In der Mathematik, einem verallgemeinerten bösartigen, auch bekannt als Macht bösartig oder Hölder bösartig (genannt nach Otto Hölder), ist eine Abstraktion der Pythagoreer-Mittel einschließlich der Arithmetik, geometrische und harmonische Mittel.

Definition

Wenn p eine reelle Nichtnullzahl ist, können wir das verallgemeinerte bösartige mit der Hochzahl p (oder Macht definieren, die mit der Hochzahl p bösartig ist) von den positiven reellen Zahlen als:

:

M_p (x_1, \dots, x_n) = \left (\frac {1} {n} \sum_ {i=1} ^n X_i^p \right) ^ {1/p }\

</Mathematik>

Während für den p, der 0 gleich ist, wir annehmen, dass es dem geometrischen Mittel gleich ist (der, tatsächlich, die Grenze der Mittel mit Hochzahlen ist, die sich Null nähern):

:

M_0 (x_1, \dots, x_n) = \sqrt [n] {\\prod_ {i=1} ^n x_i }\

</Mathematik>

Außerdem für eine Folge von positiven Gewichten mit der Summe können wir beschwerte Macht-Mittel wie folgt definieren:

:

M_p (x_1, \dots, x_n) = \left (\frac {1} {w }\\sum_ {i=1} ^n w_ix_ {ich} ^p \right) ^ {1/p }\

</Mathematik>:

M_0 (x_1, \dots, x_n) = \sqrt [w] {\\prod_ {j=1} ^n X_j^ {w_j} }\

</Mathematik>

Wegen der Einfachheit könnten wir annehmen, dass die Gewichte normalisiert werden, so dass sie zu 1 summieren (der durch das Teilen jedes Gewichts durch ihre Summe leicht getan werden kann), so einigen Begriffen in den obengenannten wegzulassenden Formeln erlaubend:

:

M_p (x_1, \dots, x_n) = \left (\sum_ {i=1} ^n w_ix_ {ich} ^p \right) ^ {1/p }\

</Mathematik>:

M_0 (x_1, \dots, x_n) = \prod_ {i=1} ^n x_i^ {w_i }\

</Mathematik>

Die unbelasteten Mittel können durch das Annehmen dass alle Gewichte gleicher 1/n leicht erzeugt werden. Für der positiven oder negativen Unendlichkeit gleiche Hochzahlen sind die Mittel maximal und, beziehungsweise, unabhängig von Gewichten minimal (und sie sind wirklich die Grenze-Punkte für Hochzahlen, die sich den jeweiligen Extremen nähern):

:

M_\infty (x_1, \dots, x_n) = \max (x_1, \dots, x_n)

</Mathematik>:

M_ {-\infty} (x_1, \dots, x_n) = \min (x_1, \dots, x_n)

</Mathematik>

Eigenschaften

• Wie die meisten Mittel ist das verallgemeinerte bösartige eine homogene Funktion seiner Argumente. D. h. wenn b eine positive reelle Zahl ist, dann ist das verallgemeinerte bösartige mit der Hochzahl p der Zahlen b Zeiten die verallgemeinerten bösartigen von den Zahlen gleich.
• Wie die quasiarithmetischen Mittel kann die Berechnung des bösartigen in die Berechnung von gleichen großen Subblöcken gespalten werden.

::

M_p (x_1, \dots, x_ {n\cdot k}) =

M_p (M_p (x_1, \dots, x_ {k}),

M_p (x_ {k+1}, \dots, x_ {2\cdot k}),

\dots,

M_p (x_ {(n-1) \cdot k + 1}, \dots, x_ {n\cdot k}))

</Mathematik>

Verallgemeinerte Mittelungleichheit

Im Allgemeinen, wenn p und die zwei Mittel wenn und nur wenn gleich sind.

Es ist für die echte Nichtnull p, sowie Null, positive und negative Unendlichkeit p, wie definiert, oben wahr.

Das folgt aus der Tatsache dass, für den ganzen p in,

:

der mit der Ungleichheit von Jensen bewiesen werden kann. Insbesondere für bezieht die verallgemeinerte Mittelungleichheit die Pythagoreische Mittel-Ungleichheit sowie die Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel ein.

Spezielle Fälle

Der Beweis der Macht bedeutet Ungleichheit

Wir werden beweisen, dass belastete Macht Ungleichheit zum Zweck des Beweises bedeutet, werden wir ohne Verlust der Allgemeinheit dass annehmen:

:und:

Der Beweis für unbelastete Macht-Mittel wird durch das Ersetzen leicht erhalten.

Gleichwertigkeit der Ungleichheit zwischen Mitteln von entgegengesetzten Zeichen

Nehmen Sie an, dass ein Durchschnitt zwischen Macht-Mitteln mit Hochzahlen p und q hält:

:

die Verwendung davon, dann:

:

Wir erziehen beide Seiten zur Macht 1 (ausschließlich Funktion in positivem reals vermindernd):

:

Wir bekommen die Ungleichheit für Mittel mit Hochzahlen p und q, und wir können dasselbe Denken umgekehrt verwenden, so die Ungleichheit beweisend, um gleichwertig zu sein, der in einigen der späteren Beweise verwendet wird.

