In der Geometrie ist ein Winkel die Zahl, die durch zwei Strahlen gebildet ist, genannt die Seiten des Winkels, einen allgemeinen Endpunkt, genannt den Scheitelpunkt des Winkels teilend.

Wie man

gewöhnlich wagt, sind Winkel in einem Euklidischen Flugzeug, aber werden auch in der nicht-euklidischen Geometrie definiert.

Winkel wird auch verwendet, um das Maß eines Winkels oder von einer Folge zu benennen. Dieses Maß ist das Verhältnis der Länge eines kreisförmigen Kreisbogens durch seinen Radius. Im Fall von einem Winkel (Zahl) wird der Kreisbogen am Scheitelpunkt in den Mittelpunkt gestellt und von den Seiten abgegrenzt. Im Fall von einer Folge wird der Kreisbogen am Zentrum der Folge in den Mittelpunkt gestellt und durch jeden Punkt und sein Image durch die Folge abgegrenzt.

Der Wortwinkel kommt aus dem lateinischen Wort angulus, "eine Ecke" bedeutend. Das Wort angulus ist ein Diminutiv, dessen die primitive Form, angus, in Latein nicht vorkommt. Verwandte Wörter sind der Grieche (ankylοs), "gekrümmt, gebogen," und das englische Wort "Knöchel" bedeutend. Beide werden mit dem Proto-Indo-European-Wurzel*ank-verbunden, vorhabend, "sich" oder "Bogen" zu biegen.

Euklid definiert einen Flugzeug-Winkel als die Neigung zu einander in einem Flugzeug von zwei Linien, die einander treffen, und gerade in Bezug auf einander nicht liegen. Gemäß Proclus muss ein Winkel entweder eine Qualität oder eine Menge oder eine Beziehung sein. Das erste Konzept wurde von Eudemus verwendet, der einen Winkel als eine Abweichung von einer Gerade betrachtet hat; das zweite durch das Handgelenk von Antioch, der es als der Zwischenraum oder Raum zwischen den sich schneidenden Linien betrachtet hat; Euklid hat das dritte Konzept angenommen, obwohl seine Definitionen des Rechts, akute und stumpfe Winkel sicher quantitativ sind.

Das Messen von Winkeln

Die Größe eines Winkels wird durch den Umfang der kleinsten Folge charakterisiert, die einen der Strahlen in den anderen kartografisch darstellt. Winkel, die dieselbe Größe haben, werden kongruente Winkel genannt.

In einigen Zusammenhängen, wie das Identifizieren eines Punkts auf einem Kreis oder dem Beschreiben der Orientierung eines Gegenstands in zwei Dimensionen hinsichtlich einer Bezugsorientierung, sind Winkel, die sich durch ein genaues Vielfache einer vollen Umdrehung unterscheiden, effektiv gleichwertig. In anderen Zusammenhängen, wie das Identifizieren eines Punkts auf einer spiralförmigen Kurve oder dem Beschreiben der kumulativen Folge eines Gegenstands in zwei Dimensionen hinsichtlich einer Bezugsorientierung, sind Winkel, die sich durch ein Nichtnullvielfache einer vollen Umdrehung unterscheiden, nicht gleichwertig.

Um einen Winkel zu messen, wird ein kreisförmiger am Scheitelpunkt des Winkels in den Mittelpunkt gestellter Kreisbogen z.B mit einem Paar von Kompassen gezogen. Die Länge des Kreisbogens wird dann durch den Radius des Kreisbogens geteilt, und vielleicht mit einem Schuppen unveränderlich multipliziert (der von den Einheiten des Maßes abhängt, die gewählt werden):

:

Der Wert so definierten ist der Größe des Kreises unabhängig: Wenn die Länge des Radius dann die Kreisbogen-Länge-Änderungen in demselben Verhältnis geändert wird, so ist das Verhältnis s/r unverändert.

Einheiten

Einheiten, die verwendet sind, um Winkel zu vertreten, werden unten in der hinuntersteigenden Umfang-Ordnung verzeichnet. Dieser Einheiten sind der Grad und der radian bei weitem meistens verwendet. In radians ausgedrückte Winkel sind zu den Zwecken der dimensionalen Analyse ohne Dimension.

