In der Mathematik, auf einem endlich-dimensionalen Skalarprodukt-Raum, ist ein selbst adjungierter Maschinenbediener ein Maschinenbediener, der sein eigener adjoint ist, oder, gleichwertig, derjenige, dessen Matrix Hermitian ist, wo eine Matrix von Hermitian diejenige ist, die seinem eigenen verbundenen gleich ist, umstellt. Durch den endlich-dimensionalen geisterhaften Lehrsatz können solche Maschinenbediener mit einer orthonormalen Basis des zu Grunde liegenden Raums vereinigt werden, in dem der Maschinenbediener als eine Diagonalmatrix mit Einträgen in den reellen Zahlen vertreten wird. In diesem Artikel denken wir Generalisationen dieses Konzepts Maschinenbedienern auf Räumen von Hilbert der willkürlichen Dimension.

Selbst adjungierte Maschinenbediener werden in der Funktionsanalyse und Quant-Mechanik verwendet. In der Quant-Mechanik liegt ihre Wichtigkeit in der Formulierung von Dirac-Von Neumann der Quant-Mechanik, in der physische observables wie Position, Schwung, winkeliger Schwung und Drehung von selbst adjungierten Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert vertreten werden. Der besonderen Bedeutung ist Hamiltonian

:

der als ein erkennbarer zur Gesamtenergie einer Partikel der MassenM in einem echten potenziellen Feld V entspricht. Differenzialoperatoren sind eine wichtige Klasse von unbegrenzten Maschinenbedienern.

Die Struktur von selbst adjungierten Maschinenbedienern auf unendlich-dimensionalen Räumen von Hilbert ähnelt im Wesentlichen dem

endlich-dimensionaler Fall das heißt, sind Maschinenbediener selbst adjungiert, wenn, und nur wenn sie unitarily Entsprechung reellwertigen Multiplikationsmaschinenbedienern sind. Mit passenden Modifizierungen kann dieses Ergebnis vielleicht unbegrenzten Maschinenbedienern auf unendlich-dimensionalen Räumen erweitert werden. Da ein überall definierter selbst adjungierter Maschinenbediener notwendigerweise begrenzt wird, muss man gegenüber dem Bereichsproblem im unbegrenzten Fall aufmerksamer sein. Das wird unten ausführlicher erklärt.

Symmetrische Maschinenbediener

Ein teilweise definierter geradliniger Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert H wird symmetrisch wenn genannt

:

für alle Elemente x und y im Gebiet von A. Mehr allgemein, wie man sagt, ist ein teilweise definierter geradliniger Maschinenbediener von einem topologischen Vektorraum E in seinen dauernden Doppelraum E wenn symmetrisch

:

für alle Elemente x und y im Gebiet von A. Dieser Gebrauch ist in der Funktionsanalyse-Literatur ziemlich normal.

Ein symmetrischer überall definierter Maschinenbediener ist selbst adjungiert.

Durch den Hellinger-Toeplitz Lehrsatz hat ein symmetrischer überall Maschinenbediener definiert wird begrenzt.

Begrenzte symmetrische Maschinenbediener werden auch Hermitian genannt.

Die vorherige Definition stimmt mit demjenigen für matrices überein, der in der Einführung in diesen Artikel gegeben ist, wenn wir als H der Raum von Hilbert C mit dem Standardpunktprodukt nehmen und eine Quadratmatrix als ein geradliniger Maschinenbediener auf diesem Raum von Hilbert interpretieren. Es ist, wie viel auch allgemeiner weil es wichtige unendlich-dimensionale Räume von Hilbert gibt.

Das Spektrum jedes begrenzten symmetrischen Maschinenbedieners ist echt; insbesondere sind seine alle eigenvalues echt, obwohl ein symmetrischer Maschinenbediener keinen eigenvalues haben kann.

Eine allgemeine Version des geisterhaften Lehrsatzes, der auch für begrenzte symmetrische Maschinenbediener gilt (sieh Reed und Simon, vol. 1, Kapitel VII oder andere Bücher zitiert) wird unten festgesetzt. Wenn der Satz von eigenvalues für einen symmetrischen Maschinenbediener nicht leer ist, und die eigenvalues nichtdegeneriert sind, dann folgt es aus der Definition, dass Eigenvektoren entsprechend verschiedenem eigenvalues orthogonal sind.

