In der Mengenlehre, einem Gesamtbezug, geradlinigen Ordnung, einfachen Ordnung oder (nichtstrengen) Einrichtung ist eine binäre Beziehung (hier angezeigt durch das Infix ) auf einem Satz X. Die Beziehung ist transitiv, antisymmetrisch, und ganz. Ein mit einem Gesamtbezug paarweise angeordneter Satz wird einen völlig bestellten Satz, einen geradlinig bestellten Satz, einen einfach bestellten Satz oder eine Kette genannt.

Wenn X unter  völlig bestellt wird, dann halten die folgenden Behauptungen für den ganzen a, b und c in X:

: Wenn ein  b und b  dann = b (Antisymmetrie);

: Wenn ein  b und b  c dann ein  c (transitivity);

: ein  b oder b  (Gesamtheit).

Die Unähnlichkeit mit einer teilweisen Ordnung, die eine schwächere Form der dritten Bedingung hat (verlangt es nur reflexivity, nicht Gesamtheit).

Eine Beziehung, die das Eigentum "der Gesamtheit" hat, bedeutet, dass jedes Paar von Elementen im Satz der Beziehung unter der Beziehung gegenseitig vergleichbar ist. Gesamtheit bezieht reflexivity, d. h. ein  a ein, so ist ein Gesamtbezug auch eine teilweise Ordnung. Eine Erweiterung einer gegebenen teilweisen Ordnung zu einem Gesamtbezug wird eine geradlinige Erweiterung dieser teilweisen Ordnung genannt.

Strenger Gesamtbezug

Für jeden (nichtstrengen) Gesamtbezug  gibt es einen verbundenen asymmetrischen (folglich irreflexive) Beziehung

Wir können definieren oder die Weise erklären, wie ein Satz durch einige dieser vier Beziehungen völlig bestellt wird; die Notation bezieht ein, ob wir über das nichtstrenge oder den strengen Gesamtbezug sprechen.

Beispiele

• Die Buchstaben vom Alphabet, die durch die Standardwörterbuch-Ordnung, z.B, wenn und nur wenn f (x) bestellt sind).
• Die lexikografische Ordnung auf dem Kartesianischen Produkt von einer Reihe von völlig bestellten durch eine Ordnungszahl mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Sätzen, ist selbst ein Gesamtbezug. Zum Beispiel ist jeder Satz von Wörtern bestellt alphabetisch ein völlig bestellter Satz, der als eine Teilmenge eines Kartesianischen Produktes einer zählbaren Zahl von Kopien eines gebildeten Satzes durch das Hinzufügen des Raumsymbols zum Alphabet (und das Definieren eines Raums angesehen ist, um weniger zu sein, als jeder Brief).
• Der Satz von reellen Zahlen, die durch das übliche weniger bestellt sind als (
• Die natürlichen Zahlen umfassen den kleinsten völlig bestellten Satz ohne gebundenen oberen.
• Die ganzen Zahlen umfassen den kleinsten völlig bestellten Satz weder mit einem oberen noch mit einem gebundenen niedrigeren.
• Die rationalen Zahlen umfassen den kleinsten völlig bestellten Satz ohne oberen oder gebundenes niedrigeres, der im Sinn dass für jeden a und solchen b dass a dicht ist: N ist eine natürliche Zahl}, wo ich der Satz von natürlichen Zahlen unter n bin, ist eine Kette in dieser Einrichtung, weil es unter der Einschließung völlig bestellt wird: Wenn n≤k, dann bin ich eine Teilmenge von mir.

Gitter-Theorie

Man kann einen völlig bestellten Satz als eine besondere Art des Gitters, nämlich dasjenige definieren, in dem wir haben

: für den ganzen a, b.

Wir schreiben dann einen  b wenn und nur wenn. Folglich ist ein völlig bestellter Satz ein verteilendes Gitter.