Die meisten Einheiten des winkeligen Maßes werden solch definiert, dass eine Umdrehung (d. h. ein Vollkreis) n Einheiten, für eine ganze Zahl n gleich ist. Die zwei Ausnahmen sind der radian und der Diameter-Teil. Zum Beispiel, im Fall von Graden, wird Eine Umdrehung von n Einheiten durch das Setzen in der Formel oben erhalten. (Beweis. Die Formel kann oben als Eine Umdrehung umgeschrieben werden, für die Einheiten, einem Kreisbogen entspricht, der in der Länge zum Kreisumfang des Kreises gleich ist, der 2πr, so ist. Wenn man n für θ und 2πr für s in der Formel auswechselt, läuft hinaus)

• Die Umdrehung (oder Vollkreis, Revolution, Folge oder Zyklus) ist ein Vollkreis. Eine Umdrehung kann in centiturns und milliturns unterteilt werden. Eine Umdrehung wird abgekürzt oder Umdrehung oder Fäule abhängig von der Anwendung, aber gerade r in rpm (Revolutionen pro Minute). 1 Umdrehung = 360 ° = 2π rad = 400 Student im Aufbaustudium = 4 richtige Winkel.
• Der Quadrant ist 1/4 einer Umdrehung, d. h. ein richtiger Winkel. Es ist die in den Elementen von Euklid verwendete Einheit. 1 Viererkabel. = drehen sich 90 ° = π/2 rad = 1/4 = 100 Student im Aufbaustudium. In Deutsch ist das Symbol verwendet worden, um einen Quadranten anzuzeigen.
• Der Winkel des gleichseitigen Dreiecks ist 1/6 einer Umdrehung. Es war die Einheit, die von den Babyloniern verwendet ist und ist besonders leicht, mit dem Lineal und den Kompassen zu bauen. Der Grad, Minute des Kreisbogens und zweit des Kreisbogens ist sexagesimal Subeinheiten der babylonischen Einheit. 1 babylonische Einheit = 60 ° = π/3 rad  1.047197551 rad.
• Der radian ist der Winkel, der durch einen Kreisbogen eines Kreises entgegengesetzt ist, der dieselbe Länge wie der Radius des Kreises (= 1 in der Formel gegeben früher) hat. Eine Umdrehung ist 2π radians, und ein radian ist 180/π Grade oder ungefähr 57.2958 Grade. Der radian wird rad abgekürzt, obwohl dieses Symbol häufig in mathematischen Texten weggelassen wird, wo radians, wenn nicht angegeben, sonst angenommen werden. Wenn radians verwendet werden, werden Winkel als ohne Dimension betrachtet. Der radian wird in eigentlich der ganzen mathematischen Arbeit außer der einfachen praktischen Geometrie verwendet, zum Beispiel zu den angenehmen und "natürlichen" Eigenschaften erwartet, die die trigonometrischen Funktionen zeigen, wenn ihre Argumente in radians sind. Der radian ist die (abgeleitete) Einheit des winkeligen Maßes im SI-System.
• Der Diameter-Teil (gelegentlich verwendet in der islamischen Mathematik) ist 1/60 radian. Ein "Diameter-Teil" ist etwa 0.95493 °.
• Der astronomische Stunde-Winkel ist 1/24 einer Umdrehung. Da dieses System dem Messen von Gegenständen zugänglich ist, dass Zyklus einmal pro Tag (wie die Verhältnisposition von Sternen), die sexagesimal Subeinheiten Minute der Zeit und zweit der Zeit genannt werden. Bemerken Sie, dass diese davon verschieden und 15mal größer sind als, Minuten und Sekunden des Kreisbogens. 1 Stunde = 15 ° = π/12 rad = 1/6 Viererkabel. = drehen 1/24  16.667 Student im Aufbaustudium.
• Der Punkt, der in der Navigation verwendet ist, ist 1/32 einer Umdrehung. 1 Punkt = 1/8 eines richtigen Winkels = 11.25 ° = 12.5 Student im Aufbaustudium. Jeder Punkt wird in vier Viertel-Punkten unterteilt, so dass 1 Umdrehung 128 Viertel-Punkten gleichkommt.