Wogegen manchmal in einleitenden Physik-Lehrbüchern gefordert wird, ist es für symmetrische Maschinenbediener möglich, keinen eigenvalues überhaupt zu haben (obwohl das Spektrum jedes selbst adjungierten Maschinenbedieners nichtleer ist). Das Beispiel illustriert unten den speziellen Fall, wenn ein (unbegrenzter) symmetrischer Maschinenbediener wirklich eine Reihe von Eigenvektoren hat, die eine Raumbasis von Hilbert einsetzen. Wie man sehen kann, hat der Maschinenbediener unten ein Kompaktgegenteil, meinend, dass die entsprechende Differenzialgleichung Ein f = g durch ein Integral gelöst, deshalb, Maschinenbediener G. kompakt wird. Der kompakte symmetrische Maschinenbediener G hat dann eine zählbare Familie von Eigenvektoren, die darin abgeschlossen sind. Dasselbe kann dann für A gesagt werden.

Beispiel. Denken Sie den komplizierten Raum von Hilbert L [0,1] und der Differenzialoperator

:

definiert auf dem Subraum, der aus allen Komplex-geschätzt ungeheuer besteht, fungiert differentiable f auf [0,1] mit den Grenzbedingungen:

:

Dann zeigt die Integration durch Teile, dass A symmetrisch ist. Seine eigenfunctions sind der sinusoids

:

mit dem echten eigenvalues nπ; der wohl bekannte orthogonality der Sinusfunktionen folgt demzufolge des Eigentums, symmetrisch zu sein.

Wir denken Generalisationen dieses Maschinenbedieners unten.

Selbst adjungierte Maschinenbediener

In Anbetracht eines dicht definierten geradlinigen Maschinenbedieners auf H wird sein adjoint A* wie folgt definiert:

• Das Gebiet von A* besteht aus Vektoren x in solchem H dass

::

: (der eine dicht definierte geradlinige Karte ist), ist ein dauernder geradliniger funktioneller. Durch die Kontinuität und Dichte des Gebiets von A streckt es sich bis zu einen einzigartigen dauernden geradlinigen funktionellen auf allen H aus.

• Durch den Darstellungslehrsatz von Riesz für geradlinigen functionals, wenn x im Gebiet * ist, gibt es einen einzigartigen Vektoren z in solchem H dass

::

:This-Vektor z wird definiert, um A* x zu sein. Es kann gezeigt werden, dass die Abhängigkeit von z auf x geradlinig ist.

Bemerken Sie, dass es die Dichtheit des Gebiets des Maschinenbedieners zusammen mit dem Einzigartigkeitsteil der Darstellung von Riesz ist, die sicherstellt, dass der adjoint Maschinenbediener gut definiert wird.

Ein Ergebnis des Typs Hellinger-Toeplitz sagt, dass ein Maschinenbediener, der überall definiert hat, gesprungen ist, wird adjoint begrenzt.

Die Bedingung für einen geradlinigen Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert, um selbst adjungiert zu sein, ist stärker als, symmetrisch zu sein.

Für jeden dicht definierten Maschinenbediener auf dem Raum von Hilbert kann man seinen adjoint Maschinenbediener A* definieren.

Für einen symmetrischen Maschinenbediener A, das Gebiet des Maschinenbedieners enthält A* das Gebiet des Maschinenbedieners A und die Beschränkung des Maschinenbedieners A* auf dem Gebiet von A fällt mit dem Maschinenbediener A, d. h. mit anderen Worten zusammen, A* ist Erweiterung von A. Für einen selbst adjungierten Maschinenbediener ist das Gebiet von A* dasselbe als das Gebiet von A und A=A*. Siehe auch Erweiterungen von symmetrischen Maschinenbedienern und unbegrenztem Maschinenbediener.

