In der Mathematik die Grenze untergeordnet (hat auch Infimum-Grenze genannt, beschränken liminf, untergeordnete Grenze, tiefer, oder innere Grenze), und beschränken Sie höher (auch genannt Supremum-Grenze, limsup, höhere Grenze, obere Grenze oder Außengrenze) einer Folge kann als beschränkend (d. h., schließlich und äußerst) Grenzen auf der Folge gedacht werden. Von der Grenze untergeordnet und einer Funktion höheren Grenze kann auf eine ähnliche Mode gedacht werden (sieh Grenze einer Funktion). Die Grenze untergeordnet und eines Satzes höhere Grenze sind der infimum und das Supremum der Grenze-Punkte des Satzes beziehungsweise. Im Allgemeinen, wenn es vielfache Gegenstände gibt, um die eine Folge, Funktion oder Satz anwachsen, ziehen die untergeordneten und höheren Grenzen das kleinste und den größten von ihnen heraus; der Typ des Gegenstands und das Maß der Größe sind kontextabhängig, aber der Begriff von äußersten Grenzen ist invariant.

Definition für Folgen

Die Grenze, die einer Folge (x) untergeordnet ist, wird durch definiert

:oder:

Ähnlich wird die Grenze, die (x) höher ist, durch definiert

:oder:

Wechselweise werden die Notationen und manchmal verwendet.

Wenn die Begriffe in der Folge reelle Zahlen, die Grenze höher sind und untergeordnet beschränken, immer, bestehen als reelle Zahlen oder ±  (d. h., auf der verlängerten Linie der reellen Zahl). Mehr allgemein haben diese Definitionen Sinn in jedem teilweise bestellten Satz, vorausgesetzt dass der suprema und infima, solcher als in einem ganzen Gitter bestehen.

Wann auch immer die gewöhnliche Grenze besteht, sind die Grenze untergeordnet und höhere Grenze beide ihr gleich; deshalb kann jeder als eine Generalisation der gewöhnlichen Grenze betrachtet werden, die in erster Linie in Fällen interessant ist, wo die Grenze nicht besteht. Wann auch immer lim inf x und lim Mund voll x beide bestehen, haben wir

:

Untergeordnete/höhere Grenzen sind mit der großen-O Notation verbunden, in der sie eine Folge nur "in der Grenze" gebunden haben; die Folge kann das bestimmte überschreiten. Jedoch mit der großen-O Notation kann die Folge nur das bestimmte in einem begrenzten Präfix der Folge überschreiten, wohingegen die Grenze, die einer Folge wie e höher ist, wirklich weniger sein kann als alle Elemente der Folge. Die einzige gemachte Versprechung besteht darin, dass ein Schwanz der Folge durch die Grenze vorgesetzter (Untergeordneter) plus (minus) eine willkürlich kleine positive Konstante begrenzt werden kann.

Die Grenze höher und einer Folge untergeordnete Grenze sind ein spezieller Fall von denjenigen einer Funktion (sieh unten).

Der Fall von Folgen von reellen Zahlen

In der mathematischen Analyse, beschränken Sie höher und beschränken Sie untergeordnet sind wichtige Werkzeuge, um Folgen von reellen Zahlen zu studieren. Da das Supremum und infimum eines unbegrenzten Satzes von reellen Zahlen nicht bestehen können (die reals sind nicht ein ganzes Gitter), es ist günstig zu denken, dass Folgen im affinely System der reellen Zahl erweitert haben: Wir fügen die positive und negative Unendlichkeit zur echten Linie hinzu, um den ganzen völlig bestellten Satz [-, ] zu geben, der ein ganzes Gitter ist.

Interpretation

Denken Sie eine Folge, die aus reellen Zahlen besteht. Nehmen Sie an, dass die Grenze höher und untergeordnet beschränkt, sind reelle Zahlen (so, ziemlich begrenzt).

• Die Grenze, die dessen höher ist, ist die kleinste solche reelle Zahl, dass, für jede positive reelle Zahl, dort eine solche natürliche Zahl dass besteht

• Die Grenze, die dessen untergeordnet ist, ist die größte reelle Zahl, dass, für jede positive reelle Zahl, dort eine natürliche Zahl solch das für alle besteht. Mit anderen Worten ist jede Zahl unter der untergeordneten Grenze ein für die Folge tiefer gebundener schließlicher. Nur eine begrenzte Zahl der Elemente der Folge ist weniger als.

