In der elementaren Algebra beschreibt der binomische Lehrsatz die algebraische Vergrößerung von Mächten eines Binoms. Gemäß dem Lehrsatz ist es möglich, die Macht (x + y) in eine Summe auszubreiten, die Begriffe der Form axy einschließt, wo die Hochzahlen b und c natürliche Zahlen mit sind, und der Koeffizient jedes Begriffes eine spezifische positive ganze Zahl je nachdem n und b ist. Wenn eine Hochzahl Null ist, wird die entsprechende Macht gewöhnlich aus dem Begriff weggelassen. Zum Beispiel,

:

Der Koeffizient im Begriff von xy ist als der binomische Koeffizient bekannt, oder (haben die zwei denselben Wert). Diese Koeffizienten, um n und b zu ändern, können eingeordnet werden, um das Dreieck des Pascal zu bilden. Diese Zahlen entstehen auch in combinatorics, wo die Zahl von verschiedenen Kombinationen von b Elementen gibt, die aus einem N-Element-Satz gewählt werden können.

Geschichte

Diese Formel und die Dreieckseinordnung der binomischen Koeffizienten werden häufig Blaise Pascal zugeschrieben, der sie im 17. Jahrhundert beschrieben hat, aber sie waren vielen Mathematikern bekannt, die ihm vorangegangen sind. Der Mathematiker von B.C. Greek des 4. Jahrhunderts Euklid hat den speziellen Fall des binomischen Lehrsatzes für die Hochzahl 2 erwähnt, wie das 3. Jahrhundert Mathematiker von B.C. Indian Pingala zu höheren Ordnungen getan hat. Ein allgemeinerer binomischer Lehrsatz und das Dreieck des so genannten "Pascals" waren im 10. Jahrhundert n. Chr. dem Mathematiker von Indian Halayudha und persischen Mathematiker Al-Karaji, im 11. Jahrhundert dem persischen Dichter und Mathematiker Omar Khayyam, und im 13. Jahrhundert dem chinesischen Mathematiker Yang Hui, wer alle abgeleiteten ähnlichen Ergebnisse bekannt. Al-Karaji hat auch einen mathematischen Beweis sowohl des binomischen Lehrsatzes als auch des Dreiecks von Pascal mit der mathematischen Induktion zur Verfügung gestellt.

Behauptung des Lehrsatzes

Gemäß dem Lehrsatz ist es möglich, jede Macht von x + y in eine Summe der Form auszubreiten

:</Mathematik>

wo jeder eine spezifische positive als binomischer Koeffizient bekannte ganze Zahl ist. Diese Formel wird auch die Binomische Formel oder die Binomische Identität genannt. Mit der Summierungsnotation kann es als geschrieben werden

:</Mathematik>

Der Endausdruck folgt aus dem vorherigen durch die Symmetrie von x und y im ersten Ausdruck, und vergleichsweise, hieraus folgt dass die Folge von binomischen Koeffizienten in der Formel symmetrisch ist.

Eine Variante der binomischen Formel wird durch das Auswechseln 1 für y erhalten, so dass es nur eine einzelne Variable einschließt. In dieser Form liest die Formel

:

oder gleichwertig

:

Beispiele

Das grundlegendste Beispiel des binomischen Lehrsatzes ist die Formel für das Quadrat von x + y:

:

Die binomischen Koeffizienten 1, 2, entspricht das 1 Erscheinen in dieser Vergrößerung der dritten Reihe des Dreiecks des Pascal. Die Koeffizienten von höheren Mächten von x + y entsprechen späteren Reihen des Dreiecks:

:\begin {richten }\aus

(x+y) ^3 & = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]

(x+y) ^4 & = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]

(x+y) ^5 & = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]

(x+y) ^6 & = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]

(x+y) ^7 & = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Bemerken Sie das

1. die Mächte von x gehen hinunter, bis er 0 reicht, ist das Anfangen des Werts n (der n darin.)
2. die Mächte von y steigen von 0 , bis er n erreicht (auch der n darin.)
3. die n-te Reihe des Dreiecks des Pascal wird die Koeffizienten des ausgebreiteten Binoms sein. (Bemerken Sie, dass die Spitze Reihe 0 ist.)
4. für jede Linie ist die Zahl von Produkten (d. h. die Summe der Koeffizienten) dem gleich.
5. für jede Linie ist die Zahl von Produktgruppen dem gleich.

