In der Mathematik ist eine Lüge-Superalgebra eine Verallgemeinerung einer Lüge-Algebra, um ein Z-Sortieren einzuschließen. Lügen Sie Superalgebra sind in der theoretischen Physik wichtig, wo sie verwendet werden, um die Mathematik der Supersymmetrie zu beschreiben. In den meisten dieser Theorien entsprechen die gleichen Elemente der Superalgebra bosons und sonderbaren Elementen zu fermions (aber das ist nicht immer wahr; zum Beispiel ist die BRST Supersymmetrie der andere Weg ringsherum).

Definition

Formell ist eine Lüge-Superalgebra eine (nichtassoziative) Z-graded Algebra oder Superalgebra, über einen Ersatzring (normalerweise R oder C) wessen Produkt [· ·], genannt die Lüge-Superklammer oder den Superumschalter, befriedigt die zwei Bedingungen (Analoga der üblichen Lüge-Algebra-Axiome, mit dem Sortieren):

Superverdrehen-Symmetrie:

:

Die Superidentität von Jacobi:

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wo x, y, und z im Z-Sortieren rein sind. Hier zeigt |x den Grad von x (entweder 0 oder 1) an. Der Grad [x, y] ist die Summe des Grads von x und y modulo 2.

Man fügt auch manchmal die Axiome für |x=0 hinzu (wenn 2 invertible ist, folgt das automatisch), und

Ebenso für Lüge-Algebra kann die universale Einschlagen-Algebra der Lüge-Superalgebra eine Algebra-Struktur von Hopf gegeben werden.

Unterscheidung von der abgestuften Lüge-Algebra

Eine abgestufte Lüge-Algebra (sagen sortiert durch Z oder N), der antiauswechselbar ist und Jacobi im abgestuften Sinn hat auch, ein Sortieren (der aufgerufen wird, die Algebra in gerade und ungerade Teile "rollend"), aber wird "super" nicht genannt. Sieh Zeichen an der abgestuften Lüge-Algebra für die Diskussion.

Sogar und sonderbare Teile

Bemerken Sie, dass die gleiche Subalgebra einer Lüge-Superalgebra eine (normale) Lüge-Algebra bildet, weil alle Zeichen verschwinden, und die Superklammer eine normale Lüge-Klammer wird.

Eine Denkart über eine Lüge-Superalgebra ist, seine sogar und sonderbaren Teile, L und L getrennt zu denken. Dann ist L eine Lüge-Algebra, L ist eine geradlinige Darstellung von L, und dort besteht eine symmetrische L-equivariant geradlinige Karte solch das für den ganzen x, y und z in L,

:

Involution

Eine Lüge-Superalgebra ist eine komplizierte Lüge-Superalgebra, die mit einer involutive antigeradlinigen Karte von sich bis sich ausgestattet ist, der das Z-Sortieren respektiert und befriedigt

[x, y] = [y, x] für den ganzen x und y in der Lüge-Superalgebra. (Einige Autoren bevorzugen die Tagung [x, y] = (−1) [y, x]; das Ändern * zu −* schaltet zwischen der zwei Vereinbarung um.) Seine universale Einschlagen-Algebra würde ein Übliches - Algebra sein.

Beispiele

In Anbetracht jeder assoziativen Superalgebra kann diejenige den Superumschalter auf homogenen Elementen durch definieren

:

und dann sich durch die Linearität bis zu alle Elemente ausstreckend. Die Algebra zusammen mit dem Superumschalter wird dann eine Lüge-Superalgebra.

Das Whitehead Produkt auf homotopy Gruppen führt viele Beispiele von Lüge-Superalgebra über die ganzen Zahlen an.

Klassifikation

Die einfachen komplizierten begrenzten dimensionalen Lüge-Superalgebra wurden von Victor Kac klassifiziert.

