In der Kategorie-Theorie und seinen Anwendungen auf andere Zweige der Mathematik sind Kerne eine Generalisation der Kerne des Gruppenhomomorphismus, der Kerne des Modul-Homomorphismus und bestimmten anderen Kerne von der Algebra. Intuitiv, der Kern des morphism f: X  Y sind der "allgemeinste" morphism k: K  X, der Null, wenn zusammengesetzt, mit (gefolgt von) f nachgibt.

Bemerken Sie, dass Kernpaare und Unterschied-Kerne (auch bekannt als binärer equalisers) manchmal durch den Namen "Kern" gehen; während verbunden, sind diese nicht ganz dasselbe Ding und werden in diesem Artikel nicht besprochen.

Definition

Lassen Sie C eine Kategorie sein.

Um einen Kern im allgemeinen mit der Kategorie theoretischen Sinn zu definieren, muss C Null morphisms haben.

In diesem Fall, wenn f: X  Y sind ein willkürlicher morphism in C, dann ist ein Kern von f ein equaliser von f und der Null morphism von X bis Y.

In Symbolen:

:ker (f) = eq (f, 0)

Um ausführlicher zu sein, kann das folgende universale Eigentum verwendet werden. Ein Kern von f ist jeder morphism k: K  X solch dass:

• f ist k die Null morphism von K bis Y;
• In Anbetracht jedes morphism k′: K′  X solch dass f k′ ist die Null morphism, es gibt einen einzigartigen morphism u: K′  K solch dass k u = k'.

Bemerken Sie, dass in vielen konkreten Zusammenhängen man sich auf den Gegenstand K als der "Kern", aber nicht der morphism k beziehen würde.

In jenen Situationen würde K eine Teilmenge X sein, und das würde genügend sein, um k als eine Einschließungskarte wieder aufzubauen; im nichtkonkreten Fall, im Gegensatz, brauchen wir den morphism k, um zu beschreiben, wie K als ein Subgegenstand X interpretiert werden soll. Jedenfalls kann man zeigen, dass k immer ein monomorphism (in der kategorischen Bedeutung des Wortes) ist. Man kann es vorziehen, an den Kern als das Paar (K, k) aber nicht als einfach K oder k allein zu denken.

Nicht jeder morphism muss einen Kern haben, aber wenn er dann tut, sind alle seine Kerne eines starken Gefühls isomorph: wenn k: K  X und l: L  X sind Kerne von f: X  Y, dann dort besteht ein einzigartiger Isomorphismus φ: K  L solch dass l o φ = k.

Beispiele

Kerne sind in vielen Kategorien von der abstrakten Algebra, wie die Kategorie von Gruppen oder die Kategorie von (linken) Modulen über einen festen Ring (einschließlich Vektorräume über ein festes Feld) vertraut.

Wenn f ausführlich zu sein: X  Y sind ein Homomorphismus in einer dieser Kategorien, und K ist sein Kern im üblichen algebraischen Sinn, dann ist K eine Subalgebra X, und der Einschließungshomomorphismus von K bis X ist ein Kern im kategorischen Sinn.

Bemerken Sie, dass in der Kategorie von monoids mit der Kategorie theoretische Kerne ebenso für Gruppen bestehen, aber diese Kerne tragen genügend Information zu algebraischen Zwecken nicht.

Deshalb ist der Begriff des in der monoid Theorie studierten Kerns ein bisschen verschieden.

Umgekehrt, in der Kategorie von Ringen, gibt es keine Kerne im mit der Kategorie theoretischen Sinn; tatsächlich hat diese Kategorie Null morphisms nicht sogar.

Dennoch gibt es noch einen Begriff des in der Ringtheorie studierten Kerns.

Sieh Beziehung zu algebraischen Kernen unten für die Entschlossenheit dieses Paradoxes.

In der Kategorie von spitzen topologischen Räumen, wenn f: X  Y sind eine dauernde spitze Karte, dann ist das Vorimage des ausgezeichneten Punkts, K, ein Subraum X. Die Einschließungskarte von K in X ist der kategorische Kern von f.

Beziehung zu anderen kategorischen Konzepten

Das Doppelkonzept zu diesem des Kerns ist das von cokernel.

D. h. der Kern eines morphism ist sein cokernel in der entgegengesetzten Kategorie, und umgekehrt.

Wie oben erwähnt ist ein Kern ein Typ von binärem equaliser oder Unterschied-Kern.

Umgekehrt, in einer vorzusätzlichen Kategorie, kann jeder binäre equaliser als ein Kern gebaut werden.

Um spezifisch zu sein, ist der equaliser des morphisms f und g der Kern des Unterschieds g − f.

In Symbolen:

:eq (f, g) = ker (g − f).

Es ist wegen dieser Tatsache, dass binäre equalisers "Unterschied-Kerne" sogar in nichtvorzusätzlichen Kategorien genannt werden, wo morphisms nicht abgezogen werden kann.

Jeder Kern, wie jeder andere equaliser, ist ein monomorphism.

Umgekehrt wird ein monomorphism normal genannt, wenn es der Kern von einem morphism ist.

Eine Kategorie wird normal genannt, wenn jeder monomorphism normal ist.

Kategorien von Abelian sind immer insbesondere normal.

In dieser Situation erweist sich der Kern des cokernel jedes morphism (der immer in einer abelian Kategorie besteht), das Image davon morphism zu sein; in Symbolen:

:im f = ker coker f (in einer abelian Kategorie)

Wenn M ein monomorphism ist, muss es sein eigenes Image sein; so, nicht nur abelian Kategorien sind normal, so dass jeder monomorphism ein Kern ist, aber wir wissen auch, welcher morphism der monomorphism ein Kern, zum Witz, seinem cokernel ist.

In Symbolen:

:m = ker (coker m) (für monomorphisms in einer abelian Kategorie)

Beziehung zu algebraischen Kernen

Universale Algebra definiert einen Begriff des Kerns für den Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen derselben Art.

Dieses Konzept von Kernmaßnahmen, wie weit der gegebene Homomorphismus davon ist, injective zu sein.

Es gibt ein Übergreifen zwischen diesem algebraischen Begriff und dem kategorischen Begriff des Kerns seitdem sowohl verallgemeinert die Situation von Gruppen als auch Modulen, die oben erwähnt sind.

Im Allgemeinen, jedoch, ist der universal-algebraische Begriff des Kerns mehr dem mit der Kategorie theoretischen Konzept des Kernpaares ähnlich.

Insbesondere Kernpaare können verwendet werden, um Kerne in der monoid Theorie oder Ringtheorie in mit der Kategorie theoretischen Begriffen zu interpretieren.