Eigenschaften

Die Beziehung der Grenze untergeordnet und für Folgen von reellen Zahlen höheren Grenze ist wie folgt

:

Wie erwähnt, früher ist es günstig, R zu [, ] zu erweitern. Dann, (x) in [, ] läuft wenn und nur wenn zusammen

:

in welchem Fall ihrem allgemeinen Wert gleich ist. (Bemerken Sie, dass, wenn man gerade in R arbeitet, die Konvergenz zu  oder  als Konvergenz nicht betrachtet würde.), Da die untergeordnete Grenze höchstens die Grenze höher, die Bedingung ist

:

bezieht das ein

:

und die Bedingung

:bezieht das ein:

Wenn

:und:

dann der Zwischenraum [brauche ich, S] keine der Zahlen x, aber jede geringe Vergrößerung [ich &minus zu enthalten; ε, S + ε] (für willkürlich kleinen ε> wird 0) x für alle außer begrenzt vielen Indizes n enthalten. Tatsächlich der Zwischenraum [bin ich, S] der kleinste geschlossene Zwischenraum mit diesem Eigentum. Wir können dieses Eigentum wie das formalisieren. Wenn dort so dass besteht

:

dann dort besteht eine Subfolge dessen, für den wir das haben

:

Ebenso hält ein analoges Eigentum für die untergeordnete Grenze: wenn

:dann dort besteht eine Subfolge dessen, für den wir das haben:

Andererseits haben wir das wenn

:

dort besteht so dass

:

Ähnlich, wenn dort so dass besteht

:dort besteht so dass:

Kurz zu wiederholen:

• Wenn größer ist als die höhere Grenze, gibt es höchstens begrenzt viele, die größer sind als; wenn es weniger ist, gibt es ungeheuer viele.
• Wenn weniger ist als die untergeordnete Grenze, gibt es höchstens begrenzt noch viel weniger als; wenn es größer ist, gibt es ungeheuer viele.

Im Allgemeinen haben wir das

:

Der liminf und limsup einer Folge sind beziehungsweise die kleinsten und größten Traube-Punkte.

• Für irgendwelche zwei Folgen von reellen Zahlen befriedigt die höhere Grenze Subadditivität, wann auch immer die richtige Seite der Ungleichheit (d. h., nicht oder) definiert wird:

:.

Analog befriedigt die untergeordnete Grenze Superadditivität:

:

Im besonderen Fall, dass eine der Folgen wirklich, sagen wir, dann die Ungleichheit über gewordenen Gleichheiten zusammenläuft (mit oder durch ersetzt zu werden).

Beispiele

• Als ein Beispiel, betrachten Sie die Folge als gegeben durch x = Sünde (n). Mit der Tatsache, dass Pi vernunftwidrig ist, kann man dem zeigen

:und:

(Das ist weil die Folge {1,2,3...} ist equidistributed mod 2π eine Folge des Lehrsatzes von Equidistribution.)

• Ein Beispiel von der Zahlentheorie ist

:

wo p die n-te Primzahl ist.

Der Wert dieser untergeordneten Grenze wird vermutet, um 2 zu sein - das ist der Zwilling Hauptvermutung - aber ist bis jetzt begrenzt nicht sogar bewiesen worden. Die entsprechende höhere Grenze ist, weil es willkürliche Lücken zwischen der Konsekutivblüte gibt.