• Eratosthenes hat eine Einheit von 6 ° verwendet, so dass eine ganze Umdrehung in 60 Einheiten geteilt wurde.
• Die Babylonier haben manchmal die Einheit pechus von ungefähr 2 ° oder 2½ ° verwendet.
• Der binäre Grad, auch bekannt als der binäre radian (oder kopfloser Nagel), sind 1/256 einer Umdrehung. Der binäre Grad wird in der Computerwissenschaft verwendet, so dass ein Winkel in einem einzelnen Byte (obgleich zur beschränkten Präzision) effizient vertreten werden kann. Andere Maßnahmen des in der Computerwissenschaft verwendeten Winkels können auf dem Teilen einer ganzer Umdrehung in 2 gleiche Teile für andere Werte von n basieren.
• Der Grad, der durch einen kleinen hochgestellten Kreis (°) angezeigt ist, ist 1/360 einer Umdrehung, so ist eine Umdrehung 360 °. Ein Vorteil dieser alten sexagesimal Subeinheit besteht darin, dass viele in der einfachen Geometrie übliche Winkel als Ganzes Zahl von Graden gemessen werden. Bruchteile eines Grads können in der normalen dezimalen Notation geschrieben werden (z.B 3.5 ° für dreieinhalb Grade), aber die "Minute" und "die zweiten" sexagesimal Subeinheiten der Grad-Minute das zweite System sind auch im Gebrauch, besonders für geografische Koordinaten und in der Astronomie und Ballistik:
• Der Student im Aufbaustudium, auch genannt Rang, Gon, oder gon, ist 1/400 einer Umdrehung, so ist ein richtiger Winkel 100 Studenten im Aufbaustudium. Es ist eine dezimale Subeinheit des Quadranten. Ein Kilometer wurde als ein Centi-Student-im-Aufbaustudium des Kreisbogens entlang einem großen Kreis der Erde historisch definiert, so ist der Kilometer das dezimale Analogon zur sexagesimal nautischen Meile. Der Student im Aufbaustudium wird größtenteils in der Triangulation verwendet.
• Der mil ist einem milliradian ungefähr gleich. Es gibt mehrere Definitionen im Intervall von 0.05625 zu 0.06 Graden (3.375 zu 3.6 Minuten) mit dem milliradian etwa 0.05729578 Grade (3.43775 Minuten) zu sein. In NATO-Ländern wird es als 1/6400. eines Kreises definiert. Sein Wert ist dem durch eine Breite von 1 Meter entgegengesetzten Winkel, wie gesehen, von 1 km weg (2π / 6400 = 0.0009817 …  1/1000) ungefähr gleich.
• Die Minute des Kreisbogens (oder MOA, arcminute, oder gerade Minute) ist 1/60 eines Grads = 1/21600 Umdrehung. Es wird durch eine einzelne Blüte () angezeigt. Zum Beispiel sind 3 ° 30  3 + 30/60 Grade oder 3.5 Grade gleich. Ein Mischformat mit Dezimalbrüchen wird auch manchmal, z.B 3 ° 5.72  = 3 + 5.72/60 Grade verwendet. Eine nautische Meile wurde als eine Minute des Kreisbogens entlang einem großen Kreis der Erde historisch definiert.
• Der zweite vom Kreisbogen (oder arcsecond, oder gerade zweit) ist 1/60 einer Minute des Kreisbogens und 1/3600 eines Grads. Es wird durch eine doppelte Blüte () angezeigt. Zum Beispiel sind 3 ° 7  30  3 + 7/60 + 30/3600 Grade oder 3.125 Grade gleich.

Positive und negative Winkel

Obwohl die Definition des Maßes eines Winkels das Konzept eines negativen Winkels nicht unterstützt, ist es oft nützlich, eine Tagung aufzuerlegen, die positiven und negativen winkeligen Werten erlaubt, Orientierungen und/oder Folgen in entgegengesetzten Richtungen hinsichtlich einer Verweisung zu vertreten.

