Die isoperimetric Ungleichheit ist eine geometrische Ungleichheit, die das Quadrat des Kreisumfangs einer geschlossenen Kurve im Flugzeug und dem Gebiet eines Flugzeug-Gebiets einschließt, das es, sowie seine verschiedenen Generalisationen einschließt. wörtlich bedeutet, "denselben Umfang zu haben". Spezifisch, die isoperimetric Ungleichheitsstaaten, für die Länge L einer geschlossenen Kurve und des Gebiets des planaren Gebiets, das es, das einschließt

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und diese Gleichheit hält, ob, und nur wenn die Kurve ein Kreis ist.

Das isoperimetric Problem ist, eine Flugzeug-Zahl des größtmöglichen Gebiets zu bestimmen, dessen Grenze eine angegebene Länge hat. Das Problem der nah verwandten Didos bittet um ein Gebiet des maximalen Gebiets, das durch eine Gerade und einen krummlinigen Kreisbogen begrenzt ist, dessen Endpunkte dieser Linie gehören. Es wird nach Dido, dem legendären Gründer und der ersten Königin von Carthage genannt. Die Lösung des isoperimetric Problems wird durch einen Kreis gegeben und war bereits im Alten Griechenland bekannt. Jedoch wurde der erste mathematisch strenge Beweis dieser Tatsache nur im 19. Jahrhundert erhalten. Seitdem sind viele andere Beweise, einige von ihnen betäubend einfach gefunden worden. Das isoperimetric Problem ist auf vielfache Weisen zum Beispiel zu Kurven auf Oberflächen und zu Gebieten in hoch-dimensionalen Räumen erweitert worden.

Vielleicht ist die vertrauteste physische Manifestation der 3-dimensionalen isoperimetric Ungleichheit die Gestalt eines Falls von Wasser. Nämlich wird ein Fall normalerweise eine symmetrische runde Gestalt annehmen. Da der Betrag von Wasser in einem Fall befestigt wird, zwingt Oberflächenspannung den Fall in eine Gestalt, die die Fläche des Falls, nämlich ein runder Bereich minimiert.

Das isoperimetric Problem im Flugzeug

Das klassische isoperimetric Problem geht auf die Altertümlichkeit zurück. Das Problem kann wie folgt festgesetzt werden: Unter allen geschlossenen Kurven im Flugzeug des festen Umfangs, die biegen sich (wenn irgendwelcher) maximiert das Gebiet seines beiliegenden Gebiets? Wie man zeigen kann, ist diese Frage zum folgenden Problem gleichwertig: Unter allen geschlossenen Kurven im Flugzeug, das einen reservierten Speicherbereich einschließt, welche biegen sich (wenn irgendwelcher), minimiert den Umfang?

Dieses Problem ist begrifflich mit dem Grundsatz von kleinster Handlung in der Physik verbunden, in der es neu formuliert werden kann: Wie ist der Grundsatz der Handlung, die schließt das größte Gebiet mit der größten Wirtschaft der Anstrengung ein? Der Philosoph des 15. Jahrhunderts und Wissenschaftler, Kardinal Nicholas von Cusa, haben Rotationshandlung, den Prozess gedacht, durch den ein Kreis erzeugt wird, um das direkteste Nachdenken im Bereich von Sinneseindrücken des Prozesses zu sein, durch den das Weltall geschaffen wird. Deutscher Astronom und Astrologe Johannes Kepler haben den isoperimetric Grundsatz im Besprechen der Morphologie des Sonnensystems, in Mysterium Cosmographicum (Das Heilige Mysterium des Weltalls, 1596) angerufen.

Obwohl der Kreis scheint, eine offensichtliche Lösung des Problems zu sein, beweisend, dass diese Tatsache ziemlich schwierig ist. Die ersten Fortschritte zur Lösung wurden von schweizerischem geometer Jakob Steiner 1838, mit einer geometrischen Methode später genannt Steiner symmetrisation gemacht. Steiner hat dass gezeigt, wenn eine Lösung bestanden hat, dann muss es der Kreis sein. Der Beweis von Steiner wurde später von mehreren anderen Mathematikern vollendet.

Steiner beginnt mit einigen geometrischen Aufbauten, die leicht verstanden werden; zum Beispiel kann es gezeigt werden, dass jede geschlossene Kurve, die ein Gebiet einschließt, das nicht völlig konvex ist, modifiziert werden kann, um mehr Gebiet, durch "das Schnipsen" der konkaven Gebiete einzuschließen, so dass sie konvex werden. Es kann weiter gezeigt werden, dass jede geschlossene Kurve, die nicht völlig symmetrisch ist, "gekippt" werden kann, so dass sie mehr Gebiet einschließt. Eine Gestalt, die vollkommen konvex ist und symmetrische, ist der Kreis, obwohl das an sich keinen strengen Beweis des isoperimetric Lehrsatzes vertritt (sieh Außenverbindungen).

