In der Mathematik ist der Lehrsatz von Peter-Weyl ein grundlegendes Ergebnis in der Theorie der harmonischen Analyse, für topologische Gruppen geltend, die kompakt sind, aber nicht notwendigerweise abelian sind. Es wurde von Hermann Weyl, mit seinem Studenten Fritz Peter, in der Einstellung einer topologischen Kompaktgruppe G am Anfang bewiesen. Der Lehrsatz ist eine Sammlung von Ergebnissen, die bedeutenden Tatsachen über die Zergliederung der regelmäßigen Darstellung jeder begrenzten Gruppe, wie entdeckt, durch F. G. Frobenius und Issai Schur verallgemeinernd.

Der Lehrsatz hat drei Teile. Der erste Teil stellt fest, dass die Matrixkoeffizienten von nicht zu vereinfachenden Darstellungen von G im Raum C (G) dauernder Komplex-geschätzter Funktionen auf G, und so auch im Raum L (G) Quadrat-Integrable-Funktionen dicht sind. Der zweite Teil behauptet den ganzen reducibility von einheitlichen Darstellungen von G. Der dritte Teil behauptet dann, dass sich die regelmäßige Darstellung von G auf L (G) als die direkte Summe aller nicht zu vereinfachenden einheitlichen Darstellungen zersetzt. Außerdem bilden die Matrixkoeffizienten der nicht zu vereinfachenden einheitlichen Darstellungen eine orthonormale Basis von L (G).

Matrixkoeffizienten

Ein Matrixkoeffizient der Gruppe G ist eine Komplex-geschätzte Funktion φ auf G, der als die Zusammensetzung gegeben ist

wo π: G → GL (V) ist eine endlich-dimensionale (dauernde) Gruppendarstellung von G, und L ist ein geradliniger funktioneller auf dem Vektorraum von Endomorphismen V (z.B Spur), der GL (V) als eine offene Teilmenge enthält. Matrixkoeffizienten sind dauernd, da Darstellungen definitionsgemäß dauernder und geradliniger functionals auf endlich-dimensionalen Räumen sind, sind auch dauernd.

Der erste Teil des Lehrsatzes von Peter-Weyl behauptet :

• Der Satz von Matrixkoeffizienten von G ist im Raum von dauernden komplizierten Funktionen C (G) auf G dicht, der mit der gleichförmigen Norm ausgestattet ist.

Dieses erste Ergebnis ähnelt dem Stein-Weierstrass Lehrsatz, in dem es die Dichte von einer Reihe von Funktionen im Raum von allen dauernden Funktionen, Thema nur einer algebraischen Charakterisierung anzeigt. Tatsächlich, wenn G eine Matrixgruppe ist, dann folgt das Ergebnis leicht vom Stein-Weierstrass Lehrsatz. Umgekehrt ist es eine Folge der nachfolgenden Beschlüsse des Lehrsatzes, dass irgendwelcher Kompaktlüge-Gruppe zu einer Matrixgruppe isomorph ist.

Eine Folgeerscheinung dieses Ergebnisses ist, dass die Matrixkoeffizienten von G in L (G) dicht sind.

Zergliederung einer einheitlichen Darstellung

Der zweite Teil des Lehrsatzes gibt die Existenz einer Zergliederung einer einheitlichen Darstellung von G in endlich-dimensionale Darstellungen. Jetzt intuitiv wurden Gruppen als Folgen auf geometrischen Gegenständen konzipiert, so ist es nur natürlich, Darstellungen zu studieren, die im Wesentlichen aus dauernden Handlungen auf Räumen von Hilbert entstehen. (Für diejenigen, die zuerst in Doppelgruppen vorgestellt wurden, die aus Charakteren bestehen, die der dauernde Homomorphismus in die Kreisgruppe sind, ist diese Annäherung ähnlich, außer dass die Kreisgruppe zur Gruppe von einheitlichen Maschinenbedienern auf einem gegebenen Raum von Hilbert (schließlich) verallgemeinert wird.)

Lassen Sie G eine topologische Gruppe und H ein komplizierter Raum von Hilbert sein.

Eine dauernde Handlung, verursacht eine auf die offensichtliche Weise definierte Karte:. Diese Karte ist klar ein Homomorphismus von G in GL (H), der homeomorphic automorphisms H. Und in Anbetracht solch einer Karte können wir die Handlung auf die offensichtliche Weise einzigartig wieder erlangen.