Geometrische Interpretation

Es gibt eine nützliche geometrische Weise, auf den adjoint eines Maschinenbedieners auf H wie folgt zu schauen: Wir denken den Graphen G (A) Eines definierten durch

:

Lehrsatz. Lassen Sie J der symplectic sein, der kartografisch darstellt

:

gegeben durch

:

Dann ist der Graph von A* die orthogonale Ergänzung von JG (A):

:

\{\

(x, y) \in H \oplus H: \langle (x, y) | (-a\xi, \xi) \rangle = 0

\; \; \forall \xi \in \operatorname {dom} (A) \}\

</Mathematik>

Ein dicht definierter Maschinenbediener A ist wenn und nur wenn symmetrisch

:

wo, wie man versteht, die Teilmenge-Notation bedeutet, dass Ein Maschinenbediener A wenn und nur wenn selbst adjungiert ist; d. h. wenn und nur wenn

Beispiel. Betrachten Sie den komplizierten Raum von Hilbert als L(R) und den Maschinenbediener, der eine gegebene Funktion mit x multipliziert:

:

Das Gebiet von A ist der Raum aller L-Funktionen, für die die rechte Seite Quadrat-Integrable ist. A ist ein symmetrischer Maschinenbediener ohne jeden eigenvalues und eigenfunctions. Tatsächlich stellt es sich heraus, dass der Maschinenbediener wie folgt aus der Theorie selbst adjungiert ist, die unten entworfen ist.

Wie wir später sehen werden, haben selbst adjungierte Maschinenbediener sehr wichtige geisterhafte Eigenschaften; sie sind tatsächlich Multiplikationsmaschinenbediener auf allgemeinen Maß-Räumen.

Geisterhafter Lehrsatz

Teilweise definierte Maschinenbediener A, B auf Räumen von Hilbert H, K ist unitarily Entsprechung wenn und nur, wenn es eine einheitliche Transformation U:H  K solch dass gibt

• U stellt dom bijektiv auf dom B, kartografisch dar

Ein Multiplikationsmaschinenbediener wird wie folgt definiert: Lassen Sie, ein zählbar zusätzlicher Maß-Raum und f eine reellwertige messbare Funktion auf X zu sein. Ein Maschinenbediener T der Form

:

dessen Gebiet der Raum von ψ ist, für den die Rechte oben in L ist, wird einen Multiplikationsmaschinenbediener genannt.

Lehrsatz. Jeder Multiplikationsmaschinenbediener ist (dicht definiert) selbst adjungierter Maschinenbediener. Jeder selbst adjungierte Maschinenbediener ist unitarily Entsprechung einem Multiplikationsmaschinenbediener.

Diese Version des geisterhaften Lehrsatzes für selbst adjungierte Maschinenbediener kann durch die Verminderung dem geisterhaften Lehrsatz für einheitliche Maschinenbediener bewiesen werden. Dieser Verminderungsgebrauch, den Cayley für selbst adjungierte Maschinenbediener umgestalten, der in der folgenden Abteilung definiert wird. Wir könnten dass bemerken, wenn T Multiplikation durch f ist, dann ist das Spektrum von T gerade die wesentliche Reihe von f.

Borel funktionelle Rechnung

In Anbetracht der Darstellung von T als ein Multiplikationsmaschinenbediener ist es leicht, den Borel funktionelle Rechnung zu charakterisieren: Wenn h eine begrenzte reellwertige Funktion von Borel auf R ist, dann ist h (T) der Maschinenbediener der Multiplikation durch die Zusammensetzung. In der Größenordnung davon, um bestimmt zu sein, müssen wir zeigen, dass es die einzigartige Operation auf begrenzten reellwertigen Funktionen von Borel ist, die mehrere Bedingungen befriedigen.

Entschlossenheit der Identität

Es ist üblich gewesen, um die folgende Notation einzuführen

:

wo die Funktion anzeigt, die identisch 1 auf dem Zwischenraum ist. Die Familie von Vorsprung-Maschinenbedienern E (λ) wird Entschlossenheit der Identität für T genannt. Außerdem kann folgender Stieltjes integrierte Darstellung für T bewiesen werden:

:

Die Definition des Maschinenbedieners, der oben integriert ist, kann auf diesen diesen eines Skalars geschätzt Stieltjes das integrierte Verwenden der schwachen Maschinenbediener-Topologie reduziert werden. In moderneren Behandlungen jedoch wird diese Darstellung gewöhnlich vermieden, da die meisten technischen Probleme durch die funktionelle Rechnung befasst werden können.