Die isoperimetric Ungleichheit

Die Lösung des isoperimetric Problems wird gewöhnlich in der Form einer Ungleichheit ausgedrückt, die die Länge L von einer geschlossenen Kurve und dem Gebiet vom planaren Gebiet verbindet, das es einschließt. Die isoperimetric Ungleichheit setzt das fest

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und dass die Gleichheit hält, ob, und nur wenn die Kurve ein Kreis ist.

Tatsächlich ist das Gebiet einer Platte des Radius R πR, und der Kreisumfang des Kreises ist 2πR, so sind beide Seiten der Ungleichheit 4πR in diesem Fall gleich.

Dutzende von Beweisen der isoperimetric Ungleichheit sind gefunden worden. 1902 hat Hurwitz einen kurzen Beweis mit der Reihe von Fourier veröffentlicht, die für willkürliche korrigierbare Kurven (nicht angenommen gilt, glatt zu sein). Ein eleganter direkter Beweis, der auf dem Vergleich einer glatten einfachen geschlossenen Kurve mit einem passenden Kreis gestützt ist, wurde von E. Schmidt 1938 gegeben. Es verwendet nur die Kreisbogen-Länge-Formel, den Ausdruck für das Gebiet eines Flugzeug-Gebiets vom Lehrsatz von Green und die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz.

Für eine gegebene geschlossene Kurve wird der isoperimetric Quotient als das Verhältnis seines Gebiets und dieser des Kreises definiert, der denselben Umfang hat. Das ist gleich

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und die isoperimetric Ungleichheit sagt das Q  1.

Der isoperimetric Quotient eines regelmäßigen n-gon ist

:.

Die isoperimetric Ungleichheit auf dem Bereich

Lassen Sie C eine einfache geschlossene Kurve auf einem Bereich des Radius 1 sein. Zeigen Sie durch L die Länge von C und durch das durch C eingeschlossene Gebiet an. Die kugelförmige isoperimetric Ungleichheit setzt das fest

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und dass die Gleichheit hält, ob, und nur wenn die Kurve ein Kreis ist. Es, gibt tatsächlich, zwei Weisen, das kugelförmige durch eine einfache geschlossene Kurve eingeschlossene Gebiet zu messen, aber die Ungleichheit ist mit der Rücksicht zur Einnahme der Ergänzung symmetrisch.

Diese Ungleichheit wurde von Paul Lévy (1919) entdeckt, wer sie auch zu höheren Dimensionen und allgemeinen Oberflächen erweitert hat.

Ungleichheit von Isoperimetric in höheren Dimensionen

Der isoperimetric Lehrsatz verallgemeinert zu Oberflächen im dreidimensionalen Euklidischen Raum. Unter allen einfachen geschlossenen Oberflächen mit der gegebenen Fläche schließt der Bereich ein Gebiet des maximalen Volumens ein. Eine analoge Behauptung hält in Euklidischen Räumen jeder Dimension.

In der vollen Allgemeinheit stellt die isoperimetric Ungleichheit fest, dass für jeden Satz S  R, dessen Verschluss begrenzten Lebesgue messen

lässt:

wo M (n-1) ist - ist dimensionaler Inhalt von Minkowski, L das n-dimensional Maß von Lebesgue, und ω ist das Volumen des Einheitsballs in R. Wenn die Grenze von S korrigierbar ist, dann ist der Inhalt von Minkowski (n-1) - dimensionales Maß von Hausdorff.

Die isoperimetric Ungleichheit in N-Dimensionen kann durch die Ungleichheit von Brunn-Minkowski schnell bewiesen werden .

Der n-dimensional isoperimetric Ungleichheit ist (für genug glatte Gebiete) zur Ungleichheit von Sobolev auf R mit der optimalen Konstante gleichwertig:

:

für den ganzen u  W(R).

Ungleichheit von Isoperimetric in einem metrischen Maß-Raum

Der grösste Teil der Arbeit am isoperimetric Problem ist im Zusammenhang von glatten Gebieten in Euklidischen Räumen, oder mehr allgemein in Sammelleitungen von Riemannian getan worden. Jedoch kann das isoperimetric Problem in der viel größeren Allgemeinheit mit dem Begriff des Inhalts von Minkowski formuliert werden. Lassen Sie, ein metrischer Maß-Raum zu sein: X ist ein metrischer Raum mit metrischem d, und μ ist ein Maß von Borel auf X. Das Grenzmaß oder Inhalt von Minkowski, einer messbaren Teilmenge X wird als der lim inf definiert

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wo

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ist der ε-extension von A.

