knowledgr.de

Kugelförmiges Koordinatensystem

Neues Wissen!

In der Mathematik ist ein kugelförmiges Koordinatensystem ein Koordinatensystem für den dreidimensionalen Raum, wo die Position eines Punkts durch drei Zahlen angegeben wird: Die radiale Entfernung dieses Punkts von einem festen Ursprung, sein polarer Winkel hat von einer festen Zenit-Richtung und dem Azimut-Winkel seines orthogonalen Vorsprungs auf einem Bezugsflugzeug gemessen, das den Ursprung durchführt und zum Zenit orthogonal ist, der von einer gehefteten Bezugsrichtung auf diesem Flugzeug gemessen ist.

Die radiale Entfernung wird auch den Radius oder die radiale Koordinate genannt. Der polare Winkel kann colatitude, Zenit-Winkel, normalen Winkel oder Neigungswinkel genannt werden.

Der Gebrauch von Symbolen und die Ordnung der Koordinaten unterscheiden sich zwischen Quellen. In einem System, das in der Physik üblich ist, gibt die radiale Entfernung, den polaren Winkel und den scheitelwinkligen Winkel, wohingegen in einem anderen in vieler Mathematik verwendeten System Bücher die radiale Entfernung, den scheitelwinkligen Winkel und den polaren Winkel geben. In beiden Systemen wird häufig statt verwendet. Andere Vereinbarung wird auch verwendet, so muss große Sorge gebracht werden, um zu überprüfen, welcher verwendet wird.

Mehrere verschiedene kugelförmige Koordinatensysteme werden außerhalb der Mathematik verwendet, die verschiedener Vereinbarung folgen. In einem geografischen Koordinatensystem werden Positionen in Breite, Länge und Höhe oder Höhe gemessen. Mehrerer verschiedener himmlischer Koordinatensysteme zu sein, die auf verschiedenen grundsätzlichen Flugzeugen und mit verschiedenen Begriffen für die verschiedenen Koordinaten gestützt sind. Die kugelförmigen Koordinatensysteme, die in der Mathematik normalerweise verwendet sind, verwenden radians aber nicht Grade und messen den scheitelwinkligen Winkel gegen den Uhrzeigersinn aber nicht im Uhrzeigersinn. Der Neigungswinkel wird häufig durch den vom Bezugsflugzeug gemessenen Erhebungswinkel ersetzt.

Das Konzept kugelförmiger Koordinaten kann zu höheren dimensionalen Räumen erweitert werden und wird dann hyperkugelförmige Koordinaten genannt.

Definition

Um ein kugelförmiges Koordinatensystem zu definieren, muss man zwei orthogonale Richtungen, den Zenit und die Azimut-Verweisung und einen Ursprung-Punkt im Raum wählen. Diese Wahlen bestimmen ein Bezugsflugzeug, das den Ursprung enthält und auf dem Zenit rechtwinklig ist. Die kugelförmigen Koordinaten eines Punkts P werden dann wie folgt definiert:

der Radius oder die radiale Entfernung sind die Euklidische Entfernung vom Ursprung O zu P.
die Neigung (oder polarer Winkel) ist der Winkel zwischen der Zenit-Richtung und dem Liniensegment OP.
der Azimut (oder scheitelwinkliger Winkel) ist der unterzeichnete Winkel, der von der Azimut-Bezugsrichtung bis den orthogonalen Vorsprung des Liniensegmentes OP auf dem Bezugsflugzeug gemessen ist.

Das Zeichen des Azimuts wird durch die Auswahl bestimmt, was ein positiver Sinn ist, den Zenit umzudrehen. Diese Wahl ist willkürlich, und ist ein Teil der Definition des Koordinatensystems.

Der Erhebungswinkel ist 90 Grade (π/2 radians) minus der Neigungswinkel.

Wenn die Neigung Null oder 180 Grade ist (π radians), ist der Azimut willkürlich. Wenn der Radius Null ist, sind sowohl Azimut als auch Neigung willkürlich.

In der geradlinigen Algebra wird der Vektor vom Ursprung O zum Punkt P häufig den Positionsvektoren von P genannt.