Formulierung in der Physik-Literatur

In der Physik, besonders in der Quant-Mechanik, wird der geisterhafte Lehrsatz in einem Weg ausgedrückt, der den geisterhaften Lehrsatz wie oben angegeben und den Borel das funktionelle Rechnungsverwenden Notation von Dirac wie folgt verbindet:

Wenn H Hermitian ist (der Name für den selbst adjungierten in der Physik-Literatur) und f eine Funktion von Borel, ist

:

f (H) = \int dE \mid\Psi_ {E }\\rangle f (E) \langle \Psi_ {E} \mid

</Mathematik>

mit

:

H \mid \Psi_ {E }\\rangle = E \mid\Psi_ {E }\\rangle

</Mathematik>

wo die integrierten Läufe über das ganze Spektrum von H. Die Notation weist darauf hin, dass H diagonalized durch die Eigenvektoren Ψ ist. Solch eine Notation ist rein formell. Man kann die Ähnlichkeit zwischen der Notation von Dirac und der vorherigen Abteilung sehen. Die Entschlossenheit der Identität (manchmal genannt Vorsprung hat Maßnahmen geschätzt), ähnelt formell der Reihe 1 Vorsprünge.

In der Notation von Dirac werden (projektive) Maße über eigenvalues und eigenstates, beide rein formellen Gegenstände beschrieben. Wie man erwarten würde, überlebt das Durchgang zur Entschlossenheit der Identität nicht. In der letzten Formulierung werden Maße mit dem geisterhaften Maß dessen beschrieben, wenn das System in vor dem Maß bereit ist. Wechselweise, wenn man gern den Begriff von eigenstates bewahren und es streng, aber nicht bloß formell machen würde, kann man den Zustandraum durch einen passenden aufgetakelten Raum von Hilbert ersetzen.

Wenn f=1, der Lehrsatz Entschlossenheit der Einheit genannt wird:

:

I = \int dE \mid \Psi_ {E }\\rangle \langle \Psi_ {E} \mid

</Mathematik>

Im Fall ist die Summe eines Hermitian H und zu zu verdrehen-Hermitian (sieh verdrehen Matrix-Hermitian) Maschinenbediener, man definiert den biorthogonal Basis Satz

:

und schreiben Sie den geisterhaften Lehrsatz als:

:

f (H_ {\\mathit {eff}}) = \int dE \mid \Psi_ {E }\\rangle f (E) \langle \Psi_ {E} ^* \mid

</Mathematik>

(Sieh Feshbach-Fano Methode für den Zusammenhang verteilen, wo solche Maschinenbediener in der sich zerstreuenden Theorie erscheinen).

Erweiterungen von symmetrischen Maschinenbedienern

Die folgende Frage entsteht in mehreren Zusammenhängen: Wenn ein Maschinenbediener auf dem Raum von Hilbert H symmetrisch ist, wann hat er selbst adjungierte Erweiterungen? Eine Antwort wird von Cayley zur Verfügung gestellt verwandeln sich eines selbst adjungierten Maschinenbedieners und der Mangel-Indizes. (Wir sollten hier bemerken, dass es häufig der technischen Bequemlichkeit ist, sich mit geschlossenen Maschinenbedienern zu befassen. Im symmetrischen Fall stellt die closedness Voraussetzung keine Hindernisse auf, da es bekannt ist, dass alle symmetrischen Maschinenbediener closable sind.)

Lehrsatz. Nehmen Sie an, dass A ein symmetrischer Maschinenbediener ist. Dann gibt es einen

einzigartiger teilweise definierter geradliniger Maschinenbediener

:

solch dass

:

Hier, ist gelaufen, und dom zeigen die Reihe und das Gebiet beziehungsweise an. W ist (A) auf seinem Gebiet isometrisch. Außerdem ist die Reihe von 1  W (A) in H dicht.

Umgekehrt, in Anbetracht jedes teilweise definierten Maschinenbedieners U, der auf seinem Gebiet isometrisch ist (der nicht ist

notwendigerweise geschlossen) und solch, dass 1  U dicht ist, gibt es einen (einzigartigen) Maschinenbediener S (U)

:solch dass:

Der Maschinenbediener S (U) wird dicht definiert und symmetrisch.

