In der Mathematik, besonders in der Kategorie-Theorie und homotopy Theorie, verallgemeinert ein groupoid (weniger häufig Brandt groupoid oder virtuelle Gruppe) den Begriff der Gruppe auf mehrere gleichwertige Weisen. Ein groupoid kann als a gesehen werden:

• Gruppe mit einer teilweisen Funktion, die die binäre Operation ersetzt;
• Kategorie, in der jeder morphism invertible ist. Eine Kategorie dieser Sorte, kann wie vermehrt, mit einer unären Operation, genannt Gegenteil analog mit der Gruppentheorie angesehen werden.
• Orientierter Graph

Spezielle Fälle schließen ein:

• Setoids, der ist: Sätze, die mit einer Gleichwertigkeitsbeziehung kommen;
• G-Sätze, Sätze, die mit einer Handlung einer Gruppe G ausgestattet sind.

Groupoids werden häufig verwendet, um über geometrische Gegenstände wie Sammelleitungen vernünftig zu urteilen. Heinrich Brandt hat groupoids implizit über Halbgruppen von Brandt 1926 eingeführt.

Definitionen

Algebraisch

Ein groupoid ist ein Satz G mit einer unären Operation, und eine teilweise Funktion Hier * ist nicht eine binäre Operation, weil es für alle möglichen Paare von G-Elementen nicht notwendigerweise definiert wird. Die genauen Bedingungen, unter denen * definiert wird, werden hier nicht artikuliert und ändern sich durch die Situation.

und haben Sie die folgenden axiomatischen Eigenschaften. Lassen Sie a, b, und c Elemente von G sein. Dann:

1. Associativity: Wenn * b und b * c definiert werden, dann (* b) * c und * (b * c) werden definiert und gleich. Umgekehrt, wenn jeder dieser letzten zwei Ausdrücke definiert wird, dann so ist der andere (und wieder sind sie gleich).
2. Gegenteil: * a und * immer definiert zu sein.
3. Identität: Wenn * b, dann * b * b = a, und * * b = b definiert wird. (Die vorherigen zwei Axiome zeigen bereits, dass diese Ausdrücke definiert und eindeutig werden.)

Kurzum:

1. (* b) * c = * (b * c);
2. a a * ein a * a;
3. * b * b = a und * * b = b.

Von diesen Axiomen folgen zwei leichte und günstige Eigenschaften:

• (a) = a;
• Wenn * b, dann (* b) = b * a definiert wird.

Beweis des ersten Eigentums: von 3. wir herrschen (a) = (a) * * = a vor. 

Beweis des zweiten Eigentums: Seit * werden b und b * b definiert, so ist * b * b=a. Deshalb * b * b * auch definiert zu sein. Von 3. wir herrschen (* b) = (* b) * a*b * b * = b * a vor. 

Theoretische Kategorie

Ein groupoid ist eine kleine Kategorie, in der jeder morphism ein Isomorphismus, und folglich invertible ist. Genauer ist ein groupoid G:

• Ein Satz G Gegenstände;
• Für jedes Paar von Gegenständen x und y in G, dort besteht (vielleicht leer) setzt G (x, y) von morphisms (oder Pfeile) von x bis y. Wir schreiben f: x  y, um anzuzeigen, dass f ein Element von G (x, y) ist.

Die Gegenstände und morphisms haben die Eigenschaften:

• Für jeden Gegenstand x, dort besteht das Element von G (x, x);
• Weil sich jeder von Gegenständen x, y, und z verdreifacht, dort besteht die Funktion G (x, y) G (y, z)  G (x, z). Wir schreiben gf für, wo fG (x, y), und gG (y, z);
• Dort besteht die Funktion G (x, y)  G (y, x).

Außerdem, wenn f: x  y, g: y  z, und h: z  w, dann:

• und;
• (hg) f = h (gf);

• und.

Wenn f ein Element von G ist (x, y) dann wird x die Quelle von f, schriftlicher s (f), und y das Ziel von f (schriftlicher t (f)) genannt.