Geometrisches Mittel

Für jeden q kann die Ungleichheit zwischen bösartigem mit der Hochzahl q und geometrischem Mittel folgendermaßen umgestaltet werden:

::

(die erste Ungleichheit soll für positiven q und die Letzteren sonst bewiesen werden)

Wir erziehen beide Seiten zur Macht von q:

:

in beiden Fällen bekommen wir die Ungleichheit zwischen belasteter Arithmetik und geometrischen Mitteln für die Folge, die durch die Ungleichheit von Jensen bewiesen werden kann, von der Tatsache Gebrauch zu machen, ist die logarithmische Funktion konkav:

::

Durch die Verwendung (ausschließlich zunehmend) fungieren exp zu beiden Seiten wir bekommen die Ungleichheit:

:

So für jeden positiven q ist es dass wahr:

:

so haben wir die Ungleichheit zwischen geometrischem Mittel und jeder bösartigen Macht bewiesen.

Geometrisches Mittel als eine Grenze

Außerdem können wir beweisen, dass das geometrische Mittel die Grenze der Macht-Mittel für die Hochzahl-Nähern-Null ist. Erstens werden wir die Grenze beweisen:

:

Es ist leicht zu beschließen, dass die Grenzen sowohl des Zählers als auch des Nenners beide 0 sind, so können wir die Regierung von L'Hôpital verwenden:

::

Dann machen wir von der Kontinuität der Exponentialfunktion Gebrauch:

:\begin {richten }\aus

& \lim_ {p \to 0} \sqrt [p] {\\sum_ {i=1} ^nw_ix_i^p} = \lim_ {p \to 0} \exp\left (\frac {\\log\left (\sum_ {i=1} ^nw_ix_i^p\right)} {p }\\Recht) \\

& = \exp\left (\lim_ {p \to 0} \frac {\\log\left (\sum_ {i=1} ^nw_ix_i^p\right)} {p }\\Recht) = \exp\left (\sum_ {i=1} ^nw_i\log (x_i) \right) = \prod_ {i=1} ^nx_i^ {w_i }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

der bewiesen werden sollte.

Ungleichheit zwischen irgendwelchen zwei Macht-Mitteln

Wir sollen das für jeden p beweisen

wenn p negativ ist, und q positiv ist, ist die Ungleichheit zu derjenigen gleichwertig, die oben bewiesen ist:

:

Der Beweis für positiven p und q ist wie folgt:

Definieren Sie die folgende Funktion:. F ist eine Potenzfunktion, so hat er wirklich eine zweite Ableitung:

:

der innerhalb des Gebiets von f, seitdem q> p ausschließlich positiv ist, so wissen wir, dass f konvex ist.

Damit und der Ungleichheit von Jensen kommen wir:

::

nach dem Erziehen beider Seite zur Macht von 1/q (ist eine zunehmende Funktion, seitdem 1/q positiv), bekommen wir die Ungleichheit, die bewiesen werden sollte:

:

Mit der vorher gezeigten Gleichwertigkeit können wir die Ungleichheit für negativen p und q beweisen, indem wir sie mit, beziehungsweise, &minus;q und &minus;p QED einsetzen.

Minimum und Maximum

Minimum und Maximum sind die Grenzen der Macht-Mittel an beziehungsweise, und. Der Beweis ist wie folgt:

Nehmen Sie ohne Verlust der Allgemeinheit an, dass x am größten ist, während x von x am kleinsten ist.

Erstens das Verwenden des Druck-Lehrsatzes werden wir dass beweisen:

:

Es genügt, um zu bemerken, dass für positiven p die Ungleichheit hält:

:

Dann, von der Grenze Gebrauch zu machen:

:

und schließlich verwenden wir die Tatsache, dass die Exponentialfunktion dauernd ist:

:

Ähnlich für negativen p:

:

seitdem (für p

\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)=\ln(1)=0</math>

So:

:

und wieder, durch die Kontinuität der Exp-Funktion:

:

Verallgemeinert - bösartig

Die bösartige Macht konnte weiter zum verallgemeinerten - bösartig verallgemeinert werden:

:

\left ({\\frac {1} {n }\\cdot\sum_ {i=1} ^n {f (x_i)} }\\Recht) </Mathematik>

der z.B das geometrische Mittel bedeckt, ohne eine Grenze zu verwenden. Die bösartige Macht wird dafür erhalten.

Anwendungen

Signalverarbeitung

Mittelaufschläge einer Macht ein nichtlinearer bewegender Durchschnitt, der zu kleinen Signalwerten für den kleinen ausgewechselt wird und große Signalwerte für den großen betont. In Anbetracht einer effizienten Durchführung einer bewegenden bösartigen Arithmetik hat gerufen Sie können eine bewegende gemäß dem folgenden Code von Haskell bösartige Macht durchführen.

powerSmooth:: Das Schwimmen => (->)->->-> [ein]

powerSmooth glätten p = Karte (** recip p). glatt. Karte (** p)

</Quelle>

• Für den großen kann es einem Umschlag-Entdecker auf einem berichtigten Signal dienen.
• Für den kleinen kann es einem Grundlinie-Entdecker auf einem Massenspektrum dienen.

Siehe auch

• Arithmetik bedeutet
• Arithmetisches geometrisches Mittel
• Durchschnitt
• Geometrisches Mittel
• Harmonischer bösartiger
• Heronian haben vor
• Ungleichheit der Arithmetik und geometrischen Mittel
• Lehmer bösartig - auch ein bösartiger hat sich auf Mächte bezogen
• Wurzel Mittelquadrat

Links

• Macht, die an MathWorld bösartig

ist

• Beispiele von verallgemeinertem bösartigem
• Ein Beweis des Verallgemeinerten Bösartigen auf PlanetMath