Der mappings W und S sind Gegenteile von einander.

Der kartografisch darstellende W wird genannt Cayley verwandeln sich. Es vereinigt eine teilweise definierte Isometrie jedem symmetrischen dicht definierten Maschinenbediener. Bemerken Sie, dass der mappings W und S Eintönigkeit sind: Das bedeutet, dass, wenn B ein symmetrischer Maschinenbediener ist, der den dicht definierten symmetrischen Maschinenbediener A, dann W erweitert (B) W (A), und ähnlich für S erweitert.

Lehrsatz. Eine notwendige und genügend Bedingung für, um selbst adjungiert zu sein, besteht darin, dass seine Cayley W (A) umgestalten, einheitlich sein.

Das gibt uns sofort eine notwendige und genügend Bedingung für, um eine selbst adjungierte Erweiterung wie folgt zu haben:

Lehrsatz. Eine notwendige und genügend Bedingung für, um eine selbst adjungierte Erweiterung zu haben, besteht darin, dass W (A) eine einheitliche Erweiterung haben.

Ein teilweise definierter isometrischer Maschinenbediener V auf einem Raum von Hilbert H hat eine einzigartige isometrische Erweiterung auf den Norm-Verschluss von dom (V). Ein teilweise definierter isometrischer Maschinenbediener mit dem geschlossenen Gebiet wird eine teilweise Isometrie genannt.

In Anbetracht einer teilweisen Isometrie V werden die Mangel-Indizes V als die Dimension der orthogonalen Ergänzungen des Gebiets und der Reihe definiert:

::

Lehrsatz. Eine teilweise Isometrie V hat eine einheitliche Erweiterung, wenn, und nur wenn die Mangel-Indizes identisch sind. Außerdem, V hat eine einzigartige einheitliche Erweiterung, wenn, und nur wenn die beide Mangel-Indizes Null sind.

Wir sehen, dass es eine Bijektion zwischen symmetrischen Erweiterungen eines Maschinenbedieners gibt und sich isometrische Erweiterungen seines Cayley verwandeln. Wie man sagt, ist ein Maschinenbediener, der eine einzigartige selbst adjungierte Erweiterung hat, im Wesentlichen selbst adjungiert. Solche Maschinenbediener haben einen bestimmten Borel funktionelle Rechnung. Symmetrische Maschinenbediener, die nicht im Wesentlichen selbst adjungiert sind, können noch eine kanonische selbst adjungierte Erweiterung haben. Solcher ist für nichtnegative symmetrische Maschinenbediener der Fall (oder mehr allgemein, Maschinenbediener, die unten begrenzt werden). Diese Maschinenbediener haben immer eine kanonisch definierte Erweiterung von Friedrichs, und für diese Maschinenbediener können wir eine kanonische funktionelle Rechnung definieren. Viele Maschinenbediener, die in der Analyse vorkommen, werden unten begrenzt (wie die Verneinung des Maschinenbedieners von Laplacian), so ist das Problem von wesentlichem adjointness für diese Maschinenbediener weniger kritisch.

Selbst adjungierte Erweiterungen in der Quant-Mechanik

In der Quant-Mechanik entsprechen observables selbst adjungierten Maschinenbedienern. Durch den Lehrsatz des Steins sind selbst adjungierte Maschinenbediener genau die unendlich kleinen Generatoren von einheitlichen Gruppen von Zeitevolutionsmaschinenbedienern. Jedoch werden viele physische Probleme als eine Zeitevolutionsgleichung formuliert, die Differenzialoperatoren einschließt, für die Hamiltonian nur symmetrisch ist. In solchen Fällen ist entweder Hamiltonian im Wesentlichen selbst adjungiert, in welchem Fall das physische Problem einzigartige Lösungen hat oder man versucht, selbst adjungierte Erweiterungen von Hamiltonian entsprechend verschiedenen Typen von Grenzbedingungen oder Bedingungen an der Unendlichkeit zu finden.

