenn angesehen als Ausdrücke, alles, was Sachen über eine geradlinige Kombination der Koeffizient jedes v sind; triviale Modifizierungen wie das Permutieren der Begriffe oder Hinzufügen von Begriffen mit dem Nullkoeffizienten geben verschiedene geradlinige Kombinationen nicht.

In einer gegebenen Situation, K und V kann ausführlich angegeben werden, oder sie können vom Zusammenhang offensichtlich sein. In diesem Fall sprechen wir häufig von einer geradlinigen Kombination der Vektoren v..., v, mit den Koeffizienten unangegeben (außer dass sie K gehören müssen). Oder wenn S eine Teilmenge V ist, können wir von einer geradlinigen Kombination von Vektoren in S sprechen, wo sowohl die Koeffizienten als auch die Vektoren unangegeben sind, außer dass die Vektoren dem Satz S gehören müssen (und die Koeffizienten K gehören müssen). Schließlich können wir einfach von einer geradlinigen Kombination sprechen, wo nichts angegeben wird (außer dass die Vektoren V gehören müssen und die Koeffizienten K gehören müssen); in diesem Fall bezieht man sich wahrscheinlich auf den Ausdruck, da jeder Vektor in V sicher der Wert einer geradlinigen Kombination ist.

Bemerken Sie, dass definitionsgemäß eine geradlinige Kombination nur begrenzt viele Vektoren (außer, wie beschrieben, in Generalisationen unten) einschließt.

Jedoch kann der Satz S, von dem die Vektoren genommen werden (wenn man erwähnt wird) noch unendlich sein; jede individuelle geradlinige Kombination wird nur begrenzt viele Vektoren einschließen.

Außerdem gibt es keinen Grund, dass n Null nicht sein kann; in diesem Fall erklären wir durch die Tagung, dass das Ergebnis der geradlinigen Kombination der Nullvektor in V ist.

Beispiele und Gegenbeispiele

Vektoren

Lassen Sie Feld K der Satz R von reellen Zahlen sein, und den Vektorraum V der Euklidische Raum R sein zu lassen.

Denken Sie die Vektoren e = (1,0,0), e = (0,1,0) und e = (0,0,1).

Dann ist jeder Vektor in R eine geradlinige Kombination von e, e und e.

Um zu sehen, dass das so ist, nehmen Sie einen willkürlichen Vektoren (a, a, a) in R und schreiben Sie:

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Funktionen

Lassen Sie K der Satz C von allen komplexen Zahlen sein, und V der Satz C(R) aller dauernden Funktionen von der echten Linie R zum komplizierten Flugzeug C sein zu lassen.

Denken Sie die Vektoren (Funktionen) f und g definiert durch f (t): = e und g (t): = e.

(Hier ist e die Basis des natürlichen Logarithmus, ungefähr 2.71828..., und ich bin die imaginäre Einheit, eine Quadratwurzel −1.)

Einige geradlinige Kombinationen von f und g sind:

Andererseits ist die unveränderliche Funktion 3 nicht eine geradlinige Kombination von f und g. Um das zu sehen, nehmen Sie an, dass 3 als eine geradlinige Kombination von e und e geschrieben werden konnte. Das bedeutet, dass dort komplizierte Skalare a und solcher b dass ae + bestehen würde, = 3 für alle reellen Zahlen t sein. Wenn er t = 0 und t = untergeht, gibt π die Gleichungen + b = 3 und + b = −3, und klar kann das nicht geschehen. Sieh die Identität von Euler.

Polynome

Lassen Sie K R, C, oder jedes Feld sein, und V der Satz P von allen Polynomen mit von Feld K genommenen Koeffizienten sein zu lassen.

Denken Sie die Vektoren (Polynome) p: = 1, p: = x + 1, und p: = x + x + 1.

Ist das Polynom x − 1 eine geradlinige Kombination von p, p, und p?

Um herauszufinden, denken Sie eine willkürliche geradlinige Kombination dieser Vektoren und versuchen Sie zu sehen, wenn sie dem gewünschten Vektoren x &minus gleichkommt; 1.