Das Vergleichen der Definitionen

Die algebraischen und mit der Kategorie theoretischen Definitionen sind wie folgt gleichwertig. In Anbetracht eines groupoid im mit der Kategorie theoretischen Sinn, lassen Sie G die zusammenhanglose Vereinigung von allen Sätzen G (x, y) (d. h. den Sätzen von morphisms von x bis y) sein. Dann und werden Sie teilweise definierte Operationen auf G, und wird tatsächlich überall definiert; so definieren wir *, um zu sein und zu sein. So haben wir einen groupoid im algebraischen Sinn. Die ausführliche Verweisung auf G (und folglich auf) kann fallen gelassen sein.

Umgekehrt, in Anbetracht eines groupoid G im algebraischen Sinn, lassen Sie G der Satz aller Elemente der Form x * x mit x sein, der sich durch G ändert und G (x*x, y*y) als der Satz aller Elemente f solch zu definieren, dass y * y * f * x * x besteht. Gegebener fG (x*x, y*y) und gG (y*y, z*z), wird ihre Zusammensetzung als g * f  G (x*x, z*z) definiert. Um zu sehen, wird das gut definiert, bemerken Sie, dass da z*z * g * y*y und y*y * f * x*x, so z*z * g * y*y * y*y * f * x*x = z*z * g*f * x*x bestehen. Die Identität morphism auf x*x ist dann x*x selbst, und das mit der Kategorie theoretische Gegenteil von f ist f.

Sätze in den Definitionen können oben durch Klassen ersetzt werden, wie allgemein der Fall in der Kategorie-Theorie ist.

Scheitelpunkt-Gruppen

In Anbetracht eines groupoid sind G, der Scheitelpunkt-Gruppen oder Isotropie-Gruppen oder Gegenstand-Gruppen in G die Teilmengen der Form G (x, x), wo x jeder Gegenstand von G ist. Es folgt leicht von den Axiomen darüber das sind tatsächlich Gruppen, weil jedes Paar von Elementen composable ist und Gegenteile in derselben Scheitelpunkt-Gruppe sind.

Kategorie von groupoids

Ein subgroupoid ist eine Unterkategorie, die selbst ein groupoid ist. Ein groupoid morphism ist einfach ein functor zwischen zwei (mit der Kategorie theoretischen) groupoids. Die Kategorie, deren Gegenstände groupoids sind, und dessen morphisms groupoid morphisms sind, wird die groupoid Kategorie oder die Kategorie von groupoids genannt, hat Grpd angezeigt.

Besondere Arten von morphisms von groupoids sind von Interesse. Ein morphism von groupoids wird einen fibration wenn nach jedem Gegenstand und jedem morphism des Startens daran genannt ihm gibt einen morphism des Startens am solchem dass. Ein fibration wird eine Bedeckung morphism genannt, wenn weiter solch ein einzigartig ist. Die Bedeckung morphisms groupoids ist besonders nützlich, weil sie an das Modell gewöhnt sein können, das Karten von Räumen bedeckt. Es ist auch wahr, dass die Kategorie, morphisms eines gegebenen groupoid zu bedecken, zur Kategorie von Handlungen des groupoid auf Sätzen gleichwertig ist.

Beispiele

Geradlinige Algebra

In Anbetracht Feldes K besteht der entsprechende allgemeine geradlinige groupoid GL (K) aus dem ganzen invertible matrices, dessen sich Einträge über K erstrecken. Matrixmultiplikation interpretiert Zusammensetzung. Wenn G = GL (K), dann ist der Satz von natürlichen Zahlen eine richtige Teilmenge von G, seitdem für jede natürliche Zahl n, es eine entsprechende Identitätsmatrix der Dimension n gibt. G (M, n) ist leer, wenn m=n, in welchem Fall es der Satz des ganzen nxn invertible matrices ist.

Topologie

In Anbetracht eines topologischen Raums X, lassen Sie G der Satz X sein. Die morphisms vom Punkt p zum Punkt q sind Gleichwertigkeitsklassen von dauernden Pfaden von p bis q mit zwei Pfaden, die gleichwertig sind, wenn sie homotopic sind.

Zwei solche morphisms werden durch zuerst im Anschluss an den ersten Pfad zusammengesetzt, dann zweit; die homotopy Gleichwertigkeit versichert, dass diese Zusammensetzung assoziativ ist. Dieser groupoid wird den grundsätzlichen groupoid X, angezeigt (X) genannt. Die übliche grundsätzliche Gruppe ist dann die Scheitelpunkt-Gruppe für den Punkt x.