Beispiel. Der eindimensionale Maschinenbediener von Schrödinger mit dem Potenzial, definiert am Anfang auf glatten kompakt unterstützten Funktionen, ist im Wesentlichen selbst adjungiert (d. h. hat einen selbst adjungierten Verschluss) dafür

Beispiel. Es gibt keinen selbst adjungierten Schwung-Maschinenbediener für eine Partikel, die eine Halblinie vorwärtstreibt. Dennoch hat Hamiltonian einer "freien" Partikel auf einer Halblinie mehrere selbst adjungierte Erweiterungen entsprechend verschiedenen Typen von Grenzbedingungen. Physisch sind diese Grenzbedingungen mit dem Nachdenken der Partikel am Ursprung verbunden (sieh Reed und Simon, vol.2).

Die Formeln von Von Neumann

Nehmen Sie an, dass A symmetrisch ist; jede symmetrische Erweiterung von A ist eine Beschränkung *; tatsächlich, wenn B symmetrischer ist

:

Lehrsatz. Nehmen Sie an, dass A ein dicht definierter symmetrischer Maschinenbediener ist. Lassen Sie

::

Dann

::

und

:

wo die Zergliederung hinsichtlich des Graph-Skalarprodukts von dom (*) orthogonal ist:

:

Diese werden die Formeln von von Neumann in der Verweisung von Akhiezer und Glazman genannt.

Beispiele

Wir denken zuerst den Differenzialoperatoren

:

definiert auf dem Raum von Komplex-geschätztem C fungiert auf [0,1] verschwindender naher 0 und 1. D ist ein symmetrischer Maschinenbediener, wie durch die Integration durch Teile gezeigt werden kann. Die Räume N, N werden beziehungsweise durch die Verteilungslösungen der Gleichung gegeben

::

die in L [0,1] sind. Man kann zeigen, dass jeder dieser Lösungsräume 1-dimensional, nach den Funktionen erzeugt

ist

x  e und x  e beziehungsweise. Das zeigt, dass D nicht im Wesentlichen selbst adjungiert ist, aber wirklich selbst adjungierte Erweiterungen hat. Diese selbst adjungierten Erweiterungen werden durch den Raum von einheitlichem mappings parametrisiert

:

der in diesem Fall zufällig der Einheitskreis T ist.

Dieses einfache Beispiel illustriert eine allgemeine Tatsache über selbst adjungierte Erweiterungen von symmetrischen Differenzialoperatoren P auf einem offenen Satz M. Sie werden durch die einheitlichen Karten zwischen den eigenvalue Räumen bestimmt

:

wo P die Verteilungserweiterung von P ist.

Wir führen als nächstes das Beispiel von Differenzialoperatoren mit unveränderlichen Koeffizienten an. Lassen Sie

:

seien Sie ein Polynom auf R mit echten Koeffizienten, wo sich α über einen (begrenzten) Satz von Mehrindizes erstreckt. So

:und:

Wir verwenden auch die Notation

:

Dann der Maschinenbediener P (D) definiert auf dem Raum ungeheuer differentiable Funktionen der Kompaktunterstützung auf R durch

:ist

auf L(R) im Wesentlichen selbst adjungiert.

Lehrsatz. Lassen Sie P, den eine polynomische Funktion auf R mit echten Koeffizienten, F der Fourier betrachtet als eine einheitliche Karte L(R)  L(R) umgestalten. Dann ist F* P (D) F im Wesentlichen selbst adjungiert, und seine einzigartige selbst adjungierte Erweiterung ist der Maschinenbediener der Multiplikation nach der Funktion P.

Denken Sie mehr allgemein geradlinige Differenzialoperatoren, die ungeheuer differentiable Komplex-geschätzte Funktionen der Kompaktunterstützung folgen. Wenn M eine offene Teilmenge von R ist

:

wo (nicht notwendigerweise unveränderlich) ungeheuer differentiable Funktionen zu sein. P ist ein geradliniger Maschinenbediener

:

Entsprechend P gibt es einen anderen Differenzialoperatoren, den formellen adjoint von P

:

Lehrsatz. Der Maschinenbediener theoretischer adjoint P* von P ist eine Beschränkung der Verteilungserweiterung des formellen adjoint. Spezifisch:

:

\in L^2 (M) \}. </Mathematik>

Geisterhafte Vielfältigkeitstheorie

Die Multiplikationsdarstellung eines selbst adjungierten Maschinenbedieners, obwohl äußerst nützlich, ist nicht eine kanonische Darstellung. Das weist darauf hin, dass es zum Extrakt von dieser Darstellung ein Kriterium nicht leicht ist zu bestimmen, wenn selbst adjungierte Maschinenbediener A und B unitarily Entsprechung sind. Die feinste grained Darstellung, die wir jetzt besprechen, schließt geisterhafte Vielfältigkeit ein. Dieser Kreis von Ergebnissen wird die Hahn-Hellinger Theorie der geisterhaften Vielfältigkeit genannt.

