In der Mathematik ist die orthogonale Gruppe des Grads n über Feld F (schriftlich als O (n, F)) die Gruppe von n × n orthogonaler matrices mit Einträgen von F mit der Gruppenoperation der Matrixmultiplikation. Das ist eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (n, F) gegeben durch

:

wo Q das Umstellen von Q ist. Die klassische orthogonale Gruppe über die reellen Zahlen wird gewöhnlich gerade O (n) geschrieben.

Mehr allgemein ist die orthogonale Gruppe einer nichtsingulären quadratischen Form über F die Gruppe von geradlinigen Maschinenbedienern, die die Form bewahren - die obengenannte Gruppe O (n, F) ist dann die orthogonale Gruppe der Summe von n Quadraten quadratische Form. Der Lehrsatz von Cartan-Dieudonné beschreibt die Struktur der orthogonalen Gruppe für die nichtsinguläre Form. Dieser Artikel bespricht nur bestimmte Formen - die orthogonale Gruppe der positiven bestimmten Form (gleichwertig zur Summe von n Quadraten) und negativen bestimmten Formen (gleichwertig zur negativen Summe von n Quadraten) ist - O (n, 0) = O (0, n) identisch - obwohl sich die verbundenen Nadel-Gruppen unterscheiden; für andere nichtsinguläre Formen O (p, q), sieh unbestimmte orthogonale Gruppe.

Jede orthogonale Matrix hat Determinante entweder 1 oder 1. Die orthogonalen n-by-n matrices mit der Determinante 1 bilden eine normale Untergruppe von O (n, F) bekannt als die spezielle orthogonale Gruppe, SO (n, F). (Genauer, SO (n, F) ist der Kern des Dicksons invariant, besprochen unten.) Analog mit GL/SL (allgemeine geradlinige Gruppe, spezielle geradlinige Gruppe), wird die orthogonale Gruppe manchmal die allgemeine orthogonale Gruppe genannt' und angezeigt GEHEN, obwohl dieser Begriff auch manchmal für unbestimmte orthogonale Gruppen O (p, q) gebraucht wird.

Die abgeleitete Untergruppe Ω (n, F) O (n, F) ist ein häufig studierter Gegenstand, weil, wenn F ein begrenztes Feld Ω ist (n, F) häufig eine Haupterweiterung einer begrenzten einfachen Gruppe ist.

Beide O (n, F) und SO (n, F) sind algebraische Gruppen, weil die Bedingung, die eine Matrix, orthogonal sein, d. h. sein eigenes zu haben, so umgekehrt umstellt, können ausgedrückt werden wie eine Reihe polynomischer Gleichungen in den Einträgen der Matrix.

Über das Feld der reellen Zahl

Über Feld R von reellen Zahlen werden die orthogonale Gruppe O (n, R) und die spezielle orthogonale Gruppe SO (n, R) häufig einfach durch O (n) und SO (n) angezeigt, wenn keine Verwirrung möglich ist. Sie bilden echte Kompaktlüge-Gruppen der Dimension n (n − 1)/2. O (n, R) hat zwei verbundene Bestandteile, mit SO (n, R) der Identitätsbestandteil, d. h., der verbundene Bestandteil zu sein, der die Identitätsmatrix enthält.

Die echten orthogonalen und echten speziellen orthogonalen Gruppen haben die folgenden geometrischen Interpretationen:

O (n, R) ist eine Untergruppe der Euklidischen Gruppe E (n), der Gruppe von Isometrien von R; es enthält diejenigen, die den Ursprung befestigt - O (n, R) = E (n)  GL (n, R) verlassen. Es ist die Symmetrie-Gruppe des Bereichs (n = 3) oder Hyperbereichs und aller Gegenstände mit der kugelförmigen Symmetrie, wenn der Ursprung am Zentrum gewählt wird.