Die grundlegenden klassischen Kompaktlüge-Superalgebra (die nicht sind, Liegen Algebra), sind:

http://www.springerlink.com/content/f380116p6858n46n/

SU (m/n) Diese sind die supereinheitlichen Lüge-Algebra, die invariants haben:

:

Das gibt zwei orthosymplectic (sieh unten) invariants, wenn wir die M z Variablen und n w Variablen nehmen, um non-commuative zu sein, und wir die echten und imaginären Teile nehmen. Deshalb haben wir

:

SU (n/n)/U (1) Ein spezieller Fall der supereinheitlichen Lüge-Algebra, wohin wir einen U (1) Generator entfernen, um die Algebra einfach zu machen.

OSp (m/2n) Diese sind die Gruppen von Orthosymplectic. Sie haben invariants, der gegeben ist durch:

:

für die M Ersatzvariablen (x) und n Paare von anti-commuative Variablen (y, z). Sie sind wichtiger symmetries in Superernst-Theorien.

D (2/1) Das ist eine Reihe von Superalgebra paramaterised durch die Variable. Es hat Dimension 17 und ist eine Subalgebra von OSp (9|8). Der gleiche Teil der Gruppe ist O (3) xO (3) xO (3). So sind die invariants:

::

+ B_\mu \Gamma^ {\\Beta \beta'} _ \mu \psi\psi + C^ {\\Gamma \gamma'} _ \mu \Gamma_\mu \psi\psi </Mathematik>

für besondere Konstanten.

F (4)

Das hat außergewöhnliche Lüge-Superalgebra Dimension 40 und ist eine Subalgebra von OSp (24|16). Der gleiche Teil der Gruppe ist O (3) xSO (7), so sind drei invariants:

:::

Diese Gruppe ist mit dem octonions verbunden, indem sie den 16 Bestandteil spinors als zwei Bestandteil octonion spinors und das Gamma matrices das Folgen den oberen Indizes als Einheit octonions denkt. Wir haben dann, wo f die Struktur-Konstanten der octonion Multiplikation ist.

G (3)

Das hat außergewöhnliche Lüge-Superalgebra Dimension 31 und ist eine Subalgebra von OSp (17|14). Der gleiche Teil der Gruppe ist O (3) xG2. Die invariants sind dem obengenannten ähnlich (es, eine Subalgebra des F (4) seiend?), so ist der erste invariant:

:

Es gibt auch genannten p der zwei so genannten fremden Reihen (n) und q (n).

Klassifikation von unendlichen dimensionalen einfachen linear Kompakten Lüge-Superalgebra

Die Klassifikation besteht aus den 10 Reihen W (M, n), S (M, n) ((M, n)  (1, 1)), H (2 M, n), K (2m+1, n), HO (M, M)

(M  2), SHO (M, m) (M  3), KO (M, M + 1), SKO (M, M + 1; β) (M  2), SHO  (2 M, 2 M), SKO  (2m+1,2 M + 3) und die 5 außergewöhnlichen Algebra:

::E (1,6), E (5,10), E (4,4), E (3,6), E (3, 8)

Die letzten zwei sind besonders interessant (gemäß Kac) sie haben die Standardmustermaß-Gruppe SU (3) xSU (2) xU (1) als ihre Nullniveau-Algebra. Unendlich dimensional (affine) liegen Superalgebra sind wichtiger symmetries in der Superschnur-Theorie.

Mit der Kategorie theoretische Definition

In der Kategorie-Theorie kann eine Lüge-Superalgebra als eine nichtassoziative Superalgebra definiert werden, deren Produkt befriedigt

wo σ die zyklischen Versetzungslitzen ist. In der diagrammatischen Form:

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Siehe auch

• Anyonic Liegen Algebra
• Algebra von Grassmann
• Darstellung einer Lüge-Superalgebra
• Superraum
• Supergruppe
• Kac, Superalgebra von V. G. Lie. Fortschritte in der Mathematik. 26 (1977), Nr. 1, 8 - 96.
• Manin, Feldtheorie von Yuri I. Gauge und komplizierte Geometrie. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 289. Springer-Verlag, Berlin, 1997. Internationale Standardbuchnummer 3-540-61378-1
• Pavel Grozman, Dimitry Leites und Irina Shchepochkina. "LÜGEN SIE SUPERALGEBRA VON SCHNUR-THEORIEN"

Links

• Irving Kaplansky + lügt Superalgebra