Willkürliche Koeffizienten a, a und a aufpickend, wollen wir

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Die Polynome multiplizierend, bedeutet das

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und sich wie Mächte von x versammelnd, bekommen wir

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Zwei Polynome sind gleich, wenn, und nur wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind, so können wir schließen

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Dieses System von geradlinigen Gleichungen kann leicht gelöst werden.

Erstens sagt die erste Gleichung einfach dass von 1 zu sein.

Wissend, dass wir die zweite Gleichung für a lösen können, der zu −1. herauskommt

Schließlich sagt die letzte Gleichung uns dass auch −1. zu sein

Deshalb ist die einzige mögliche Weise, eine geradlinige Kombination zu bekommen, mit diesen Koeffizienten.

Tatsächlich,

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so x − 1 ist eine geradlinige Kombination von p, p, und p.

Andererseits, wie steht's mit dem Polynom x − 1?

Wenn wir versuchen, diesen Vektoren eine geradlinige Kombination von p, p, und p zu machen, dann demselben Prozess wie zuvor folgend, werden wir die Gleichung bekommen

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Jedoch, wenn wir entsprechende Koeffizienten gleich in diesem Fall setzen, ist die Gleichung für x

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der immer falsch ist.

Deshalb gibt es keinen Weg dafür, um, und x &minus zu arbeiten; 1 ist nicht eine geradlinige Kombination von p, p, und p.

Die geradlinige Spanne

Hauptartikel: geradlinige Spanne

Nehmen Sie ein willkürliches Feld K, ein willkürlicher Vektorraum V, und lassen Sie v..., v Vektoren (in V) sein.

Es ist interessant, den Satz aller geradlinigen Kombinationen dieser Vektoren zu denken.

Dieser Satz wird die geradlinige Spanne genannt (oder messen Sie gerade ab) der Vektoren, sagen Sie S = {v..., v}. Wir schreiben die Spanne von S als Spanne (S) oder sp (S):

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Geradlinige Unabhängigkeit

Für einige Sätze von Vektoren v..., v,

ein einzelner Vektor kann auf zwei verschiedene Weisen als eine geradlinige Kombination von ihnen geschrieben werden:

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Gleichwertig durch das Abziehen von diesen ist eine nichttriviale Kombination Null:

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Wenn das möglich ist, dann werden v..., v linear abhängig genannt; sonst sind sie linear unabhängig.

Ähnlich können wir von der geradlinigen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit eines willkürlichen Satzes S von Vektoren sprechen.

Wenn S linear unabhängig ist und die Spanne von S V gleich ist, dann ist S eine Basis für V.

Affine, konische und konvexe Kombinationen

Indem

man die in geradlinigen Kombinationen verwendeten Koeffizienten einschränkt, kann man die zusammenhängenden Konzepte der affine Kombination, konischen Kombination, und konvexen Kombination und der verbundenen Begriffe von unter diesen Operationen geschlossenen Sätzen definieren.

Weil das mehr eingeschränkte Operationen sind, werden mehr Teilmengen unter ihnen geschlossen, so sind affine Teilmengen, konvexe Kegel und konvexe Sätze Generalisationen von Vektor-Subräumen: Ein Vektor-Subraum ist auch ein affine Subraum, ein konvexer Kegel und ein konvexer Satz, aber ein konvexer Satz braucht kein Vektor-Subraum, affine, oder ein konvexer Kegel zu sein.

Diese Konzepte entstehen häufig, wenn man bestimmte geradlinige Kombinationen von Gegenständen, aber nicht irgendwelchem nehmen kann: Zum Beispiel wird Wahrscheinlichkeitsvertrieb unter der konvexen Kombination geschlossen (sie bilden einen konvexen Satz), aber nicht konische oder affine Kombinationen (oder geradlinig), und positive Maßnahmen werden unter der konischen Kombination, aber nicht affine oder geradlinig geschlossen - folglich definiert man unterzeichnete Maßnahmen als der geradlinige Verschluss.

Geradlinige und affine Kombinationen können über jedes Feld definiert werden (oder Ring), aber konische und konvexe Kombination verlangt einen Begriff von "positiven", und kann nur folglich über ein bestelltes Feld definiert (oder Ring bestellt werden), allgemein die reellen Zahlen.