In einem zwei dimensionalen Kartesianischen Koordinatensystem werden Winkel normalerweise hinsichtlich der positiven X-Achse mit positiven Winkeln definiert, die Folgen zur positiven Y-Achse und den negativen Winkeln vertreten, die Folgen zur negativen Y-Achse vertreten. Wenn Kartesianische Koordinaten vertreten werden, wie sie allgemein sind, mit der X-Achse nach rechts und der Y-Achse sind nach oben gerichtete, positive Folgen gegen den Uhrzeigersinn, und negative Folgen sind im Uhrzeigersinn.

In vielen Zusammenhängen ist ein Winkel von  θ zu einem Winkel "einer voller Umdrehung minus θ" effektiv gleichwertig. Zum Beispiel ist eine Orientierung vertreten als  45 ° zu einer Orientierung vertreten als 360 °  45 ° oder 315 ° effektiv gleichwertig. Jedoch würde eine Folge von  45 ° nicht dasselbe als eine Folge von 315 ° sein.

In der dreidimensionalen Geometrie, "im Uhrzeigersinn" und haben "gegen den Uhrzeigersinn" keine absolute Bedeutung, so muss die Richtung von positiven und negativen Winkeln hinsichtlich einer Verweisung definiert werden, die normalerweise ein Vektor ist, der den Scheitelpunkt des Winkels und Senkrechte zum Flugzeug durchführt, in dem die Strahlen des Winkels liegen.

In der Navigation werden Lager hinsichtlich des Nordens gemessen. Durch die Tagung, angesehen von oben, Winkel tragend, sind im Uhrzeigersinn positiv, so entspricht ein Lager von 45 ° einer Nordostorientierung. Negative Lager werden in der Navigation nicht verwendet, so entspricht eine Nordwestorientierung einem Lager von 315 °.

Alternative Weisen, die Größe eines Winkels zu messen

Es gibt mehrere Alternativen zum Messen der Größe eines Winkels durch den entsprechenden Winkel der Folge.

Der Rang eines Hangs oder Anstieg ist der Tangente des Winkels, oder manchmal dem Sinus gleich. Anstiege werden häufig als ein Prozentsatz ausgedrückt. Für sehr kleine Werte (weniger als 5 %) ist der Rang eines Hangs ungefähr das Maß eines Winkels in radians.

In der vernünftigen Geometrie wird die Ausbreitung zwischen zwei Linien am Quadrat des Sinus des Winkels zwischen den Linien definiert. Da der Sinus eines Winkels und der Sinus seines ergänzenden Winkels derselbe jeder Winkel der Folge sind, die eine der Linien in den anderen kartografisch darstellt, führt zu demselben Wert der Ausbreitung zwischen den Linien.

Astronomische Annäherungen

Astronomen messen winkelige Trennung von Gegenständen in Graden von ihrem Punkt der Beobachtung.

• 1 ° ist ungefähr die Breite eines kleinen Fingers an der Länge des Arms.
• 10 ° sind ungefähr die Breite einer geschlossenen Faust an der Länge des Arms.
• 20 ° sind ungefähr die Breite eines handspan an der Länge des Arms.

Diese Maße hängen klar vom individuellen Thema ab, und der obengenannte sollte als raue Annäherungen nur behandelt werden.

Das Identifizieren von Winkeln

In mathematischen Ausdrücken ist es üblich, griechische Briefe (...) zu verwenden, um als Variablen zu dienen, die für die Größe von einem Winkel eintreten. (Um Verwirrung mit seiner anderen Bedeutung zu vermeiden, wird das Symbol π normalerweise für diesen Zweck nicht verwendet.) Römische Briefe der unteren Umschaltung (a, b, c...) werden auch verwendet. Sieh die Zahlen in diesem Artikel für Beispiele.

In geometrischen Zahlen können Winkel auch durch die Etiketten identifiziert werden, die den drei Punkten beigefügt sind, die sie definieren. Zum Beispiel wird der Winkel am Scheitelpunkt Ein beiliegender durch die Strahlen AB und AC (d. h. die Linien vom Punkt, um B anzuspitzen und hinzuweisen, um C anzuspitzen), BAC oder BÂC angezeigt. Manchmal, wo es keine Gefahr der Verwirrung gibt, kann auf den Winkel einfach durch seinen Scheitelpunkt verwiesen werden ("angeln").