Vereinbarung

Mehrere verschiedene Vereinbarung besteht, für die drei Koordinaten, und für die Ordnung zu vertreten, in der sie geschrieben werden sollten. Der Gebrauch (r, θ, φ), um, beziehungsweise, radiale Entfernung, Neigung (oder Erhebung), und Azimut anzuzeigen, ist übliche Praxis in der Physik, und wird durch ISO normale 31-11 angegeben.

Jedoch verwenden einige Autoren (einschließlich Mathematiker) φ für die Neigung (oder Erhebung) und θ für den Azimut, der "eine logische Erweiterung der üblichen Polarkoordinate-Notation zur Verfügung stellt". Einige Autoren können auch den Azimut vor der Neigung (oder Erhebung) verzeichnen, und/oder ρ statt r für die radiale Entfernung verwenden. Einige Kombinationen dieser Wahlen laufen auf ein linkshändiges Koordinatensystem hinaus. Die Standardtagung (r, θ, φ) kollidiert die übliche Notation für die zweidimensionalen Polarkoordinaten, wo θ häufig für den Azimut verwendet wird. Es kann auch die für dreidimensionale zylindrische Koordinaten verwendete Notation kollidieren.

Die Winkel werden normalerweise in Graden (°) oder radians (rad), wo 360 ° = 2π rad gemessen. Grade sind in der Erdkunde, Astronomie und Technik am üblichsten, wohingegen radians in der Mathematik und theoretischen Physik allgemein verwendet werden. Die Einheit für die radiale Entfernung wird gewöhnlich durch den Zusammenhang bestimmt.

Wenn das System für den drei-Räume-physischen verwendet wird, ist es üblich, um positives Zeichen für Azimut-Winkel zu verwenden, die in gegen den Uhrzeigersinn Sinn von der Bezugsrichtung auf dem Bezugsflugzeug, wie gesehen, von der Zenit-Seite des Flugzeugs gemessen werden. Diese Tagung, wird insbesondere für geografische Koordinaten verwendet, wo die "Zenit"-Richtung nördlicher und positiver Azimut (Länge) ist, werden Winkel ostwärts von einem Nullmeridian gemessen.

Einzigartige Koordinaten

Jeder kugelförmige Koordinatendrilling (r, θ, φ) gibt einen einzelnen Punkt des dreidimensionalen Raums an. Andererseits hat jeder Punkt ungeheuer viele gleichwertige kugelförmige Koordinaten. Man kann hinzufügen oder jede Zahl von vollen Umdrehungen zu jedem winkeligem Maß abziehen, ohne die Winkel selbst, und deshalb zu ändern, ohne den Punkt zu ändern. Es ist auch in vielen Zusammenhängen günstig, negative radiale Entfernungen mit der Tagung zu erlauben, die (−r, θ, φ) zu (r, θ + 180 °, φ) für jeden r, θ, und φ gleichwertig ist. Außerdem, (r, −, φ) ist zu (r, θ, φ + 180 °) gleichwertig.

Wenn es notwendig ist, einen einzigartigen Satz von kugelförmigen Koordinaten für jeden Punkt zu definieren, kann man ihre Reihen einschränken. Eine allgemeine Wahl ist:

:r> 0

:0 ° θ 180 ° (π rad)

:0 ° φ + y + z = c haben die einfache Gleichung r = c in kugelförmigen Koordinaten.

Zwei wichtige teilweise Differenzialgleichungen, die in vielen physischen Problemen, der Gleichung von Laplace und der Gleichung von Helmholtz entstehen, erlauben eine Trennung von Variablen in kugelförmigen Koordinaten. Die winkeligen Teile der Lösungen solcher Gleichungen nehmen die Form von kugelförmigen Obertönen an.

Eine andere Anwendung ist ergonomisches Design, wo r die Arm-Länge einer stationären Person ist und die Winkel die Richtung des Arms beschreiben, wie es ausstreckt.