Wenn man nur Skalarmultiplikation, nicht Hinzufügung erlaubt, herrscht man (nicht notwendigerweise konvex) Kegel vor; man schränkt häufig die Definition zu nur dem Erlauben der Multiplikation durch positive Skalare ein.

Alle diese Konzepte werden gewöhnlich als Teilmengen eines umgebenden Vektorraums definiert (abgesehen von affine Räumen, die auch als "Vektorräume betrachtet werden, die den Ursprung" vergessen), anstatt axiomatized unabhängig zu sein.

Theorie von Operad

Abstrakter, auf der Sprache der operad Theorie, kann man denken, dass Vektorräume Algebra über den operad sind (die unendliche direkte Summe, so nur begrenzt sind viele Begriffe Nichtnull; das entspricht nur Einnahme begrenzter Summen), der geradlinige Kombinationen parametrisiert: Der Vektor entspricht zum Beispiel der geradlinigen Kombination. Ähnlich kann man denken, dass affine Kombinationen, konische Kombinationen und konvexe Kombinationen dem sub-operads entsprechen, wo die Begriffe zu 1 resümieren, sind die Begriffe die ganze Nichtverneinung, oder beide beziehungsweise. Grafisch sind das das unendliche affine Hyperflugzeug, der unendliche Hyperoktant und das unendliche Simplex. Das formalisiert, was gemeint wird, indem er gewesen wird oder das Standardsimplex, das Musterräume und solche Beobachtungen ist, wie dieser jeder begrenzte konvexe polytope das Image eines Simplexes ist. Hier entsprechen suboperads mehr eingeschränkten Operationen und so allgemeineren Theorien.

Aus diesem Gesichtspunkt können wir an geradlinige Kombinationen als die allgemeinste Sorte der Operation auf einem Vektorraum denken - sagend, dass ein Vektorraum eine Algebra über den operad von geradlinigen Kombinationen ist, ist genau die Behauptung, dass alle möglichen algebraischen Operationen in einem Vektorraum geradlinige Kombinationen sind.

Die grundlegenden Operationen der Hinzufügung und Skalarmultiplikation, zusammen mit der Existenz einer zusätzlichen Identität und zusätzlicher Gegenteile, können auf nicht mehr die komplizierte Weise verbunden werden als die allgemeine geradlinige Kombination: Die grundlegenden Operationen sind ein Erzeugen-Satz für den operad aller geradlinigen Kombinationen.

Schließlich liegt diese Tatsache am Herzen der Nützlichkeit von geradlinigen Kombinationen in der Studie von Vektorräumen.

Generalisationen

Wenn V ein topologischer Vektorraum ist, dann kann es eine Weise geben, bestimmte unendliche geradlinige Kombinationen, mit der Topologie V zu verstehen.

Zum Beispiel könnten wir im Stande sein, von av + av + av + zu sprechen..., für immer weitergehend.

Solche unendlichen geradlinigen Kombinationen haben Sinn nicht immer; wir nennen sie konvergent, wenn sie tun.

Das Erlauben mehr geradliniger Kombinationen kann auch in diesem Fall zu einem verschiedenen Konzept der Spanne, geradlinigen Unabhängigkeit und Basis führen.

Die Artikel über die verschiedenen Geschmäcke nach topologischen Vektorräumen treten in mehr Detail über diese ein.

Wenn K ein Ersatzring statt eines Feldes ist, dann verallgemeinert alles, was oben über geradlinige Kombinationen gesagt worden ist, zu diesem Fall ohne Änderung.

Der einzige Unterschied ist, dass wir Räume wie V Module statt Vektorräume nennen.

Wenn K ein Nichtersatzring ist, dann verallgemeinert das Konzept noch mit einer Verwahrung:

Da Module über Nichtersatzringe in linken und richtigen Versionen kommen, können unsere geradlinigen Kombinationen auch in jeder dieser Versionen kommen, was auch immer für das gegebene Modul passend ist.

Das ist einfach eine Sache, Skalarmultiplikation auf der richtigen Seite zu tun.

Eine mehr komplizierte Drehung kommt, wenn V ein bimodule mehr als zwei Ringe, K und K ist.

In diesem Fall sieht die allgemeinste geradlinige Kombination wie aus

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wo a..., ein Gehören K, b..., b K gehört, und v..., v V gehören.