:This-Artikel ist über die Formel von Euler in der komplizierten Analyse. Weil die Formel von Euler in der algebraischen Topologie und polyedrischem combinatorics Eigenschaft von Euler sieht.

Die Formel von Euler, genannt nach Leonhard Euler, ist eine mathematische Formel in der komplizierten Analyse, die die tiefe Beziehung zwischen den trigonometrischen Funktionen und der komplizierten Exponentialfunktion herstellt. Die Formel von Euler stellt dass, für jede reelle Zahl x, fest

:

wo e die Basis des natürlichen Logarithmus ist, bin ich die imaginäre Einheit, und weil und Sünde der trigonometrische Funktionskosinus und Sinus beziehungsweise, mit dem Argument x gegeben in radians sind. Diese komplizierte Exponentialfunktion wird manchmal angezeigt Die Formel ist noch gültig, wenn x eine komplexe Zahl ist, und so kennzeichnen einige Autoren die allgemeinere komplizierte Version als die Formel von Euler.

Der Physiker Richard Feynman hat die Formel von Euler "unser Juwel" und "eine der bemerkenswertesten, fast erstaunlichen, Formeln in der ganzen Mathematik genannt."

Geschichte

Es war Johann Bernoulli, der das bemerkt

hat:

Und seitdem

:

die obengenannte Gleichung erzählt uns etwas über komplizierte Logarithmen. Bernoulli hat jedoch das Integral nicht bewertet. Seine Ähnlichkeit mit Euler (wer auch die obengenannte Gleichung gewusst hat) zeigt, dass er Logarithmen nicht völlig verstanden hat. Euler hat auch vorgeschlagen, dass die komplizierten Logarithmen ungeheuer viele Werte haben können.

Inzwischen hat Roger Cotes 1714 das entdeckt

:

(wo "ln" natürlichen Logarithmus, d. h. Klotz mit der Basis e bedeutet). Wir wissen jetzt, dass die obengenannte Gleichung wahre modulo Vielfachen der ganzen Zahl dessen ist, aber die Ställe haben die Tatsache verpasst, dass ein komplizierter Logarithmus ungeheuer viele Werte wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen haben kann.

Es war Euler (vermutlich 1740), wer seine Aufmerksamkeit auf die Exponentialfunktion statt Logarithmen gelenkt hat, und die richtige nach ihm jetzt genannte Formel erhalten hat. Es wurde 1748 veröffentlicht, und sein Beweis hat auf der unendlichen Reihe von beiden Seiten basiert, die gleich sind. Keiner dieser Männer hat die geometrische Interpretation der Formel gesehen: Die Ansicht von komplexen Zahlen als Punkte im komplizierten Flugzeug ist nur ungefähr 50 Jahre später entstanden (sieh Caspar Wessel).

Anwendungen in der Theorie der komplexen Zahl

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Diese Formel kann interpretiert werden, sagend dass die Funktion e den Einheitskreis im Flugzeug der komplexen Zahl als x Reihen durch die reellen Zahlen verfolgt. Hier ist x der Winkel, den eine Linie, die den Ursprung mit einem Punkt auf dem Einheitskreis verbindet, mit der positiven echten Achse, gemessen entgegen dem Uhrzeigersinn und in radians macht.

Der ursprüngliche Beweis basiert auf den Reihenentwicklungen von Taylor der Exponentialfunktion e (wo z eine komplexe Zahl ist), und der Sünde x und weil x für reelle Zahlen x (sieh unten). Tatsächlich zeigt derselbe Beweis, dass die Formel von Euler sogar für alle komplexen Zahlen z gültig ist.

Ein Punkt im komplizierten Flugzeug kann durch eine in geschriebene komplexe Zahl vertreten werden

kartesianische Koordinaten. Die Formel von Euler stellt ein Mittel der Konvertierung zwischen kartesianischen Koordinaten und Polarkoordinaten zur Verfügung. Die polare Form vereinfacht die Mathematik, wenn verwendet, in der Multiplikation oder den Mächten von komplexen Zahlen. Jede komplexe Zahl z = x + iy kann als geschrieben werden

::wo

: der echte Teil

: der imaginäre Teil

: der Umfang von z

: atan2 (y, x).

ist das Argument von z-i.e., der Winkel zwischen der x Achse und dem Vektoren z gemessen gegen den Uhrzeigersinn und darin wird radians-welch bis zur Hinzufügung 2π definiert. Viele Texte schreiben Lohe (y/x) statt atan2 (y, x), aber das braucht Anpassung wenn x  0.

Jetzt, diese abgeleitete Formel nehmend, können wir die Formel von Euler verwenden, um den Logarithmus einer komplexen Zahl zu definieren. Um das zu tun, verwenden wir auch die Definition des Logarithmus (als der umgekehrte Maschinenbediener von exponentiation) das

:

und das

:

sowohl gültig für irgendwelche komplexen Zahlen a als auch b.