Das isoperimetric Problem in X fragt, wie klein für einen gegebenen μ (A) sein kann. Wenn X das Euklidische Flugzeug mit der üblichen Entfernung und dem Maß von Lebesgue dann ist, verallgemeinert diese Frage das klassische isoperimetric Problem zu planaren Gebieten, deren Grenze nicht notwendigerweise glatt ist, obwohl sich die Antwort erweist, dasselbe zu sein.

Die Funktion

:

wird das isoperimetric Profil des metrischen Maß-Raums genannt. Profile von Isoperimetric sind für Graphen von Cayley von getrennten Gruppen und für spezielle Klassen von Sammelleitungen von Riemannian studiert worden (wo gewöhnlich nur Gebiete mit der regelmäßigen Grenze betrachtet werden).

Ungleichheit von Isoperimetric für Graphen

In der Graph-Theorie, isoperimetric Ungleichheit sind am Herzen der Studie von Expander-Graphen, die spärliche Graphen sind, die starke Konnektivitätseigenschaften haben. Expander-Aufbauten haben Forschung in der reinen und angewandten Mathematik, mit mehreren Anwendungen auf die Kompliziertheitstheorie, das Design von robusten Computernetzen und die Theorie von Fehlerkorrekturcodes erzeugt.

Die Ungleichheit von Isoperimetric für Graphen verbindet die Größe von Scheitelpunkt-Teilmengen zur Größe ihrer Grenze, die gewöhnlich durch die Zahl von Rändern gemessen wird, die Teilmenge (Rand-Vergrößerung) oder durch die Zahl von benachbarten Scheitelpunkten (Scheitelpunkt-Vergrößerung) verlassend. Für einen Graphen und eine Zahl ist der folgende zwei Standard isoperimetric Rahmen für Graphen.

:The-Rand isoperimetric Parameter:

:The-Scheitelpunkt isoperimetric Parameter:

Hier zeigt den Satz des Rand-Verlassens an und zeigt den Satz von Scheitelpunkten an, die einen Nachbar darin haben.

Das isoperimetric Problem besteht aus dem Verstehen, wie sich die Rahmen und für natürliche Familien von Graphen benehmen.

Beispiel: Ungleichheit von Isoperimetric für Hyperwürfel

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dimensionaler Hyperwürfel ist der Graph, dessen Scheitelpunkte alle Vektoren von Boolean der Länge, d. h. des Satzes sind. Zwei solche Vektoren werden durch einen Rand darin verbunden, wenn sie bis zu einem einzelnen Bit-Flip gleich sind, d. h. ist ihre Entfernung von Hamming genau ein.

Der folgende ist die isoperimetric Ungleichheit für den Hyperwürfel von Boolean.

Rand isoperimetric Ungleichheit

Der Rand isoperimetric Ungleichheit des Hyperwürfels ist. Das gebunden ist dicht, wie durch jeden Satz bezeugt wird, der der Satz von Scheitelpunkten jedes Subwürfels dessen ist.

Scheitelpunkt isoperimetric Ungleichheit

Der Lehrsatz von Harper sagt, dass Bälle von Hamming die kleinste Scheitelpunkt-Grenze unter allen Sätzen einer gegebenen Größe haben. Bälle von Hamming sind Sätze, die alle Punkte des Gewichts von Hamming höchstens und keine Punkte des Gewichts von Hamming enthalten, das größer ist als für eine ganze Zahl.

Dieser Lehrsatz deutet an, dass jeder Satz damit befriedigt.

Als ein spezieller Fall, denken Sie Satz-Größen der Form für eine ganze Zahl. Dann deutet der obengenannte an, dass der genaue Scheitelpunkt isoperimetric Parameter ist.

Siehe auch

• Dimension von Isoperimetric
• Problem von Chaplygin
• Ungleichheit von Gaussian isoperimetric
• Ungleichheit von Lévy-Gromov
• Expander-Graph
• Planarer Separator-Lehrsatz

Referenzen

• Blaschke und Leichtweiß, Elementare Differentialgeometrie (in Deutsch), 5. Ausgabe, die völlig von K. Leichtweiß revidiert ist. Sterben Sie Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 1. Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1973 internationale Standardbuchnummer 0-387-05889-3
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• Gromov, M.: "Die isoperimetric Ungleichheit von Paul Levy". Anhang C in Metrischen Strukturen für Riemannian und non-Riemannian Räume. Gestützt auf den ursprünglichen 1981-Franzosen. Mit Anhängen von M. Katz, P. Pansu und S. Semmes. Übersetzt aus den Franzosen durch Sean Michael Bates. Fortschritt in der Mathematik, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, Massachusetts, 1999.
• Hadwiger, H. (1957), Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (in Deutsch), Springer-Verlag, Berlin Göttingen Heidelberg.

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Außenverbindungen

• Geschichte des Isoperimetric Problems an der Konvergenz
• Treiberg: Mehrere Beweise der isoperimetric Ungleichheit
• Isoperimetric Lehrsatz an der Knoten-Kürzung