In der Mathematik, in Anbetracht zwei Gruppen (G, *) und (H, ·), ein Gruppenhomomorphismus von (G, *) zu (H, ·) ist eine Funktion h: G  H solch, dass für den ganzen u und v in G es das hält

:

wo die Gruppenoperation linker Hand Seite der Gleichung dieser von G und auf der rechten Seite dieser von H ist.

Von diesem Eigentum kann man ableiten, dass h das Identitätselement e von G zum Identitätselement e von H kartografisch darstellt, und es auch Gegenteile zu Gegenteilen im Sinn das kartografisch darstellt

:

Folglich kann man sagen, dass h "mit der Gruppenstruktur vereinbar ist".

Ältere Notationen für den Homomorphismus h (x) können x sein, obwohl das als ein Index oder eine allgemeine Subschrift verwirrt sein kann.

Eine neuere Tendenz ist, Gruppenhomomorphismus rechts von ihrem zu schreiben

Argumente, Klammern weglassend, so dass h (x) einfach x h wird.

Diese Annäherung ist in Gebieten der Gruppentheorie besonders überwiegend, wo Automaten eine Rolle spielen, da es besser mit der Tagung harmoniert, dass Automaten Wörter vom linken bis Recht lesen.

In Gebieten der Mathematik, wo man Gruppen als ausgestattet mit der zusätzlichen Struktur betrachtet, bedeutet ein Homomorphismus manchmal eine Karte, die nicht nur die Gruppenstruktur (als oben) sondern auch die Extrastruktur respektiert. Zum Beispiel ist ein Homomorphismus von topologischen Gruppen häufig erforderlich, dauernd zu sein.

Intuition

Der Zweck, einen Gruppenhomomorphismus zu definieren, wie es ist, soll Funktionen schaffen, die die algebraische Struktur bewahren. Eine gleichwertige Definition des Gruppenhomomorphismus ist: Die Funktion h: G  ist H ein Gruppenhomomorphismus wenn, wann auch immer wir haben. Mit anderen Worten hat die Gruppe H in einem Sinn eine ähnliche algebraische Struktur als G und der Homomorphismus h Konserven das.

Image und Kern

Wir definieren den Kern von h, um der Satz von Elementen in G zu sein, die zur Identität in H kartografisch dargestellt werden

:

und das Image von h, um zu sein

:

Der Kern von h ist eine normale Untergruppe von G (tatsächlich, h (g u g) = h (g) h (u) h (g) = h (g) e h (g) =

h (g) h (g) = e) und das Image von h ist eine Untergruppe von H.

Der Homomorphismus h ist injective (und hat eine Gruppe monomorphism genannt), wenn und nur wenn ker (h) = {e}.

Der Kern und das Image h (G) = {h (g), g  G} eines Homomorphismus können als das Messen interpretiert werden, wie nahe es dazu ist, ein Isomorphismus zu sein. Der Erste Isomorphismus-Lehrsatz stellt fest, dass das Image eines Gruppenhomomorphismus, h (G) zur Quotient-Gruppe G/ker h isomorph ist.

Beispiele

• Betrachten Sie die zyklische Gruppe als Z/3Z = {0, 1, 2} und die Gruppe von ganzen Zahlen Z mit der Hinzufügung. Die Karte h: Z  Z/3Z mit h (u) = u mod 3 ist ein Gruppenhomomorphismus. Es ist surjective, und sein Kern besteht aus allen ganzen Zahlen, die durch 3 teilbar sind.
• Ziehen Sie (ax+b) - Gruppe in Betracht (G: = {

a & b \\

0 & 1 \end {pmatrix} </Mathematik> |a> 0, b ist ein Element der Gruppe von reellen Zahlen R\). Funktionen f: G  C s.t. f (

a & b \\

0 & 1 \end {pmatrix} </Mathematik>) =a, wo U-Reihen über komplexe Zahlen C Gruppenhomomorphismus sind.