Potenziell könnte sich ein Winkel angezeigt, sagen wir, BAC auf einigen von vier Winkeln beziehen: Im Uhrzeigersinn Winkel von B bis C, gegen den Uhrzeigersinn Winkel von B bis C, im Uhrzeigersinn Winkel von C bis B, oder gegen den Uhrzeigersinn Winkel von C bis B, wo die Richtung, in der der Winkel gemessen wird, sein Zeichen bestimmt (sieh Positive und negative Winkel). Jedoch in vielen geometrischen Situationen ist es vom Zusammenhang offensichtlich, dass der positive Winkel weniger als oder gleich 180 Graden gemeint wird, und keine Zweideutigkeit entsteht. Sonst kann eine Tagung angenommen werden, so dass sich BAC immer auf den gegen den Uhrzeigersinn (positiven) Winkel von B bis C und CAB zum gegen den Uhrzeigersinn (positiven) Winkel von C bis B bezieht.

Typen von Winkeln

• Ein Winkel, der der 1/4-Umdrehung (90 ° oder π/2 radians) gleich ist, wird einen richtigen Winkel genannt.

Wie man

• sagt, sind:Two-Linien, die einen richtigen Winkel bilden, rechtwinklig oder orthogonal.
• Winkel, die der 1/2-Umdrehung (180 ° oder zwei richtige Winkel) gleich sind, werden gerade Winkel genannt.
• Winkel, die 1 Umdrehung (360 ° oder vier richtige Winkel) gleich sind, werden volle Winkel genannt.
• Winkel, die nicht richtige Winkel oder ein Vielfache eines richtigen Winkels sind, werden schiefe Winkel genannt.
• Winkel, die kleiner sind als ein richtiger Winkel (weniger als 90 °), werden akute Winkel ("akute" Bedeutung "scharf") genannt.
• Winkel, die größer sind als ein richtiger Winkel und kleiner sind als ein gerader Winkel (zwischen 90 ° und 180 °), werden stumpfe Winkel ("stumpfe" Bedeutung "stumpf") genannt.
• Winkel, die größer sind als ein gerader Winkel, aber weniger als 1 Umdrehung (zwischen 180 ° und 360 °), werden Reflexwinkel genannt.

Wie man

• sagt, sind Winkel, die dasselbe Maß haben (d. h. derselbe Umfang) (das Vereinigte Königreich) gleich oder (die USA) kongruent. Ein Winkel wird durch sein Maß definiert und ist auf die Längen der Seiten des Winkels nicht abhängig (z.B ganz richtig Winkel sind kongruent).
• Zwei Winkel gegenüber einander, der durch zwei sich schneidende Geraden gebildet ist, die sich "X" artige Gestalt formen, werden vertikale Winkel oder entgegengesetzte Winkel oder vertikal entgegengesetzte Winkel genannt. Diese Winkel sind im Maß gleich.
• Winkel, die einen allgemeinen Scheitelpunkt und Rand teilen, aber keine Innenpunkte teilen, werden angrenzende Winkel genannt.
• Zwei Winkel, die zu einem richtigem Winkel resümieren (90 °) werden Ergänzungswinkel genannt.
• Der:The-Unterschied zwischen einem Winkel und einem richtigen Winkel wird die Ergänzung des Winkels genannt.
• Zwei Winkel, die zu einem geraden Winkel resümieren (180 °) werden ergänzende Winkel genannt.
• Der:The-Unterschied zwischen einem Winkel und einem geraden Winkel (180 °) wird die Ergänzung des Winkels genannt.
• Zwei Winkel, die zu einer Umdrehung resümieren (360 °) werden Explementary-Winkel oder verbundene Winkel genannt.
• Ein Winkel, der ein Teil eines einfachen Vielecks ist, wird einen Innenwinkel genannt, wenn es innerhalb dieses einfachen Vielecks liegt. Ein konkaves einfaches Vieleck hat mindestens einen Innenwinkel, der 180 ° überschreitet.