Eine wichtige Erweiterung dieser Idee soll den grundsätzlichen groupoid denken (X, A), wo A eine Reihe von "Grundpunkten" und eine Teilmenge X ist. Hier denkt man nur Pfade, deren Endpunkte A. gehören (X, A) ist ein sub-groupoid (X). Der Satz A kann gemäß der Geometrie der Situation in der Nähe gewählt werden.

Gleichwertigkeitsbeziehung

Wenn X ein Satz mit einer durch das Infix angezeigten Gleichwertigkeitsbeziehung ist, dann kann ein groupoid, der diese Gleichwertigkeitsbeziehung "vertritt", wie folgt gebildet werden:

• Die Gegenstände des groupoid sind die Elemente X;
• Für irgendwelche zwei Elemente x und y in X gibt es einen einzelnen morphism von x bis y wenn und nur wenn x~y.

Gruppenhandlung

Wenn die Gruppe G dem Satz X folgt, dann können wir die Handlung groupoid bilden, diese Gruppenhandlung wie folgt vertretend:

• Die Gegenstände sind die Elemente X;
• Für irgendwelche zwei Elemente x und y in X gibt es einen morphism von x bis y entsprechend jedem Element g von solchem G dass gx = y;
• Die Zusammensetzung von morphisms interpretiert die binäre Operation von G.

Ausführlicher ist die Handlung groupoid der Satz mit der Quelle, und Ziel stellt s (g, x) = x und t (g, x) = gx kartografisch dar. Es wird häufig angezeigt (oder). Multiplikation (oder Zusammensetzung) im groupoid ist dann, der zur Verfügung gestellter y=gx definiert wird.

Für x in X besteht die Scheitelpunkt-Gruppe aus denjenigen (g, x) mit gx = x, der gerade die Isotropie-Untergruppe an x für die gegebene Handlung ist (der ist, warum Scheitelpunkt-Gruppen auch Isotropie-Gruppen genannt werden).

Eine andere Weise, G-Sätze zu beschreiben, ist die functor Kategorie, wo der groupoid (Kategorie) mit einem Element und isomorph zur Gruppe G ist. Tatsächlich definiert jeder functor F dieser Kategorie einen Satz X=F und für jeden g in G (d. h. für jeden morphism in) veranlasst eine Bijektion F: XX. Die kategorische Struktur des functor F versichert uns, dass F eine G-Handlung auf dem Satz X definiert. Der (einzigartige) wiederpräsentable functor F:  ist die Darstellung von Cayley von G. Tatsächlich ist dieser functor dazu isomorph und sendet so an den Satz, der definitionsgemäß der "Satz" G und der morphism g (d. h. das Element g G) zur Versetzung F des Satzes G ist. Wir leiten von Yoneda ab, der einbettet, dass die Gruppe G zur Gruppe {F | gG}, eine Untergruppe der Gruppe von Versetzungen von G isomorph ist.

Fünfzehn sind verwirrt

Die symmetries des fünfzehn Rätsels bilden einen groupoid (nicht eine Gruppe, als nicht alle Bewegungen können zusammengesetzt werden). Dieser groupoid folgt Konfigurationen.

Beziehung zu Gruppen

Wenn ein groupoid nur einen Gegenstand hat, dann bildet der Satz seines morphisms eine Gruppe. Mit der algebraischen Definition ist solch ein groupoid wörtlich gerade eine Gruppe. Viele Konzepte der Gruppentheorie verallgemeinern zu groupoids, mit dem Begriff des Functor-Ersetzens dieser des Gruppenhomomorphismus.

Wenn x ein Gegenstand des groupoid G ist, dann bildet der Satz des ganzen morphisms von x bis x eine Gruppe G (x). Wenn es einen morphism f von x bis y gibt, dann sind die Gruppen G (x) und G (y) mit einem Isomorphismus isomorph, der durch den kartografisch darstellenden g  fgf gegeben ist.