Reellwertige Funktionen

Nehmen Sie an, dass eine Funktion von einer Teilmenge der reellen Zahlen zu den reellen Zahlen definiert wird. Als im Fall für Folgen sind die Grenze untergeordnet und höhere Grenze immer bestimmt, wenn wir die Werte +  und -  erlauben; tatsächlich, wenn, sowohl dann die Grenze abzustimmen, besteht als auch ihrem allgemeinen Wert (wieder vielleicht einschließlich der Unendlichkeit) gleich ist. Zum Beispiel, gegeben f (x) = Sünde (1/x), haben wir lim Mund voll f (x) = 1 und lim inf f (x) =-1. Der Unterschied zwischen den zwei ist ein raues Maß dessen, wie "wild" die Funktion, und in der Beobachtung dieser Tatsache schwingt, wird es die Schwingung von f an a genannt. Diese Idee von der Schwingung ist zu zum Beispiel genügend, charakterisieren Sie Funktionen von Riemann-Integrable als dauernd außer auf einer Reihe der Maß-Null http://tt.lamf.uwindsor.ca/314folder/analbookfiles/RintexistLebesgue.pdf. Bemerken Sie, dass Punkte der Nichtnullschwingung (d. h., Punkte, an denen f "schlecht benommen wird") Diskontinuitäten sind, die, wenn sie eine Reihe der Null nicht zusammensetzen, auf einen unwesentlichen Satz beschränkt werden.

Funktionen von metrischen Räumen bis metrische Räume

Es gibt einen Begriff des lim Munds voll und lim inf für Funktionen, die auf einem metrischen Raum dessen Beziehung zu Grenzen von reellwertigen Funktionsspiegeln diese der Beziehung zwischen dem lim Mund voll, lim inf, und der Grenze einer echten Folge definiert sind. Nehmen Sie metrische Räume X und Y, ein Subraum E enthalten in X, und eine Funktion f: E  Y. Der Raum Y sollte auch ein bestellter Satz sein, so dass die Begriffe des Supremums und infimum Sinn haben. Definieren Sie, weil jede Grenze E, hinweist

:und:

wo B (a; ε) zeigt den metrischen Ball des Radius ε über a an.

Bemerken Sie, dass weil ε zurückweicht, ist das Supremum der Funktion über den Ball das Eintönigkeitsverringern, so haben wir

:

und ähnlich

:

Das motiviert schließlich die Definitionen für allgemeine topologische Räume. Nehmen Sie X, Y, E und wie zuvor, aber lassen Sie jetzt X und Y beide topologische Räume sein. In diesem Fall ersetzen wir metrische Bälle durch die Nachbarschaft:

::

(es gibt eine Weise, die Formel mit einem lim das Verwenden von Netzen und dem Nachbarschaft-Filter zu schreiben). Diese Version ist häufig in Diskussionen der Halbkontinuität nützlich, die in der Analyse ganz häufig auftreten. Ein interessantes Zeichen ist, dass diese Version die folgende Version durch das Betrachten von Folgen als Funktionen von den natürlichen Zahlen als ein topologischer Subraum der verlängerten echten Linie in den Raum unterordnet (der Verschluss von N in [-, ] ist N  {}.)

Folgen von Sätzen

Die Macht hat  gesetzt (X) eines Satzes X sind ein ganzes Gitter, das durch die Satz-Einschließung bestellt wird, und so bestehen das Supremum und infimum jedes Satzes von Sätzen, in Bezug auf die Satz-Einschließung, Teilmengen immer. Insbesondere jede Teilmenge Y X wird oben durch X und unten durch den leeren Satz  weil   Y  X begrenzt. Folglich ist es möglich (und manchmal nützlich), höhere und untergeordnete Grenzen von Folgen in  (X) (d. h., Folgen von Teilmengen X) zu denken.

Es gibt zwei allgemeine Weisen, die Grenze von Folgen des Satzes zu definieren. In beiden Fällen:

• Die Folge wächst um Sätze von Punkten aber nicht einzelnen Punkten selbst an. D. h. weil jedes Element der Folge selbst ein Satz ist, dort bestehen Sie Anhäufungssätze, die irgendwie zu ungeheuer vielen Elementen der Folge nahe gelegen sind.
• Die Grenze des Supremums/höheren/Außen-ist ein Satz, der sich diesen anschließt, geht Anhäufung zusammen unter. D. h. es ist die Vereinigung von allen Anhäufungssätzen. Wenn sie durch die Satz-Einschließung bestellt, ist die Supremum-Grenze am wenigsten ober hat zum Satz von Anhäufungspunkten gebunden, weil es jeden von ihnen enthält. Folglich ist es das Supremum der Grenze-Punkte.
• Die Infimum/inferior/inner-Grenze ist ein Satz, wo sich alle diese Anhäufungssätze treffen. D. h. es ist die Kreuzung von allen Anhäufungssätzen. Wenn sie durch die Satz-Einschließung bestellt, ist die Infimum-Grenze am größten tiefer hat zum Satz von Anhäufungspunkten gebunden, weil es in jedem von ihnen enthalten wird. Folglich ist es der infimum der Grenze-Punkte.
• Weil Einrichtung durch die Satz-Einschließung ist, dann wird die Außengrenze immer die innere Grenze (d. h., lim inf X  lim Mund voll X) enthalten. Folglich, wenn es die Konvergenz einer Folge von Sätzen denkt, genügt es allgemein, um die Konvergenz der Außengrenze dieser Folge zu denken.