Begrenzte Gesamtbezüge

Ein einfaches zählendes Argument wird nachprüfen, dass jedes nichtleere begrenzte völlig bestellt gesetzt (und folglich jede nichtleere Teilmenge davon) kleinstes Element haben. So ist jeder begrenzte Gesamtbezug tatsächlich gut Ordnung. Entweder durch den direkten Beweis oder durch das Bemerken, dass jeder gut bestellen, ist zu einer Ordnungs-isomorphe Ordnung kann zeigen, dass jeder begrenzte Gesamtbezug Ordnung ist, die zu einem anfänglichen Segment der natürlichen Zahlen isomorph ist, die dadurch bestellt sind

Wie man

zeigen kann, ist die durch einen Gesamtbezug veranlasste Ordnungstopologie normal hereditarily.

Vollständigkeit

Wie man

sagt, ist ein völlig bestellter Satz abgeschlossen, wenn jede nichtleere Teilmenge, die einen gebundenen oberen hat, einen gebundenen am wenigsten oberen hat. Zum Beispiel ist der Satz von reellen Zahlen R abgeschlossen, aber der Satz von rationalen Zahlen Q ist nicht.

Es gibt mehrere Ergebnisse, die Eigenschaften der Ordnungstopologie zur Vollständigkeit X verbinden:

• Wenn die Ordnungstopologie auf X verbunden wird, X ist abgeschlossen.
• X wird unter der Ordnungstopologie verbunden, wenn, und nur wenn es abgeschlossen ist und es keine Lücke in X gibt (eine Lücke ist zwei Punkte a und b in X mit a

Für irgendwelche zwei zusammenhanglosen Gesamtbezüge und gibt es eine natürliche Ordnung auf dem Satz, der die Summe der zwei Ordnungen oder manchmal gerade genannt wird:

: Da hält, ob, und nur wenn einer des folgenden hält:

:# und

:# und:# und

Intutitively, das bedeutet, dass die Elemente des zweiten Satzes oben auf den Elementen des ersten Satzes hinzugefügt werden.

Mehr allgemein, wenn ein völlig bestellter Index-Satz, und für jeden ist, der die Struktur eine geradlinige Ordnung ist, wo die Sätze zusammenhangloser pairwise sind, dann wird der natürliche Gesamtbezug darauf durch definiert

: Da wenn hält:

:# Irgendein gibt es einige mit

:# oder gibt es einige

Ordnungen auf dem Kartesianischen Produkt völlig bestellter Sätze

In der Größenordnung von der zunehmenden Kraft, d. h., Sätze von Paaren vermindernd, sind drei der möglichen Ordnungen auf dem Kartesianischen Produkt von zwei völlig bestellten Sätzen:

• Lexikografische Ordnung: (a, b)  (c, d) wenn, und nur wenn a, jeder von diesen es einen bestellten Vektorraum macht.

Siehe auch Beispiele teilweise bestellter Sätze.

Eine echte Funktion von n echten auf einer Teilmenge von R definierten Variablen definiert eine strenge schwache Ordnung und eine entsprechende Gesamtvorordnung auf dieser Teilmenge.

Zusammenhängende Strukturen

Eine binäre Beziehung, die antisymmetrisch, transitiv, und reflexiv (aber nicht notwendigerweise ganz ist), ist eine teilweise Ordnung.

Eine Gruppe mit einem vereinbaren Gesamtbezug ist eine völlig befohlene Gruppe.

Es gibt nur einige nichttriviale Strukturen, die (zwischendefinierbar als) Wiederkanäle eines Gesamtbezugs sind. Das Vergessen der Orientierung läuft auf eine betweenness Beziehung hinaus. Das Vergessen der Position der Enden läuft auf eine zyklische Ordnung hinaus. Das Vergessen beider Daten läuft auf eine Trennungsbeziehung hinaus.

Siehe auch

• Ordnungstheorie
• Gut-Ordnung
• Das Problem von Suslin
• Landsmann-Linie

Referenzen

• George Grätzer (1971). Gitter-Theorie: die ersten Konzepte und verteilenden Gitter. Internationale Standardbuchnummer von W. H. Freeman and Co 0-7167-0442-0
• John G. Hocking und Gail S. Young (1961). Topologie. Korrigierter Nachdruck, Dover, 1988. Internationale Standardbuchnummer 0-486-65676-4