Jeder verbundene groupoid (d. h. derjenige, in dem irgendwelche zwei Gegenstände durch mindestens einen morphism verbunden werden) ist zu einem groupoid der folgenden Form isomorph. Picken Sie eine Gruppe G und einen Satz (oder Klasse) X auf. Lassen Sie die Gegenstände des groupoid die Elemente X sein. Für Elemente x und y X, lassen Sie den Satz von morphisms von x bis y G sein. Die Zusammensetzung von morphisms ist die Gruppenoperation von G. Wenn der groupoid nicht verbunden wird, dann ist es zu einer zusammenhanglosen Vereinigung von groupoids des obengenannten Typs (vielleicht mit verschiedenen Gruppen G für jeden verbundenen Bestandteil) isomorph. So kann jeder groupoid (bis zum Isomorphismus) von einer Reihe von befohlenen Paaren (X, G) gegeben werden.

Bemerken Sie, dass der Isomorphismus, der oben beschrieben ist, nicht einzigartig ist, und es keine natürliche Wahl gibt. Auswahl solch eines Isomorphismus für einen verbundenen groupoid beläuft sich im Wesentlichen auf die Auswahl eines Gegenstands x, ein Gruppenisomorphismus h von G (x) zu G, und für jeden x anders als x, ein morphism in G von x bis x.

In mit der Kategorie theoretischen Begriffen ist jeder verbundene Bestandteil eines groupoid gleichwertig (aber nicht isomorph) zu einem groupoid mit einem einzelnen Gegenstand, d. h. einer einzelnen Gruppe. So ist jeder groupoid zu einem Mehrsatz von Gruppen ohne Beziehung gleichwertig. Mit anderen Worten, für die Gleichwertigkeit statt des Isomorphismus, ein braucht die Sätze X, nur die Gruppen G nicht anzugeben.

Denken Sie die Beispiele in der vorherigen Abteilung. Der allgemeine geradlinige groupoid ist sowohl gleichwertig als auch zur zusammenhanglosen Vereinigung der verschiedenen allgemeinen geradlinigen Gruppen GL (F) isomorph. Andererseits:

• Der grundsätzliche groupoid X ist zur Sammlung der grundsätzlichen Gruppen jedes Pfad-verbundenen Bestandteils X gleichwertig, aber ein Isomorphismus verlangt das Spezifizieren des Satzes von Punkten in jedem Bestandteil;
• Der Satz X mit der Gleichwertigkeitsbeziehung ist (als ein groupoid) zu einer Kopie der trivialen Gruppe für jede Gleichwertigkeitsklasse gleichwertig, aber ein Isomorphismus verlangt das Spezifizieren, wie jede Gleichwertigkeitsklasse ist:
• Der Satz X ausgestattet mit einer Handlung der Gruppe G ist (als ein groupoid) zu einer Kopie von G für jede Bahn der Handlung gleichwertig, aber ein Isomorphismus verlangt das Spezifizieren, was untergeht, ist jede Bahn.

Der Zusammenbruch eines groupoid in eine bloße Sammlung von Gruppen verliert etwas Information sogar aus einem mit der Kategorie theoretischen Gesichtspunkt, weil es nicht natürlich ist. So, wenn groupoids in Bezug auf andere Strukturen, als in den obengenannten Beispielen entstehen, kann es nützlich sein, den vollen groupoid aufrechtzuerhalten. Sonst muss man eine Weise wählen, jeden G (x) in Bezug auf eine einzelne Gruppe anzusehen, und diese Wahl kann willkürlich sein. In unserem Beispiel von der Topologie würden Sie eine zusammenhängende Wahl von Pfaden (oder Gleichwertigkeitsklassen von Pfaden) von jedem Punkt p zu jedem Punkt q in demselben Pfad-verbundenen Bestandteil machen müssen.

Als ein leuchtenderes Beispiel nimmt die Klassifikation von groupoids mit einem Endomorphismus nicht ab, um theoretische Rücksichten rein zu gruppieren. Das ist der Tatsache analog, dass die Klassifikation von Vektorräumen mit einem Endomorphismus nichttrivial ist.

Morphisms von groupoids kommen in mehr Arten als diejenigen von Gruppen: Wir, haben zum Beispiel, fibrations, morphisms, universaler morphisms und Quotient morphisms bedeckend. So gibt eine Untergruppe H einer Gruppe G eine Handlung von G auf dem Satz von cosets von H in G und folglich einer Bedeckung morphism p von, sagen wir, K zu G nach, wo K ein groupoid mit zu H isomorphen Scheitelpunkt-Gruppen ist. Auf diese Weise können Präsentationen der Gruppe G zu Präsentationen des groupoid K "gehoben" werden, und das ist eine nützliche Weise, Information über Präsentationen der Untergruppe H zu erhalten. Für die weitere Information, sieh die Bücher durch Higgins und durch das Braun in den Verweisungen.

