In der Kategorie-Theorie, einem Zweig der Mathematik, ist Dualität eine Ähnlichkeit zwischen Eigenschaften einer Kategorie C und so genannten Doppeleigenschaften der entgegengesetzten Kategorie C. In Anbetracht einer Behauptung bezüglich der Kategorie C, durch das Austauschen der Quelle und des Ziels jedes morphism sowie das Austauschen der Ordnung, zwei morphisms zusammenzusetzen, wird eine entsprechende Doppelbehauptung bezüglich der entgegengesetzten Kategorie C erhalten. Dualität, als solcher, ist die Behauptung, dass Wahrheit invariant unter dieser Operation auf Behauptungen ist. Mit anderen Worten, wenn eine Behauptung über C wahr ist, dann ist seine Doppelbehauptung über C wahr. Außerdem, wenn eine Behauptung über C falsch ist, dann muss sein Doppel-über C falsch sein.

In Anbetracht einer konkreten Kategorie C ist es häufig der Fall, dass die entgegengesetzte Kategorie C per se abstrakt ist. C braucht keine Kategorie zu sein, die aus der mathematischen Praxis entsteht. In diesem Fall wird eine andere Kategorie D auch genannt, um in der Dualität mit C zu sein, wenn D und C als Kategorien gleichwertig sind.

Im Fall, wenn C und sein Gegenteil C gleichwertig sind, ist solch eine Kategorie Selbstdoppel-.

Formelle Definition

Wir definieren die elementare Sprache der Kategorie-Theorie, weil die zwei sortierten zuerst Sprache mit Gegenständen und morphisms als verschiedene Sorten zusammen mit den Beziehungen eines Gegenstands bestellen, der die Quelle oder das Ziel eines morphism und eines Symbols ist, um zwei morphisms zusammenzusetzen.

Lassen Sie σ jede Behauptung auf dieser Sprache sein. Wir bilden den Doppel-σ wie folgt:

Informell stellen diese Bedingungen fest, dass die Doppel-von einer Behauptung durch das Umkehren von Pfeilen und Zusammensetzungen gebildet wird.

Dualität ist die Beobachtung, dass σ für eine Kategorie C wahr ist, wenn, und nur wenn σ für C wahr ist.

Beispiele

• Ein morphism ist ein monomorphism, wenn einbezieht. Die Doppeloperation durchführend, bekommen wir die Behauptung, die für einen morphism einbezieht. Das ist genau, was es für f bedeutet, ein epimorphism zu sein. Kurz gesagt, das Eigentum, ein monomorphism zu sein, ist zum Eigentum Doppel-, ein epimorphism zu sein.

Dualität anwendend, bedeutet das, dass ein morphism in einer Kategorie C ein monomorphism ist, wenn, und nur wenn die Rückseite morphism in der entgegengesetzten Kategorie C ein epimorphism ist.

• Ein Beispiel kommt daraus, die Richtung der Ungleichheit in einer teilweisen Ordnung umzukehren. So, wenn X ein Satz und  eine teilweise Ordnungsbeziehung ist, können wir eine neue teilweise Ordnungsbeziehung  durch definieren

:: x  y wenn und nur wenn y  x.

Dieses Beispiel ist auf Befehl ein spezieller Fall, da teilweise Ordnungen einer bestimmten Art der Kategorie entsprechen, in der Hom (A, B) höchstens ein Element haben kann. In Anwendungen auf die Logik sieht das dann wie eine sehr allgemeine Beschreibung der Ablehnung (d. h. Beweise aus, die in der entgegengesetzten Richtung geführt sind). Zum Beispiel, wenn wir das Gegenteil eines Gitters nehmen, werden wir finden, dass sich das trifft und sich anschließt, ließen ihre Rollen auswechseln. Das ist eine abstrakte Form der Gesetze von De Morgan, oder der auf Gitter angewandten Dualität.

• Grenzen und colimits sind Doppelbegriffe.
• Fibrations und cofibrations sind Beispiele von Doppelbegriffen in der algebraischen Topologie und homotopy Theorie. In diesem Zusammenhang wird die Dualität häufig Dualität von Eckmann-Hilton genannt.

Siehe auch

• Doppelgegenstand
• Dualität (Mathematik)
• Entgegengesetzte Kategorie