Der binomische Lehrsatz kann auf die Mächte jedes Binoms angewandt werden. Zum Beispiel,

:

(x+2) ^3 &= x^3 + 3x^2 (2) + 3x (2) ^2 + 2^3 \\

&= {richten} x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end </Mathematik> {aus}

Für ein Binom, das Subtraktion einschließt, kann der Lehrsatz angewandt werden, so lange das Gegenteil des zweiten Begriffes verwendet wird. Das hat die Wirkung, das Zeichen jedes anderen Begriffes in der Vergrößerung zu ändern:

:

Geometrische Erklärung

Für positive Werte von a und b ist der binomische Lehrsatz mit n = 2 die geometrisch offensichtliche Tatsache, dass ein Quadrat der Seite in ein Quadrat der Seite a, ein Quadrat der Seite b und zwei Rechtecke mit Seiten a und b geschnitten werden kann. Mit n = 3 stellt der Lehrsatz fest, dass ein Würfel der Seite in einen Würfel der Seite a, einen Würfel der Seite b, drei a&times;a&times;b rechteckige Kästen, und drei a&times;b&times;b rechteckige Kästen geschnitten werden kann.

In der Rechnung gibt dieses Bild auch einen geometrischen Beweis der Ableitung, wenn man untergeht und b als eine unendlich kleine Änderung in a dolmetschend, dann zeigt dieses Bild die unendlich kleine Änderung im Volumen eines n-dimensional Hyperwürfels, wo der Koeffizient des geradlinigen Begriffes (darin) das Gebiet der N-Gesichter, jede der Dimension ist

:

Das Ersetzen davon in die Definition der Ableitung über einen Unterschied-Quotienten und die Einnahme von Grenzen bedeuten, dass die höhere Ordnung nennt - und höher - unwesentlich werden, und die Formel interpretiert als nachgibt

: "die unendlich kleine Änderung im Volumen eines N-Würfels als Seitenlänge ändert sich ist das Gebiet von n von seinem - dimensionale Gesichter".

Wenn man dieses Bild integriert, das Verwendung des Hauptsatzes der Rechnung entspricht, erhält man die Quadratur-Formel von Cavalieri, das Integral - sieh Beweis der Quadratur-Formel von Cavalieri für Details.

Die binomischen Koeffizienten

Die Koeffizienten, die in der binomischen Vergrößerung erscheinen, werden binomische Koeffizienten genannt. Diese werden gewöhnlich geschrieben, und "n ausgesprochen wählen k".

Formeln

Der Koeffizient von xy wird durch die Formel gegeben

:

der in Bezug auf die Factorial-Funktion n definiert wird!. Gleichwertig kann diese Formel geschrieben werden

:

mit k Faktoren sowohl im Zähler als auch in Nenner des Bruchteils. Bemerken Sie, dass, obwohl diese Formel einen Bruchteil einschließt, der binomische Koeffizient wirklich eine ganze Zahl ist.

Kombinatorische Interpretation

Der binomische Koeffizient kann als die Zahl von Weisen interpretiert werden, k Elemente aus einem N-Element-Satz zu wählen. Das ist mit Binomen aus dem folgenden Grund verbunden: Wenn wir (x + y) als ein Produkt schreiben

:

dann, gemäß dem verteilenden Gesetz, wird es einen Begriff in der Vergrößerung für jede Wahl entweder von x oder von y von jedem der Binome des Produktes geben. Zum Beispiel wird es nur einen Begriff x, entsprechend der Auswahl x von jedem Binom geben. Jedoch wird es mehrere Begriffe der Form xy, ein für jede Weise geben, genau zwei Binome zu wählen, um einen y beizutragen. Deshalb, nach dem Kombinieren wie Begriffe, wird der Koeffizient von xy der Zahl von Weisen gleich sein, genau 2 Elemente aus einem N-Element-Satz zu wählen.

Beweise

Kombinatorischer Beweis

Beispiel

Der Koeffizient von xy in

:

(x+y) ^3 &= (x+y) (x+y) (x+y) \\

&= xxx + xxy + xyx + \underline {xyy} + yxx + \underline {yxy} + \underline {yyx} + yyy \\

&= x^3 + 3x^2y + \underline {3xy^2} + y^3.