• Denken Sie multiplicative Gruppe von positiven reellen Zahlen (R, ·) dann fungiert f: (R, ·)  C s.t. f (a) =a, wo eines Elements (R zu sein, ·), und U-Reihen über komplexe Zahlen sind C Gruppenhomomorphismus.
• Die Exponentialkarte gibt einen Gruppenhomomorphismus von der Gruppe von reellen Zahlen R mit der Hinzufügung zur Gruppe von reellen Nichtnullzahlen R mit der Multiplikation nach. Der Kern ist {0}, und das Image besteht aus den positiven reellen Zahlen.
• Die Exponentialkarte gibt auch einen Gruppenhomomorphismus von der Gruppe von komplexen Zahlen C mit der Hinzufügung zur Gruppe von komplexen Nichtnullzahlen C mit der Multiplikation nach. Diese Karte ist surjective und hat den Kern {2πki: k in Z\, wie von der Formel von Euler gesehen werden kann. Felder wie R und C, die Homomorphismus von ihrer zusätzlichen Gruppe zu ihrer multiplicative Gruppe haben, werden so Exponentialfelder genannt.

Die Kategorie von Gruppen

Wenn h: G  H und k: H  sind K Gruppenhomomorphismus, dann auch ist k o h: G  K. Das zeigt, dass die Klasse (gewissermaßen der Kategorie-Theorie) aller Gruppen, zusammen mit dem Gruppenhomomorphismus als morphisms, eine Kategorie bildet.

Typen von Homomorphic-Karten

Wenn der Homomorphismus h eine Bijektion ist, dann kann man zeigen, dass sein Gegenteil auch ein Gruppenhomomorphismus ist, und h einen Gruppenisomorphismus genannt wird; in diesem Fall werden die Gruppen G und H isomorph genannt: Sie unterscheiden sich nur in der Notation ihrer Elemente und sind zu allen praktischen Zwecken identisch.

Wenn h: G  ist G ein Gruppenhomomorphismus, wir nennen ihn einen Endomorphismus von G. Wenn außerdem es bijektiv ist und folglich ein Isomorphismus, wird es einen automorphism genannt. Der Satz des ganzen automorphisms einer Gruppe G, mit der funktionellen Zusammensetzung als Operation, bildet sich eine Gruppe, die automorphism Gruppe von G. Es wird von Aut (G) angezeigt. Als ein Beispiel enthält die automorphism Gruppe (Z, +) nur zwei Elemente, die Identitätstransformation und Multiplikation mit-1; es ist zu Z/2Z isomorph.

Ein epimorphism ist ein surjective Homomorphismus, d. h. ein Homomorphismus, der auf als eine Funktion ist. Ein monomorphism ist ein injective Homomorphismus, d. h. ein Homomorphismus, der als eine Funktion isomorph ist.

Homomorphismus von abelian Gruppen

Wenn G und H abelian (d. h. auswechselbar) Gruppen sind, dann der Satz ist Hom (G, H) des ganzen Gruppenhomomorphismus von G bis H selbst eine abelian Gruppe: Die Summe h + k zwei Homomorphismus wird durch definiert

: (h + k) (u) = h (u) + k (u) für den ganzen u in G.

Der commutativity von H ist erforderlich, um zu beweisen, dass h + k wieder ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Hinzufügung des Homomorphismus ist mit der Zusammensetzung des Homomorphismus im folgenden Sinn vereinbar: Wenn f in Hom (K, G), h ist, sind k Elemente von Hom (G, H), und g ist in Hom (H, L), dann

: (h + k) o f = (h o f) + (k o f) und g o (h + k) = (g o h) + (g o k).

Das zeigt, dass das Satz-Ende (G) aller Endomorphismen einer abelian Gruppe einen Ring, den Endomorphismus-Ring von G bildet. Zum Beispiel ist der Endomorphismus-Ring der abelian Gruppe, die aus der direkten Summe der M Kopien von Z/nZ besteht, zum Ring von M-für-M-matrices mit Einträgen in Z/nZ isomorph. Die obengenannte Vereinbarkeit zeigt auch, dass die Kategorie aller abelian Gruppen mit dem Gruppenhomomorphismus eine vorzusätzliche Kategorie bildet; die Existenz von direkten Summen und wohl erzogenen Kernen macht diese Kategorie das archetypische Beispiel einer abelian Kategorie.

Siehe auch

• Hauptsatz auf dem Homomorphismus

Links