Euklidische

• :In-Geometrie, die Maßnahmen der Innenwinkel eines Dreiecks belaufen sich auf π radians, oder 180 ° oder 1/2-Umdrehung; die Maßnahmen der Innenwinkel eines einfachen Vierseits belaufen sich 2π radians, oder 360 ° oder 1 Umdrehung. Im Allgemeinen belaufen sich die Maßnahmen der Innenwinkel eines einfachen Vielecks mit n Seiten [(n  2) × π] radians, oder [(n  2) × 180] °, oder (2n  4) richtige Winkel, oder (n/2  1) Umdrehung.
• Der zum Innenwinkel ergänzende Winkel wird den Außenwinkel genannt. Es misst den Betrag der Folge, die man an diesem Scheitelpunkt machen muss, um das Vieleck zu verfolgen. Wenn der entsprechende Innenwinkel ein Reflexwinkel ist, sollte der Außenwinkel negativ betrachtet werden. Sogar in einem nichteinfachen Vieleck kann es möglich sein, den Außenwinkel zu definieren, aber man wird eine Orientierung des Flugzeugs (oder Oberfläche) aufpicken müssen, um das Zeichen des Außenwinkelmaßes zu entscheiden.

Euklidische

• :In-Geometrie, die Summe der Außenwinkel eines einfachen Vielecks wird eine volle Umdrehung (360 °) sein.
• Einige Autoren verwenden den Namenaußenwinkel eines einfachen Vielecks, um einfach den explementary zu bedeuten (nicht ergänzend!) des Innenwinkels. Das kollidiert den obengenannten Gebrauch.
• Der Winkel zwischen zwei Flugzeugen (wie zwei angrenzende Gesichter eines Polyeders) wird einen zweiflächigen Winkel genannt. Es kann als der akute Winkel zwischen zwei zu den Flugzeugen normalen Linien definiert werden.
• Der Winkel zwischen einem Flugzeug und einer sich schneidenden Gerade ist neunzig Graden minus der Winkel zwischen der sich schneidenden Linie und der Linie gleich, die den Punkt der Kreuzung durchgeht und zum Flugzeug normal ist.
• Abwechselnde Winkel, entsprechender Winkel, Innenwinkel und Außenwinkel werden mit einem transversal eines Paares von Linien durch ein Drittel vereinigt.
• Ein Bezugswinkel ist die akute Version jedes bestimmten Winkels, indem er wiederholt Abstriche gemacht wird oder 180 Grade hinzugefügt wird, und das Ergebnis von 180 Graden nötigenfalls abgezogen wird, bis ein Wert zwischen 0 Graden und 90 Graden erhalten wird. Zum Beispiel hat ein Winkel von 30 Graden einen Bezugswinkel von 30 Graden, und ein Winkel von 150 Graden hat auch einen Bezugswinkel von 30 Graden (180-150). Ein Winkel von 750 Graden hat einen Bezugswinkel von 30 Graden (750-720).

Winkel zwischen Kurven

Der Winkel zwischen einer Linie und einer Kurve (gemischter Winkel) oder zwischen zwei sich schneidenden Kurven (krummliniger Winkel) wird definiert, um der Winkel zwischen den Tangenten am Punkt der Kreuzung zu sein. Verschiedene Namen (jetzt selten, wenn jemals, verwendet) sind besonderem cases: — amphicyrtic gegeben worden (Gr. an beiden Seiten, , konvex) oder cissoidal (Gr. , Efeu), biconvex; xystroidal oder sistroidal (Gr. , ein Werkzeug, um zu kratzen), concavo-konvex; amphicoelic (Gr. , eine Höhle) oder angulus lunularis, biconcave.

Punktprodukt und Verallgemeinerung

Im Euklidischen Flugzeug, der Winkel θ zwischen zwei Vektoren u und v ist mit ihrem Punktprodukt und ihren Längen durch die Formel verbunden

:

Diese Formel liefert eine leichte Methode zu finden, dass der Winkel zwischen zwei Flugzeugen (oder gebogene Oberflächen) von ihren normalen Vektoren und dazwischen Linien von ihren Vektor-Gleichungen verdreht.