\end {richten} {sich} \, </Mathematik> {aus}

ist gleich, weil es drei x, y Schnuren der Länge 3 mit genau zwei y's, nämlich, gibt

:

entsprechend den drei 2-Elemente-Teilmengen {1, 2, 3}, nämlich,

:

wo jede Teilmenge die Positionen des y in einer entsprechenden Schnur angibt.

Allgemeiner Fall

Die Erweiterung (x + y) gibt die Summe der 2 Produkte der Form ee... e nach, wo jeder e x oder y ist. Umordnen von Faktoren zeigt, dass jedes Produkt xy für einen k zwischen 0 und n gleichkommt. Für einen gegebenen k wird der folgende gleich in der Folge bewiesen:

• die Zahl von Kopien von xy in der Vergrößerung
• die Zahl von n-character x, y Schnuren, die y in genau k Positionen haben
• die Zahl von K-Element-Teilmengen {1, 2..., n }\
• (das ist entweder definitionsgemäß, oder durch ein kurzes kombinatorisches Argument, wenn man als definiert).

Das beweist den binomischen Lehrsatz.

Induktiver Beweis

Induktion gibt einen anderen Beweis des binomischen Lehrsatzes (1) nach. Wenn n = 0, beide Seiten gleicher 1, seitdem x = 1 für die ganze Nichtnull x und.

Nehmen Sie jetzt an, dass (1) für einen gegebenen n hält; wir werden es für n + 1 beweisen.

Für j, k  0, gelassen [zeigen ƒ (x, y)] den Koeffizienten von xy im polynomischen ƒ (x, y) an.

Durch die induktive Hypothese, (x + y) ist ein Polynom in x und solchem y, der [(x + y)] wenn j + k = n, und 0 sonst ist.

Die Identität

:

Shows, der (x + y) auch ein Polynom in x und y und ist

:

Wenn j + k = n + 1, dann (j &minus; 1) + k = n und j + (k &minus; 1) = n, so ist die rechte Seite

:

durch die Identität des Pascal. Andererseits, wenn j +k  n + 1, dann (j - 1) + k  n und j + (k - 1)  n, so kommen wir 0 + 0 = 0. So

:

der die induktive Hypothese mit n + 1 ausgewechselter für n ist und so den induktiven Schritt vollendet.

Verallgemeinerungen

Der verallgemeinerte binomische Lehrsatz des Newtons

1665 hat Isaac Newton die Formel verallgemeinert, um echte Hochzahlen außer natürlichen Zahlen zu erlauben, und tatsächlich kann sie weiter zu komplizierten Hochzahlen verallgemeinert werden. In dieser Verallgemeinerung wird die begrenzte Summe durch eine unendliche Reihe ersetzt. Um zu tun, muss dieser Bedeutung binomischen Koeffizienten mit einem willkürlichen oberen Index geben, der mit der obengenannten Formel mit factorials nicht getan werden kann; jedoch (nk) ausklammernd! vom Zähler und Nenner in dieser Formel, und n durch r ersetzend, der jetzt für eine beliebige Zahl eintritt, kann man definieren

:

wo das Symbol von Pochhammer ist, das hier für ein Fallen factorial eintritt. Dann, wenn x und y reelle Zahlen mit |x> |y sind, und r jede komplexe Zahl ist, hat man

:\begin {richten }\aus

(x+y) ^r & = \sum_ {k=0} ^\\infty {r \choose k} X^ {r-k} Y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad (2) \\

& = x^r + r X^ {r-1} y + \frac {r (r-1)} {2!} X^ {r-2} y^2 + \frac {r (r-1) (r-2)} {3!} X^ {r-3} y^3 + \cdots.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wenn r eine natürliche Zahl ist, sind die binomischen Koeffizienten für k> r Null, so (2) spezialisiert sich zu (1), und es am grössten Teil von r + 1 Nichtnullbegriffe gibt. Für andere Werte von r hat die Reihe (2) ungeheuer viele Nichtnullbegriffe mindestens, wenn x und y Nichtnull sind.

Das ist wichtig, wenn man mit der unendlichen Reihe arbeitet und sie gern in Bezug auf verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen vertreten würde.

Die Einnahme r = &minus;s führt zu einer nützlichen, aber nichtoffensichtlichen Formel:

:

Weiter sich zu s = 1 Erträge die geometrische Reihe-Formel spezialisierend.