Der Unterschied zwischen den zwei Definitionen schließt die Topologie ein (d. h., wie man Trennung misst), wird definiert. Tatsächlich ist die zweite Definition zum ersten identisch, wenn das getrennte metrische verwendet wird, um die Topologie auf X zu veranlassen.

Allgemeine Satz-Konvergenz

In diesem Fall nähert sich eine Folge von Sätzen einem Begrenzungssatz, wenn sich die Elemente jedes Mitgliedes der Folge den Elementen des Begrenzungssatzes nähern. Insbesondere wenn {X} eine Folge von Teilmengen X, dann ist:

• Lim-Mund voll X, der auch die Außengrenze genannt wird, besteht aus jenen Elementen, die Grenzen von Punkten in X genommen von (zählbar) ungeheuer vielen n sind. D. h. x  lim Mund voll X wenn, und nur wenn dort eine Folge von Punkten x und eine Subfolge {X} {X} solch dass x  X und x  x als k   besteht.
• lim inf X, der auch die innere Grenze genannt wird, besteht aus jenen Elementen, die Grenzen von Punkten in X für alle außer begrenzt vielen n (d. h., cofinitely viele n) sind. D. h. x  lim inf X wenn, und nur wenn dort eine Folge von Punkten {x} solch dass x  X und x  x als k   besteht.

Die Grenze lim X besteht, wenn, und nur wenn lim inf X und lim Mund voll X, in welchem Fall lim X = lim Mund voll X = lim inf X zustimmen.

Spezieller Fall: getrennt metrisch

In diesem Fall, der oft in der Maß-Theorie verwendet wird, nähert sich eine Folge von Sätzen einem Begrenzungssatz, wenn der Begrenzungssatz Elemente von jedem der Mitglieder der Folge einschließt. D. h. dieser Fall spezialisiert den ersten Fall, wenn die Topologie auf dem Satz X vom getrennten metrischen veranlasst wird. Für Punkte x  X und y  X wird das getrennte metrische durch definiert

:

So eine Folge von Punkten läuft {x} zusammen, um x  X wenn und nur wenn x = x für alle außer begrenzt vielen k anzuspitzen. Die folgende Definition ist das Ergebnis, das anzuwenden, das auf die allgemeine Definition oben metrisch ist.

Wenn {X} eine Folge von Teilmengen X, dann ist:

• Lim-Mund voll X besteht aus Elementen X, die X für ungeheuer viele n gehören (sieh zählbar unendlich). D. h. x  lim Mund voll X wenn, und nur wenn dort eine Subfolge {X} {X} solch dass x  X für den ganzen k besteht.
• lim inf X besteht aus Elementen X, die X für alle außer begrenzt vielen n (d. h., für cofinitely viele n) gehören. D. h. x  lim inf X wenn, und nur wenn dort ein m> 0 solches dass x  X für die ganze n> M besteht.

Die Grenze lim X besteht, wenn, und nur wenn lim inf X und lim Mund voll X, in welchem Fall lim X = lim Mund voll X = lim inf X zustimmen. Diese Definition der untergeordneten und höheren Grenzen ist relativ stark, weil sie verlangt, dass die Elemente der äußersten Grenzen auch Elemente von jedem der Sätze der Folge sind.