Deshalb kann man schreiben:

:

für jeden z  0. Die Einnahme des Logarithmus von beiden Seiten zeigt dass:

:

und tatsächlich kann das als die Definition für den komplizierten Logarithmus verwendet werden. Der Logarithmus einer komplexen Zahl ist so eine mehrgeschätzte Funktion, weil mehrgeschätzt wird.

Schließlich, das andere Exponentialgesetz

:

der, wie man sehen kann, für alle ganzen Zahlen k zusammen mit der Formel von Euler hält, bezieht mehrere trigonometrische Identität sowie die Formel von de Moivre ein.

Beziehung zur Trigonometrie

Die Formel von Euler stellt eine starke Verbindung zwischen Analyse und Trigonometrie zur Verfügung, und stellt eine Interpretation des Sinus und der Kosinus-Funktionen als belastete Summen der Exponentialfunktion zur Verfügung:

::

Die zwei Gleichungen können oben durch das Hinzufügen oder das Abziehen der Formeln von Euler abgeleitet werden:

::

und das Lösen entweder für den Kosinus oder für Sinus.

Diese Formeln können sogar als die Definition der trigonometrischen Funktionen für komplizierte Argumente x dienen. Zum Beispiel, x = iy lassend, haben wir:

::

Komplex exponentials kann Trigonometrie vereinfachen, weil sie leichter sind zu manipulieren als ihre sinusförmigen Bestandteile. Eine Technik soll einfach sinusoids in gleichwertige Ausdrücke in Bezug auf exponentials umwandeln. Nach den Manipulationen ist das vereinfachte Ergebnis noch reellwertig. Zum Beispiel:

:

\begin {richten }\aus

\cos x\cdot \cos y & = \frac {(E^ {ix} +e^ {-ix})} {2} \cdot \frac {(E^ {iy} +e^ {-iy})} {2} \\

& = \frac {1} {2 }\\cdot \frac {e^ {ich (x+y)} +e^ {ich (x-y)} +e^ {ich (-x+y)} +e^ {ich (-x-y)}} {2} \\

& = \frac {1} {2} \left [\underbrace {\frac {e^ {ich (x+y)} + e^ {-i (x+y)}} {2}} _ {\\weil (x+y)} + \underbrace {\frac {e^ {ich (x-y)} + e^ {-i (x-y)}} {2}} _ {\\weil (x-y)} \right] \.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Eine andere Technik soll den sinusoids in Bezug auf den echten Teil eines komplizierteren Ausdrucks vertreten, und die Manipulationen auf dem komplizierten Ausdruck durchführen. Zum Beispiel:

: \begin {richten }\aus

\cos (nx) & = \mathrm {Re} \{\\e^ {inx }\\\}\

\mathrm {Re} \{\\e^ {ich (n-1) x }\\cdot e^ {ix }\\\} \\

& = \mathrm {Re} \{\\e^ {ich (n-1) x }\\cdot (E^ {ix} + E^ {-ix} - E^ {-ix}) \\} \\

& = \mathrm {Re} \{\\e^ {ich (n-1) x }\\cdot \underbrace {(E^ {ix} + E^ {-ix})} _ {2\cos (x)} - e^ {ich (n-2) x }\\\} \\

& = \cos [(n-1) x] \cdot 2 \cos (x) - \cos [(n-2) x] \.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Diese Formel wird für die rekursive Generation weil (nx) für Werte der ganzen Zahl von n und willkürlichem x (in radians) verwendet.

Andere Anwendungen

In Differenzialgleichungen wird die Funktion e häufig verwendet, um Abstammungen zu vereinfachen, selbst wenn die Endantwort eine echte Funktion ist, die Sinus und Kosinus einschließt. Der Grund dafür besteht darin, dass der Exponential-Komplex der eigenfunction der Unterscheidung ist. Die Identität von Euler ist eine leichte Folge der Formel von Euler.

In der elektronischen Technik und den anderen Feldern werden Signale, die sich regelmäßig mit der Zeit ändern, häufig als eine Kombination des Sinus und der Kosinus-Funktionen beschrieben (sieh Analyse von Fourier), und diese werden als der echte Teil von Exponentialfunktionen mit imaginären Hochzahlen mit der Formel von Euler günstiger ausgedrückt. Außerdem kann die Operator-Analyse von Stromkreisen die Formel von Euler einschließen, um den Scheinwiderstand eines Kondensators oder eines Induktors zu vertreten.