Das dreidimensionale Modellieren von Lautsprecher-Produktionsmustern kann verwendet werden, um ihre Leistung vorauszusagen. Mehrere polare Anschläge sind erforderlich, bei einer breiten Auswahl an Frequenzen genommen, weil sich das Muster außerordentlich mit der Frequenz ändert. Polare Anschläge helfen zu zeigen, dass viele Lautsprecher zu omnidirectionality an niedrigeren Frequenzen neigen.

Das kugelförmige Koordinatensystem wird auch in der 3D-Spielentwicklung allgemein verwendet, um die Kamera um die Position des Spielers rotieren zu lassen.

Koordinatensystemkonvertierungen

Da das kugelförmige Koordinatensystem nur ein von vielen dreidimensionalen Koordinatensystemen ist, dort bestehen Sie Gleichungen, um Koordinaten zwischen dem kugelförmigen Koordinatensystem und anderen umzuwandeln.

Kartesianische Koordinaten

Die kugelförmigen Koordinaten (Radius r, Neigung θ, Azimut φ) eines Punkts können bei seinen Kartesianischen Koordinaten (x, y, z) durch die Formeln erhalten werden

:::

Die umgekehrte Tangente, die in φ = arctan (y/x) angezeigt ist, muss angemessen definiert werden, den richtigen Quadranten (x, y) in Betracht ziehend. Sieh Artikel atan2.

Wechselweise kann die Konvertierung als zwei folgende rechteckige zu polaren Konvertierungen betrachtet werden: Das erste im Kartesianischen xy Flugzeug von (x, y) zu (R, φ), wo R der Vorsprung von r auf das xy Flugzeug und das zweite im Kartesianischen z-R Flugzeug von (z, R) zu (r, θ) ist. Die richtigen Quadranten für φ und θ werden durch die Genauigkeit des planaren rechteckigen zu polaren Konvertierungen einbezogen.

Diese Formeln nehmen an, dass die zwei Systeme denselben Ursprung haben, dass das kugelförmige Bezugsflugzeug das Kartesianische xy Flugzeug, das ist, ist θ Neigung von der z Richtung, und dass die Azimut-Winkel von der Kartesianischen x Achse gemessen werden (so dass die y Achse φ = + 90 ° hat). Wenn θ Erhebung vom Bezugsflugzeug statt der Neigung vom Zenit misst, wird der arccos oben ein arcsin, und weil θ und Sünde θ unter dem geschalteten gewordenen.

Umgekehrt können die Kartesianischen Koordinaten von den kugelförmigen Koordinaten (Radius r, Neigung θ, Azimut φ), wo wiederbekommen werden, durch:

:::

Geografische Koordinaten

Zu einer ersten Annäherung verwendet das geografische Koordinatensystem Erhebungswinkel (Breite), die gewöhnlich durch δ oder θ, in Graden nördlich vom Äquator-Flugzeug, in der Reihe 90 ° δ 90 ° statt der Neigung angezeigt ist. Der Azimut-Winkel (Länge) wird in Graden nach Osten oder Westen von einem herkömmlichen Bezugsmeridian gemessen (meistens diese der Greenwicher Sternwarte), so ist sein Gebiet 180 ° φ 180 °. Für Positionen auf der Erde oder dem anderen festen Himmelskörper wird das Bezugsflugzeug gewöhnlich genommen, um die Flugzeug-Senkrechte zur Achse der Folge zu sein. In der Astronomie kann man Breite irgendein vom himmlischen Äquator (definiert durch die Folge der Erde) oder das Flugzeug des ekliptischen (definiert durch die Bahn der Erde um die Sonne) oder, manchmal, der galaktische Äquator (definiert durch die Folge der Milchstraße) messen.

Der Zenit-Winkel oder die Neigung, die 90 ° minus die Breite und Reihen von 0 bis 180 ° ist, werden colatitude in der Erdkunde genannt.

Statt der radialen Entfernung verwenden Geographen allgemein Höhe über einer Bezugsoberfläche, die der Meeresspiegel sein oder Oberflächenniveau für Planeten ohne flüssige Ozeane "bedeuten" "kann". Die radiale Entfernung r kann von der Höhe durch das Hinzufügen des Mittelradius der Bezugsoberfläche des Planeten geschätzt werden, die etwa 6,360±11 km für die Erde ist.