Mit dem Standardsprachgebrauch der Mengenlehre, denken Sie den infimum einer Folge von Sätzen. Der infimum ist ein tiefer gebundener größter, oder treffen Sie sich eines Satzes. Im Fall von einer Folge von Sätzen treffen sich die Folge-Bestandteile an einem Satz, der irgendwie kleiner ist als jeder konstituierende Satz. Satz-Einschließung stellt eine Einrichtung zur Verfügung, die Satz-Kreuzung erlaubt, einen größten zu erzeugen, tiefer hat X von Sätzen in der Folge {X} gebunden. Ähnlich ist das Supremum, das das am wenigsten obere gebunden ist oder sich anschließt, einer Folge von Sätzen die Vereinigung X Sätze in der Folge {X}.

In diesem Zusammenhang ist die innere Grenze lim inf X die größte Sitzung von Schwänzen der Folge, und die Außengrenze lim Mund voll X ist das kleinste Verbinden von Schwänzen der Folge.

• Lassen Sie mich das Entsprechen des n Schwanzes der Folge sein. Das, ist

::

:Then I ⊆ ich ⊆ ich, weil ich die Kreuzung von weniger Sätzen bin als ich. Insbesondere die Folge nehme {ich} nichtab. So ist die innere/untergeordnete Grenze am wenigsten ober, hat zu dieser Folge dessen gebunden trifft sich Schwänze. In der besonderen Einzelheit,

::

\liminf_ {n\to\infty} X_n &:= \lim_ {n\to\infty} \inf\{X_m: M \in \{n, n+1, \ldots\}\\}\\\

&= \sup\{\\inf\{X_m: M \in \{n, n+1, \ldots\}\\}: n \in \{1,2, \dots\}\\}\\\

&= ist {\\bigcup_ {n=1} ^\\infty }\\({\\bigcap_ {m=n} ^\\infty} X_m\right) abgereist.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

:So die untergeordnete Grenze handelt wie eine Version des Standards infimum, der durch den Satz von Elementen ungekünstelt ist, die nur begrenzt oft vorkommen. D. h. die Infimum-Grenze ist eine Teilmenge (d. h., ein niedrigerer gebunden) für alle außer begrenzt vielen Elementen.

• Lassen Sie ähnlich J die Verbindungslinie der M Schwanz der Folge sein. Das, ist

::

:Then J &supe; J &supe; J, weil J die Vereinigung von weniger Sätzen ist als J. Insbesondere die Folge {J} nimmt nichtzu. So ist die Außen/höhergrenze am größten, tiefer hat zu dieser Folge von Verbindungslinien von Schwänzen gebunden. In der besonderen Einzelheit,

::

\limsup_ {n\to\infty} X_n &:= \lim_ {n\to\infty} \sup\{X_m: M \in \{n, n+1, \ldots\}\\}\\\

&= \inf\{\\sup\{X_m: M \in \{n, n+1, \ldots\}\\}: n \in \{1,2, \dots\}\\}\\\

&= ist {\\bigcap_ {n=1} ^\\infty }\\({\\bigcup_ {m=n} ^\\infty} X_m\right) abgereist.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

:So die höhere Grenze handelt wie eine Version des Standardsupremums, das durch den Satz von Elementen ungekünstelt ist, die nur begrenzt oft vorkommen. D. h. die Supremum-Grenze ist eine Obermenge (d. h., ein oberer gebunden) für alle außer begrenzt vielen Elementen.

Die Grenze lim X besteht wenn und nur wenn lim Mund voll X=lim inf X, und in diesem Fall, lim X=lim inf X=lim Mund voll X. In diesem Sinn hat die Folge eine Grenze, so lange alle außer begrenzt vielen seiner Elemente der Grenze gleich sind.

Beispiele

Der folgende ist mehrere Satz-Konvergenz-Beispiele. Sie sind in Abteilungen in Bezug auf das metrische gebrochen worden, das verwendet ist, um die Topologie auf dem Satz X zu veranlassen.

Das Verwenden des getrennten metrischen

• Das Lemma von Borel-Cantelli ist eine Beispiel-Anwendung dieser Konstruktionen.

Das Verwenden entweder das getrennte metrische oder der Euklidische metrische

• Denken Sie den Satz X = {0,1} und die Folge von Teilmengen:

::

:The "seltsam" und "sogar" Elemente dieser Folge bilden zwei Subfolgen,