Skalarprodukt

Um Winkel in einem abstrakten echten Skalarprodukt-Raum zu definieren, ersetzen wir das Euklidische Punktprodukt (·) durch das Skalarprodukt, d. h.

:

In einem komplizierten Skalarprodukt-Raum kann der Ausdruck für den Kosinus oben nichtechte Werte geben, so wird es durch ersetzt

:

oder, allgemeiner, mit dem absoluten Wert, mit

:

Die letzte Definition ignoriert die Richtung der Vektoren und beschreibt so den Winkel zwischen eindimensionalen Subräumen und abgemessen durch die Vektoren und entsprechend.

Winkel zwischen Subräumen

Die Definition des Winkels zwischen eindimensionalen Subräumen und gegeben durch

:

in Hilbert kann Raum zu Subräumen irgendwelcher begrenzten Dimensionen erweitert werden. In Anbetracht zwei Subräume mit führt das zu einer Definition von genannten kanonischen oder hauptsächlichen Winkeln von Winkeln zwischen Subräumen.

Winkel in der Geometrie von Riemannian

In der Riemannian Geometrie wird der metrische Tensor verwendet, um den Winkel zwischen zwei Tangenten zu definieren. Wo U und V Tangente-Vektoren sind und g die Bestandteile des metrischen Tensor G, sind

:

\cos \theta = \frac {g_ {ij} U^iV^j }\

{\\sqrt {\left | g_ {ij} U^iU^j \right | \left | g_ {ij} V^iV^j \right |}}.

</Mathematik>

Winkel in der Erdkunde und Astronomie

In der Erdkunde kann die Position jedes Punkts auf der Erde mit einem geografischen Koordinatensystem identifiziert werden. Dieses System gibt die Breite und Länge jeder Position in Bezug auf am Zentrum der Erde entgegengesetzte Winkel, mit dem Äquator und (gewöhnlich) dem Greenwicher Meridian als Verweisungen an.

In der Astronomie kann ein gegebener Punkt auf dem himmlischen Bereich (d. h. die offenbare Position eines astronomischen Gegenstands) mit einigen von mehreren astronomischen Koordinatensystemen identifiziert werden, wo sich die Verweisungen gemäß dem besonderen System ändern. Astronomen messen die winkelige Trennung von zwei Sternen, indem sie sich zwei Linien durch das Zentrum der Erde, jeder vorstellen, einen der Sterne durchschneidend. Der Winkel zwischen jenen Linien kann gemessen werden, und ist die winkelige Trennung zwischen den zwei Sternen.

Astronomen messen auch die offenbare Größe von Gegenständen als ein winkeliges Diameter. Zum Beispiel hat der Vollmond ein winkeliges Diameter von etwa 0.5 °, wenn angesehen, von der Erde. Man konnte sagen, "das Diameter des Monds setzt einen Winkel eines halben Grads entgegen." Die Formel des kleinen Winkels kann verwendet werden, um solch ein winkeliges Maß in ein Verhältnis der Entfernung/Größe umzuwandeln.

Siehe auch

• Winkelhalbierungslinie
• Argument (komplizierte Analyse)
• Astrologischer Aspekt
• Hauptwinkel
• Uhr-Winkelproblem
• Ergänzungswinkel
• Große Kreisentfernung
• Eingeschriebener Winkel
• Gradbogen
• Raumwinkel für ein Konzept des Winkels in drei Dimensionen.
• Ergänzende Winkel
• Vernunftwidriger Winkel
• Winkelige Geschwindigkeit

Referenzen

Zuweisung

Links

• Winkelhalbierungslinien in einem Vierseit an der Knoten-Kürzung
• Das Konstruieren eines Dreiecks von seinen Winkelhalbierungslinien an der Knoten-Kürzung
• Winkelbewertung - für die grundlegende Astronomie.
• Winkeldefinitionsseiten mit interaktivem applets.
• Verschiedene Winkelaufbauten mit dem Kompass und Haarlineal
• DD von GonioLab - Bekehrter zwischen DecDeg und DegMinSec und umgekehrt (verlangt javanischen Webanfang)