Wir definieren zuerst gleichförmige Vielfältigkeit:

Definition. Ein selbst adjungierter Maschinenbediener A hat gleichförmige Vielfältigkeit n, wo n dass 1  n  ω\solch

ist

wenn, und nur wenn A unitarily Entsprechung dem Maschinenbediener M der Multiplikation nach der Funktion f (λ) = λ auf ist

:

wo H ein Raum von Hilbert der Dimension n ist. Das Gebiet der M besteht aus Vektor-geschätzten Funktionen ψ auf solchem R dass

:

Nichtnegative zählbar zusätzliche Maßnahmen μ, ν sind gegenseitig einzigartig, wenn, und nur wenn sie auf zusammenhanglosen Sätzen von Borel unterstützt werden.

Lehrsatz. Lassen Sie A ein selbst adjungierter Maschinenbediener auf einem trennbaren Raum von Hilbert H sein. Dann gibt es eine ω Folge zählbar zusätzlicher begrenzter Maßnahmen auf R (von denen einige identisch 0 sein können)

,:

solch, dass die Maßnahmen einzigartig und A pairwise sind, ist unitarily Entsprechung dem Maschinenbediener der Multiplikation nach der Funktion f (λ) = λ auf

:

Diese Darstellung ist im folgenden Sinn einzigartig: Für irgendwelche zwei solche Darstellungen desselben A sind die entsprechenden Maßnahmen im Sinn gleichwertig, dass sie dieselben Sätze des Maßes 0 haben.

Der geisterhafte Vielfältigkeitslehrsatz kann mit der Sprache von direkten Integralen von Räumen von Hilbert wiederformuliert werden:

Lehrsatz. Jeder selbst adjungierte Maschinenbediener auf einem trennbaren Raum von Hilbert ist unitarily Entsprechung zur Multiplikation nach der Funktion λ  λ auf

:

Die Maß-Gleichwertigkeitsklasse von μ (oder gleichwertig seine Sätze des Maßes 0) wird einzigartig bestimmt und die messbare Familie

{H} wird fast überall in Bezug auf μ bestimmt.

Beispiel: Struktur von Laplacian

Der Laplacian auf R ist der Maschinenbediener

:

Wie bemerkt, oben ist Laplacian diagonalized durch den Fourier verwandeln sich. Wirklich ist es natürlicher, die Verneinung von Laplacian - Δ seitdem als ein Maschinenbediener zu denken, es ist nichtnegativ; (sieh elliptischen Maschinenbediener).

Lehrsatz. Wenn n=1, dann hat-Δ gleichförmige Vielfältigkeit mult=2, sonst-Δ, gleichförmige Vielfältigkeit mult =ω hat. Außerdem ist das Maß μ Maß von Borel auf 0, ).

Reines Punkt-Spektrum

Ein selbst adjungierter Maschinenbediener auf H hat reines Punkt-Spektrum, wenn, und nur wenn H eine orthonormale Basis {e} hat, aus Eigenvektoren für A bestehend.

Beispiel. Der Hamiltonian für den harmonischen Oszillator hat ein quadratisches Potenzial V, der ist

:

Dieser Hamiltonian hat reines Punkt-Spektrum; das ist für den bestimmten Staat Hamiltonians in der Quant-Mechanik typisch. Wie in einem vorherigen Beispiel hingewiesen wurde, besteht eine genügend Bedingung, dass ein unbegrenzter symmetrischer Maschinenbediener Eigenvektoren hat, die eine Raumbasis von Hilbert bilden, darin, dass es ein Kompaktgegenteil hat.

Siehe auch

• Kompaktmaschinenbediener auf dem Raum von Hilbert
• Theoretische und experimentelle Rechtfertigung für die Gleichung von Schrödinger
• Unbegrenzter Maschinenbediener