So definieren wir die Darstellungen von G auf einem Raum von Hilbert H, um jener Gruppenhomomorphismus, &rho zu sein; die aus dauernden Handlungen von G auf H entstehen. Wir sagen dass eine Darstellung ρ ist wenn &rho einheitlich; (g) ist ein einheitlicher Maschinenbediener für den ganzen g ∈ G; d. h., für den ganzen v, w ∈ H. (D. h. ist es wenn einheitlich. Bemerken Sie, wie das den speziellen Fall des eindimensionalen Raums von Hilbert verallgemeinert, wo U (C) gerade die Kreisgruppe ist.)

In Anbetracht dieser Definitionen können wir den zweiten Teil des Lehrsatzes von Peter-Weyl festsetzen:

• Lassen Sie ρ seien Sie eine einheitliche Darstellung einer Kompaktgruppe G auf einem komplizierten Raum von Hilbert H. Dann spaltet sich H in eine orthogonale direkte Summe von nicht zu vereinfachenden endlich-dimensionalen einheitlichen Darstellungen von G auf.

Zergliederung von Quadrat-Integrable-Funktionen

Um den dritten und endgültigen Teil des Lehrsatzes festzusetzen, gibt es einen natürlichen Raum von Hilbert über G, der aus Quadrat-Integrable-Funktionen, L (G) besteht; das hat Sinn, weil Maß von Haar auf G besteht. Diesen Raum von Hilbert H nennend, hat die Gruppe G eine einheitliche Darstellung ρ auf H durch das Handeln links, über

Die Endbehauptung des Lehrsatzes von Peter-Weyl gibt eine ausführliche orthonormale Basis von L (G). Roughly es behauptet, dass die Matrixkoeffizienten für G, angemessen wiedernormalisiert, eine orthonormale Basis von L (G) sind. Insbesondere L zersetzt sich (G) in eine orthogonale direkte Summe aller nicht zu vereinfachenden einheitlichen Darstellungen, in denen die Vielfältigkeit jeder nicht zu vereinfachenden Darstellung seinem Grad (d. h. die Dimension des zu Grunde liegenden Raums der Darstellung) gleich ist. So,

wo Σ zeigt den Satz (Isomorphismus-Klassen) nicht zu vereinfachende einheitliche Darstellungen von G an, und die Summierung zeigt den Verschluss der direkten Summe der Gesamträume E der Darstellungen π. an

Nehmen Sie genauer dass ein Vertreter &pi an; wird für jede Isomorphismus-Klasse der nicht zu vereinfachenden einheitlichen Darstellung gewählt, und zeigen Sie die Sammlung von ganzem &pi an; durch Σ. lassen Sie, die Matrixkoeffizienten &pi zu sein; in einer orthonormalen Basis, mit anderen Worten

für jeden g ∈ G. Lassen Sie schließlich d der Grad der Darstellung &pi sein;. der Lehrsatz behauptet jetzt dass der Satz von Funktionen

ist eine orthonormale Basis von L (G).

Folgen

Struktur von topologischen Kompaktgruppen

Vom Lehrsatz kann man einen bedeutenden allgemeinen Struktur-Lehrsatz ableiten. Lassen Sie G eine topologische Kompaktgruppe sein, die wir Hausdorff annehmen. Für jeden endlich-dimensionalen G-invariant Subraum V in L (G), wo G links handelt, denken wir das Image von G in GL (V). Es wird geschlossen, da G, und eine Untergruppe der Lüge-Gruppe GL (V) kompakt ist. Es folgt durch einen Lehrsatz von Élie Cartan, dass das Image von G eine Lüge-Gruppe auch ist.

Wenn wir jetzt die Grenze (im Sinne der Kategorie-Theorie) über alle diese Räume V nehmen, bekommen wir ein Ergebnis über G - weil G treu auf L (G) handelt. Wir können sagen, dass G eine umgekehrte Grenze von Lüge-Gruppen ist. Es kann natürlich nicht selbst, eine Lüge-Gruppe sein: Es kann zum Beispiel eine pro-begrenzte Gruppe sein.

Siehe auch

• Dualität von Pontryagin