SO (n, R) ist eine Untergruppe von E (n), der aus direkten Isometrien, d. h., Isometrien besteht, die Orientierung bewahren; es enthält diejenigen, die den Ursprung befestigt - SO (n, R) = E (n)  GL (n, R) = E (n)  GL (n, R) verlassen. Es ist die Folge-Gruppe des Bereichs und aller Gegenstände mit der kugelförmigen Symmetrie, wenn der Ursprung am Zentrum gewählt wird.

{±I} ist eine normale Untergruppe und sogar eine charakteristische Untergruppe von O (n, R), und, wenn n sogar, auch SO (n, R) ist. Wenn n, O seltsam ist (n, R) ist das innere direkte Produkt SO (n, R) und {±I}. Die zyklische Gruppe von k-fold Folgen C ist für jede positive ganze Zahl k eine normale Untergruppe von O (2, R) und SO (2, R).

Hinsichtlich passender orthogonaler Basen sind die Isometrien von der Form:

:

\begin {matrix}-R_1 & & \\& \ddots & \\& & R_k\end {Matrix} & 0 \\

0 & \begin {Matrix-}\\Premierminister 1 & & \\& \ddots & \\& & \pm 1\end {Matrix} \\

\end {bmatrix} </Mathematik>

wo die matrices R..., R 2 durch 2 Folge matrices in orthogonalen Flugzeugen der Folge sind. Als ein spezieller Fall, der als der Folge-Lehrsatz von Euler, jeder (Nichtidentität) bekannt ist, ist Element SO (3, R) Folge über eine einzigartig definierte Achse.

Die orthogonale Gruppe wird durch das Nachdenken erzeugt (zwei Nachdenken gibt eine Folge), als in einer Gruppe von Coxeter, und Elemente haben Länge am grössten Teil von n (verlangen Sie beim grössten Teil des n Nachdenkens, um zu erzeugen; das folgt aus der obengenannten Klassifikation, bemerkend, dass eine Folge durch 2 Nachdenken erzeugt wird, und mehr allgemein für unbestimmte orthogonale Gruppen, durch den Lehrsatz von Cartan-Dieudonné wahr ist). Ein längstes Element (Element, das den grössten Teil des Nachdenkens braucht), ist Nachdenken durch den Ursprung (die Karte v  v), obwohl auch andere maximale Kombinationen von Folgen (und ein Nachdenken, in der sonderbaren Dimension) sind.

Die Symmetrie-Gruppe eines Kreises ist O (2, R), auch genannt Dih (S), wo S die multiplicative Gruppe von komplexen Zahlen des absoluten Werts 1 anzeigt.

SO (2, R) ist (als eine echte Lüge-Gruppe) zu S isomorph. Dieser Isomorphismus sendet die komplexe Zahl exp (φi) =, weil (φ) + ich (φ) zur orthogonalen Matrix sündige

:

Die Gruppe SO (3, R), verstanden als der Satz von Folgen des 3-dimensionalen Raums, ist von Hauptwichtigkeit in den Wissenschaften und der Technik, und es gibt zahlreiche Karten auf SO (3).

In Bezug auf die algebraische Topologie, für n &gt; 2 ist die grundsätzliche Gruppe SO (n, R) vom Auftrag 2 zyklisch, und die spinor Gruppendrehung (n) ist sein universaler Deckel. Für n = 2 ist die grundsätzliche Gruppe zyklisch unendlich, und der universale Deckel entspricht der echten Linie (die spinor Gruppendrehung (2) ist der einzigartige 2-fache Deckel).

Sogar und sonderbare Dimension

Die Struktur der orthogonalen Gruppe unterscheidet sich in bestimmter Hinsicht zwischen sogar und sonderbare Dimensionen - zum Beispiel, &minus;I ist Orientierungsbewahrung in sogar Dimensionen, aber Orientierungsumkehren in sonderbaren Dimensionen. Wenn diese Unterscheidung betont werden möchte, werden die Gruppen allgemein O (2k) und O (2k+1) angezeigt, n für die Dimension des Raums (n=2k oder n=2k+1) vorbestellend. Die Briefe p oder r werden auch verwendet, die Reihe der entsprechenden Lüge-Algebra anzeigend; in der sonderbaren Dimension ist die entsprechende Lüge-Algebra, während darin sogar die Lüge-Algebra dimensionieren, ist