Verallgemeinerungen

Formel (2) kann zum Fall verallgemeinert werden, wo x und y komplexe Zahlen sind. Für diese Version sollte man |x> |y annehmen und die Mächte von x + y und x das Verwenden eines holomorphic Zweigs des Klotzes definieren, der auf einer offenen Platte des Radius |x definiert ist, in den Mittelpunkt gestellt an x.

Formel (2) ist auch für Elemente x gültig, und y einer Algebra von Banach nicht weniger als xy = yx, x ist invertible, und || y/x

= \sum_ {k_1, k_2, \ldots, k_m} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m }\

X_1^ {k_1} X_2^ {k_2} \cdots X_m^ {k_m}. </Mathematik>

wo die Summierung alle Folgen von Indizes der natürlichen Zahl k durch solchen k übernommen wird, dass die Summe des ganzen k n ist. (Für jeden Begriff in der Vergrößerung müssen sich die Hochzahlen auf n belaufen). Die Koeffizienten sind als multinomial Koeffizienten bekannt, und können durch die Formel geschätzt werden

:

= \frac {n!} {k_1! \, k_2! \cdots k_m!}. </Mathematik>

Kombinatorisch zählt der multinomial Koeffizient die Zahl von verschiedenen Weisen auf, einen N-Element-Satz in zusammenhanglose Teilmengen von Größen k..., k zu verteilen.

Der mehrbinomische Lehrsatz

Es ist häufig nützlich, wenn man in mehr Dimensionen arbeitet, um sich mit Produkten von binomischen Ausdrücken zu befassen. Durch den binomischen Lehrsatz ist das gleich

:

Das kann kürzer, durch die Mehrindex-Notation, als geschrieben werden

:

Anwendungen

Vielfache Winkelidentität

Für die komplexen Zahlen kann der binomische Lehrsatz mit der Formel von De Moivre verbunden werden, um Formeln des vielfachen Winkels für den Sinus und Kosinus nachzugeben. Gemäß der Formel von De Moivre,

:

Mit dem binomischen Lehrsatz kann der Ausdruck rechts ausgebreitet werden, und dann können die echten und imaginären Teile gebracht werden, um Formeln für weil (nx) und Sünde (nx) nachzugeben. Zum Beispiel, seitdem

:

Die Formel von De Moivre erzählt uns das

:

die die übliche Identität des doppelten Winkels sind. Ähnlich seitdem

:

Die Formel von De Moivre gibt nach

:

Im Allgemeinen,

:und:

Reihe für e

Die Nummer e wird häufig durch die Formel definiert

:

Die Verwendung des binomischen Lehrsatzes zu diesem Ausdruck gibt die übliche unendliche Reihe für e nach. Insbesondere:

:

Der kth Begriff dieser Summe ist

:

Als n   nähert sich der vernünftige Ausdruck auf dem Recht ein, und deshalb

:

Das zeigt an, dass e als eine Reihe geschrieben werden kann:

:

Tatsächlich, da jeder Begriff der binomischen Vergrößerung eine zunehmende Funktion von n ist, folgt es aus dem Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz für die Reihe, dass die Summe dieser unendlichen Reihe e gleich ist.

Der binomische Lehrsatz in der abstrakten Algebra

Formel (1) ist mehr allgemein für irgendwelche Elemente x und y eines Halbrings gültig, der xy = yx befriedigt. Der Lehrsatz ist noch mehr allgemein wahr: Alternativity genügt im Platz von associativity.

Der binomische Lehrsatz kann durch den Ausspruch dass die polynomische Folge {1, x, x, x festgesetzt werden...} ist des binomischen Typs.

Siehe auch

• Binomischer Vertrieb
• Binomische Wahrscheinlichkeit
• Binomischer umgekehrter Lehrsatz
• Binomische Reihe
• Kombination
• Die Annäherung von Stirling
• Lehrsatz von Multinomial
• Negativer binomischer Vertrieb
• Das Dreieck des Pascal
• Binomische Annäherung

Referenzen

Links

Außenverbindungen

• Binomischer Lehrsatz durch Stephen Wolfram, und "Binomischer Lehrsatz (Schrittweise)" durch Bruce Colletti und Jeff Bryant, Demonstrationsprojekt von Wolfram, 2007.
• Binomische Lehrsatz-Einführung