Jedoch sind moderne geografische Koordinatensysteme ziemlich kompliziert, und die durch diese einfachen Formeln einbezogenen Positionen können durch mehrere Kilometer falsch sein. Die genauen Standardbedeutungen der Breite, Länge und Höhe werden zurzeit von World Geodetic System (WGS) definiert, und ziehen das Flachdrücken der Erde an den Polen (ungefähr 21 km) und viele andere Details in Betracht.

Zylindrische Koordinaten

Zylindrische Koordinaten (Radius ρ, radians φ, Erhebung z) können in kugelförmige Koordinaten (Radius r, Neigung θ, Azimut φ), durch die Formeln umgewandelt werden

:::

Umgekehrt können die kugelförmigen Koordinaten in zylindrische Koordinaten durch die Formeln umgewandelt werden

:::

Diese Formeln nehmen an, dass die zwei Systeme denselben Ursprung und dasselbe Bezugsflugzeug haben, den Azimut-Winkel φ in demselben Sinn von derselben Achse messen, und dass der kugelförmige Winkel θ Neigung von der zylindrischen z Achse ist.

Integration und Unterscheidung in kugelförmigen Koordinaten

Die folgenden Gleichungen nehmen an, dass θ Neigung von der normalen Achse ist:

Das Linienelement für eine unendlich kleine Versetzung von dazu ist

wo die lokalen orthogonalen Einheitsvektoren in den Richtungen der Erhöhung beziehungsweise sind.

Das Oberflächenelement-Überspannen von zu und zu auf einer kugelförmigen Oberfläche am (unveränderlichen) Radius ist

So ist der Differenzialraumwinkel

Das Oberflächenelement in einer Oberfläche des polaren Winkels unveränderlich (ein Kegel mit dem Scheitelpunkt der Ursprung) ist

Das Oberflächenelement in einer Oberfläche des Azimuts unveränderlich (ein vertikales Halbflugzeug) ist

Das Volumen-Element-Überspannen von zu, zu, und dazu ist

So, zum Beispiel, kann eine Funktion über jeden Punkt in R durch den dreifachen integrierten integriert werden

Der del Maschinenbediener in diesem System wird nicht definiert, und so müssen der Anstieg, die Abschweifung und die Locke ausführlich definiert werden:

+ {1 \over r} {\\teilweiser f \over \partial \theta }\\boldsymbol {\\Hut \theta }\

+ {1 \over r\sin\theta} {\\teilweiser f \over \partial \varphi }\\boldsymbol {\\Hut \varphi}, </Mathematik>

- {\\teilweiser A_\theta \over \partial \varphi }\\Recht) \boldsymbol {\\Hut r\+

\displaystyle {1 \over r }\\ist abgereist ({1 \over \sin\theta} {\\teilweiser A_r \over \partial \varphi }\

- {\\teilweiser \over \partial r\\left (r A_\varphi \right) \right) \boldsymbol {\\Hut \theta} +

\displaystyle {1 \over r }\\ist abgereist ({\\teilweiser \over \partial r} \left (r A_\theta \right)

- {\\teilweiser A_r \over \partial \theta }\\Recht) \boldsymbol {\\Hut \varphi}, </Mathematik>

\! + \! {1 \over r^2 \!\sin\theta} {\\teilweiser \over \partial \theta }\\! \left (\sin\theta {\\teilweiser f \over \partial \theta }\\Recht)

\! + \! {1 \over r^2 \!\sin^2\theta} {\\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

\left (\frac {\\partial^2} {\\teilweiser r^2} + \frac {2} {r} \frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\Recht) f \! +

{1 \over r^2 \!\sin\theta} {\\teilweiser \over \partial \theta }\\! \left (\sin\theta \frac {\\teilweise} {\\teilweiser \theta }\\Recht) f + \frac {1} {r^2 \!\sin^2\theta }\\frac {\\partial^2} {\\teilweiser \varphi^2} f. </math>