Definitionen des Komplexes exponentiation

Die Exponentialfunktion e für echte Werte von x kann auf einige verschiedene gleichwertige Weisen definiert werden (sieh Charakterisierungen der Exponentialfunktion). Mehrere dieser Methoden können direkt erweitert werden, um Definitionen von e für komplizierte Werte von z einfach durch das Ersetzen z im Platz von x und das Verwenden der komplizierten algebraischen Operationen zu geben. Insbesondere können wir jeden der zwei im Anschluss an Definitionen verwenden, die gleichwertig sind. Von einer fortgeschritteneren Perspektive kann jede dieser Definitionen als das Geben der einzigartigen analytischen Verlängerung von e zum komplizierten Flugzeug interpretiert werden.

Macht-Reihe-Definition

Für den Komplex z

:

Das Verwenden des Verhältnis-Tests es ist möglich zu zeigen, dass diese Macht-Reihe einen unendlichen Radius der Konvergenz hat, und so e für den ganzen Komplex z definiert.

Grenze-Definition

Für den Komplex z:

Beweise

Verschiedene Beweise der Formel sind möglich.

Das Verwenden der Macht-Reihe

Hier ist ein Beweis der Formel von Euler mit Macht-Reihenentwicklungen

sowie grundlegende Tatsachen über die Mächte von mir:

:

i^0 & {} = 1, \quad

&

i^1 & {} = ich, \quad

&

i^2 & {} =-1, \quad

&

i^3 & {} =-i, \\

i^4 &= {} 1, \quad

&

i^5 &= {} ich, \quad

&

i^6 & {} =-1, \quad

&

i^7 & {} =-i,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und so weiter. Mit jetzt die Macht-Reihe-Definition vom obengenannten sehen wir das für echte Werte von x

:

E^ {ix} & {} = 1 + ix + \frac {(ix) ^2} {2!} + \frac {(ix) ^3} {3!} + \frac {(ix) ^4} {4!} + \frac {(ix) ^5} {5!} + \frac {(ix) ^6} {6!} + \frac {(ix) ^7} {7!} + \frac {(ix) ^8} {8!} + \cdots \\[8pt]

& {} = 1 + ix - \frac {x^2} {2!} - \frac {ix^3} {3!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {ix^5} {5!} - \frac {x^6} {6!} - \frac {ix^7} {7!} + \frac {x^8} {8!} + \cdots \\[8pt]

& {} = \left (1 - \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} - \frac {x^6} {6!} + \frac {x^8} {8!} - \cdots \right) + i\left (x - \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} - \frac {x^7} {7!} + \cdots \right) \\[8pt]

& {} = \cos x + i\sin x \.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Im letzten Schritt haben wir einfach die Reihe von Taylor für die Sünde (x) und weil (x) anerkannt. Die Neuordnung von Begriffen wird gerechtfertigt, weil jede Reihe absolut konvergent ist.

Das Verwenden der Grenze-Definition

Ein alternativer Beweis fängt aus der Grenze-Definition an:

:.

Stecken Sie ein und lassen Sie, eine sehr große ganze Zahl zu sein. Dann denken Sie die Folge:

:

(Das letzte Element der Folge-Annäherungen.), Wenn die Punkte dieser Folge im komplizierten Flugzeug geplant werden (sieh Zeichentrickfilm am Recht), verfolgen sie grob den Einheitskreis mit jedem Punkt, der radians gegen den Uhrzeigersinn des vorherigen Punkts ist. (Diese Behauptung ist immer mehr und genauer als Zunahmen. Der Beweis basiert auf den Regeln der Trigonometrie und Algebra der komplexen Zahl.) Deshalb in der Grenze ist der letzte Punkt in der Folge der Punkt auf dem Einheitskreis gelegenen radians des komplizierten Flugzeugs gegen den Uhrzeigersinn von +1, d. h. der Punkt. Deshalb.

Das Verwenden der Rechnung

Ein anderer Beweis basiert auf der Tatsache, dass alle komplexen Zahlen in Polarkoordinaten ausgedrückt werden können. Deshalb für einige und abhängig von,

:

Jetzt aus einigen der Definitionen der Exponentialfunktion kann es gezeigt werden, dass die Ableitung dessen ist. Deshalb das Unterscheiden beider Seiten gibt

:

Das Ersetzen für und die Gleichstellung echter und imaginärer Teile in dieser Formel geben und. Zusammen mit den Anfangswerten, und die daraus kommen, gibt und. Das beweist die Formel.

Siehe auch

• Die Identität von Euler
• Komplexe Zahl
• Integration mit der Formel von Euler
• Liste von Themen genannt nach Leonhard Euler

Links

• Beweis der Formel von Euler durch Julius O. Smith III
• Die Formel von Euler und der letzte Lehrsatz von Fermat
• Komplizierter Exponentialfunktionsbaustein durch John H. Mathews
• Elemente der Algebra
• Sehabstammung der Formel von Euler
• Die Formel von Euler und die Identität von Euler: Grundprinzip für die Formel von Euler und die Identität von Euler, Video an Khanacademy.org