Eine andere nützliche Tatsache ist, dass die Kategorie von groupoids, verschieden von dieser von Gruppen, geschlossen kartesianisch ist.

Lügen Sie groupoids und Lügen Sie algebroids

Wenn

es geometrische Gegenstände studiert, trägt das Entstehen groupoids häufig eine differentiable Struktur, sie in die Lüge groupoids drehend.

Diese können in Bezug auf die Lüge algebroids in der Analogie zur Beziehung zwischen Lüge-Gruppen studiert werden und Algebra Liegen.

Handlungen von Groupoid

Darstellungen von Groupoid

Zeichen

• Braun, Ronald, 1987, "Von Gruppen zu groupoids: ein kurzer Überblick," Stier. Londoner Mathematik. Soc. 19: 113-34. Prüft die Geschichte von groupoids bis zu 1987 nach, mit der Arbeit von Brandt auf quadratischen Formen anfangend. Die herunterladbare Version aktualisiert die vielen Verweisungen.
• --------2006. Topologie und groupoids. Booksurge. Revidierte und erweiterte Ausgabe eines Buches vorher veröffentlicht 1968 und 1988. Groupoids werden im Zusammenhang ihrer topologischen Anwendung eingeführt.
• --------, Höher Erklärt dimensionale Gruppentheorie, wie das groupoid Konzept zum geführten höher dimensionalen homotopy groupoids hat, Anwendungen in der homotopy Theorie und in der Gruppe cohomology habend. Viele Verweisungen.
• F. Borceux, G. Janelidze, 2001, Theorien von Galois. Cambridge Univ. Drücken. Shows, wie Verallgemeinerungen der Theorie von Galois zu Galois groupoids führen.
• Cannas da Silva, A., und A. Weinstein, Geometrische Modelle für Nichtersatzalgebra. Besonders Teil VI.
• Golubitsky, M., Ian Stewart, 2006, "Nichtlineare Dynamik von Netzen: der groupoid Formalismus", Stier. Amer. Mathematik. Soc. 43: 305-64
• Higgins, P. J., "Der grundsätzliche groupoid eines Graphen von Gruppen", J. Londoner Mathematik. Soc. (2) 13 (1976) 145 — 149.
• Higgins, P. J. und Taylor, J., "Haben der grundsätzliche groupoid und der homotopy Komplex eines Bahn-Raums", in der Kategorie-Theorie (Gummersbach, 1981), Vortrag-Zeichen in der Mathematik durchquert. Band 962. Springer, Berlin (1982), 115 — 122.
• Higgins, P. J., 1971. Kategorien und groupoids. Van Nostrand Notes in der Mathematik. Neu veröffentlicht in Nachdrücken in der Theorie und den Anwendungen von Kategorien, Seiten Nr. 7 (2005) 1-195; frei herunterladbar. Wesentliche Einführung in die Kategorie-Theorie mit der speziellen Betonung auf groupoids. Geschenk-Anwendungen von groupoids in der Gruppentheorie, zum Beispiel zu einer Verallgemeinerung des Lehrsatzes von Grushko, und in der Topologie, z.B grundsätzlicher groupoid.
• Mackenzie, K. C. H., 2005. Die allgemeine Theorie der Lüge groupoids und Liegt algebroids. Cambridge Univ. Drücken.
• Weinstein, Alan, "Groupoids: das Vereinheitlichen innerer und äußerlicher Symmetrie - Eine Tour obwohl einige Beispiele." Auch verfügbar in der Nachschrift. Benachrichtigungen von AMS, Juli 1996, Seiten 744-752.
• Weinstein, Alan, "Die Geometrie des Schwungs" (2002)
• R.T. Zivaljevic. "Groupoids in combinatorics---Anwendungen einer Theorie von lokalem symmetries". In Algebraischem und geometrischem combinatorics, Band 423 von Contemp. Mathematik. 305 - 324. Amer. Mathematik. Soc. Vorsehung, Rhode Island (2006)