In der Riemannian Geometrie ist die Skalarkrümmung (oder Skalar von Ricci) die einfachste Krümmung invariant von einer Sammelleitung von Riemannian. Zu jedem Punkt auf einer Sammelleitung von Riemannian teilt es eine einzelne reelle Zahl zu, die durch die innere Geometrie der Sammelleitung in der Nähe von diesem Punkt bestimmt ist. Spezifisch vertritt die Skalarkrümmung den Betrag, durch den das Volumen eines geodätischen Balls in einer gekrümmten Sammelleitung von Riemannian von diesem des Standardballs im Euklidischen Raum abgeht. In zwei Dimensionen ist die Skalarkrümmung zweimal die Krümmung von Gaussian, und charakterisiert völlig die Krümmung einer Oberfläche. In mehr als zwei Dimensionen, jedoch, schließt die Krümmung von Sammelleitungen von Riemannian mehr als eine funktionell unabhängige Menge ein.

In der allgemeinen Relativität ist die Skalarkrümmung die Dichte von Lagrangian für die Handlung von Einstein-Hilbert. Die Euler-Lagrange Gleichungen für diesen Lagrangian unter Schwankungen im metrischen setzen das Vakuum Feldgleichungen von Einstein ein, und die stationäre Metrik ist als Metrik von Einstein bekannt. Die Skalarkrümmung wird als die Spur des Tensor von Ricci definiert, und es kann als ein Vielfache des Durchschnitts der Schnittkrümmungen an einem Punkt charakterisiert werden. Verschieden vom Tensor von Ricci und der Schnittkrümmung, jedoch, sind globale Ergebnisse, die nur die Skalarkrümmung einschließen, äußerst fein und schwierig. Einer der wenigen ist der positive Massenlehrsatz von Richard Schoen, Shing-Tung Yau und Edward Witten. Ein anderer ist das Problem von Yamabe, das extremal Metrik in einer gegebenen conformal Klasse sucht, für die die Skalarkrümmung unveränderlich ist.

Definition

Die Skalarkrümmung wird gewöhnlich durch S angezeigt (andere Notationen sind Sc, R). Es wird als die Spur des Krümmungstensor von Ricci in Bezug auf das metrische definiert:

:

Die Spur hängt vom metrischen ab, da der Tensor von Ricci (0,2)-valent Tensor ist; man muss zuerst einen Index erheben, um (1,1)-valent Tensor vorzuherrschen, um die Spur zu nehmen. In Bezug auf lokale Koordinaten kann man schreiben

:

wo R die Bestandteile des Tensor von Ricci in der Koordinatenbasis sind:

:

In Anbetracht eines Koordinatensystems und eines metrischen Tensor kann Skalarkrümmung wie folgt ausgedrückt werden

:

2g^ {ab} (\Gamma^c_ {[b, c]} + \Gamma^d_ {[b }\\Gamma^c_ {c] d})

</Mathematik>

wo die Symbole von Christoffel des metrischen sind.

Verschieden vom Krümmungstensor von Riemann oder dem Tensor von Ricci, der beide für jede affine Verbindung natürlich definiert werden können, verlangt die Skalarkrümmung eine metrische von einer Art. Das metrische kann pseudo-Riemannian statt Riemannian sein. Tatsächlich ist solch eine Generalisation für die Relativitätstheorie lebenswichtig. Mehr allgemein kann der Tensor von Ricci in der breiteren Klasse der metrischen Geometrie definiert werden (mittels der direkten geometrischen Interpretation, unten), der Geometrie von Finsler einschließt.

Direkte geometrische Interpretation

Wenn die Skalarkrümmung an einem Punkt, positiv

ist

das Volumen eines kleinen Balls über den Punkt hat kleineres Volumen als

ein Ball desselben Radius im Euklidischen Raum. Andererseits,

wenn die Skalarkrümmung an einem Punkt negativ ist, ist das Volumen eines kleinen Balls stattdessen größer, als es im Euklidischen Raum sein würde.

Das kann mehr quantitativ gemacht werden, um den genauen Wert der Skalarkrümmung S an einem Punkt p von einer N-Sammelleitung von Riemannian zu charakterisieren.

Nämlich, das Verhältnis des n-dimensional Volumens eines Balls des Radius ε in der Sammelleitung zu diesem eines entsprechenden Balls in

Euklidischer Raum wird für kleinen ε durch gegeben

:

(B_\varepsilon (0) \subset {\\mathbb R} ^n)} =

1-\frac {S} {6 (n+2) }\\varepsilon^2 + O (\varepsilon^4). </Mathematik>

So ist die zweite Ableitung dieses Verhältnisses, das am Radius ε = 0 bewertet ist, genau minus die Skalarkrümmung, die durch 3 (n + 2) geteilt ist.

Grenzen dieser Bälle sind (n-1) dimensionale Bereiche mit Radien; ihre Hyperoberflächenmaßnahmen ("Gebiete") befriedigen die folgende Gleichung:

:

(\partial B_\varepsilon (0) \subset {\\mathbb R} ^n)} =

1-\frac {S} {6n }\\varepsilon^2 + O (\varepsilon^4). </Mathematik>

Spezielle Fälle

Oberflächen

In zwei Dimensionen ist Skalarkrümmung genau zweimal die Krümmung von Gaussian. Für eine eingebettete Oberfläche im Euklidischen Raum bedeutet das das

:

wo Hauptradien der Oberfläche sind. Zum Beispiel ist die Skalarkrümmung eines Bereichs mit dem Radius r 2/r gleich.

Der 2-dimensionale Tensor von Riemann hat nur einen unabhängigen Bestandteil, und es kann leicht ausgedrückt werden

in Bezug auf die Skalarkrümmung und metrische Bereichsform. In jedem Koordinatensystem hat man so:

:

Raumformen

Eine Raumform ist definitionsgemäß eine Sammelleitung von Riemannian mit der unveränderlichen Schnittkrümmung. Raumformen sind zu einem der folgenden Typen lokal isometrisch:

• Euklidischer Raum: Der Tensor von Riemann eines n-dimensional Euklidischen Raums verschwindet identisch, so tut die Skalarkrümmung ebenso.
• N-Bereiche: Die Schnittkrümmung eines N-Bereichs des Radius r ist K = 1/r. Folglich ist die Skalarkrümmung S = n (n&minus;1)/r.
• Hyperbelräume: Durch das hyperboloid Modell kann ein n dimensionaler Hyperbelraum mit der Teilmenge von (n+1) - dimensionaler Raum von Minkowski identifiziert werden

::

:The-Parameter r ist ein geometrischer invariant des Hyperbelraums, und die Schnittkrümmung ist K = &minus;1/r. Die Skalarkrümmung ist so S = &minus;n (n&minus;1)/r.

Traditionelle Notation

Unter denjenigen, die Index-Notation für den Tensor verwenden, ist es üblich, den Brief R zu verwenden, um drei verschiedene Dinge zu vertreten:

1. der Krümmungstensor von Riemann: oder
2. der Tensor von Ricci:
3. die Skalarkrümmung: R

Diese drei sind dann von einander durch ihre Zahl von Indizes bemerkenswert: Der Tensor von Riemann hat vier Indizes, der Tensor von Ricci hat zwei Indizes, und der Skalar von Ricci hat Nullindizes. Diejenigen, die nicht eine Index-Notation gewöhnlich verwenden, bestellen R für den vollen Krümmungstensor von Riemann vor.

Siehe auch

• Grundlegende Einführung in die Mathematik der gekrümmten Raum-Zeit
• Yamabe invariant