Lügen Sie Algebra

Die Lüge-Algebra, die zu den Lüge-Gruppen O (n, R) und SO (n, R) vereinigt ist, besteht aus dem Verdrehen - symmetrischer echter n-by-n matrices mit der durch den Umschalter gegebenen Lüge-Klammer. Diese Lüge-Algebra wird häufig durch o (n, R) oder durch so (n, R) angezeigt, und genannt oder. Diese Liegen Algebra sind die echten Kompaktformen von zwei der vier Familien von halbeinfachen Lüge-Algebra: in der sonderbaren Dimension während in sogar der Dimension

Mehr wirklich, in Anbetracht eines Vektorraums mit einem Skalarprodukt, wird die spezielle orthogonale Lüge-Algebra durch die bivectors auf dem Raum gegeben, die Summen von einfachem bivectors (2 Klingen) sind. Die Ähnlichkeit wird durch die Karte gegeben, wo der covector Doppel-zum Vektoren v ist; in Koordinaten ist das genau das elementare verdrehen - symmetrischer matrices.

Diese Charakterisierung wird in der Interpretation der Locke eines Vektorfeldes (natürlich ein 2-Vektoren-) als eine unendlich kleine Folge oder "Locke", folglich der Name verwendet. Die Generalisierung des Skalarprodukts mit einer nichtdegenerierten Form gibt die unbestimmten orthogonalen Lüge-Algebra nach

Die Darstellungstheorie der orthogonalen Lüge-Algebra schließt sowohl Darstellungen entsprechend geradlinigen Darstellungen der orthogonalen Gruppen als auch Darstellungen entsprechend projektiven Darstellungen der orthogonalen Gruppen (geradlinige Darstellungen von Drehungsgruppen), die so genannte Drehungsdarstellung ein, die in der Physik wichtig sind.

3D-Isometrien, die den Ursprung befestigt verlassen

Isometrien von R, die den Ursprung befestigt verlassen, die Gruppe O (3, R) bildend, können als kategorisiert werden:

• SO (3, R):
• Identität
• Folge über eine Achse durch den Ursprung durch einen 180° nicht gleichen Winkel
• Folge über eine Achse durch den Ursprung durch einen Winkel von 180°
• dasselbe mit der Inversion im Ursprung (x wird zu &minus;x kartografisch dargestellt), d. h. beziehungsweise:
• Inversion im Ursprung
• Folge über eine Achse durch einen Winkel, der 180 ° nicht gleich ist, die mit dem Nachdenken im Flugzeug durch die Ursprung-Senkrechte zur Achse verbunden sind
• Nachdenken in einem Flugzeug durch den Ursprung.

Der 4. und 5. insbesondere und in einem breiteren Sinn der 6. auch, werden unpassende Folgen genannt.

Siehe auch die ähnliche Übersicht einschließlich Übersetzungen.

Gruppe von Conformal

Isometrien zu sein (Entfernungen bewahrend), orthogonal gestaltet auch Konserve-Winkel um, und ist so conformal Karten, obwohl sich nicht alle conformal geradlinig verwandeln, sind orthogonal. In klassischen Begriffen ist das der Unterschied zwischen Kongruenz und Ähnlichkeit, wie veranschaulicht, durch SSS (Seitenseitenseite) Kongruenz von Dreiecken und AAA (Winkelwinkelwinkel) Ähnlichkeit von Dreiecken. Die Gruppe von conformal geradlinigen Karten von R wird CO (n) für die conformal orthogonale Gruppe angezeigt, und besteht aus dem Produkt der orthogonalen Gruppe mit der Gruppe von Ausdehnungen. Wenn n seltsam ist, schneiden sich diese zwei Untergruppen nicht, und sie sind ein direktes Produkt: CO (2k+1) = O (2k+1) × R, während, wenn n sogar ist, sich diese Untergruppen in ±1 schneiden, so ist das nicht ein direktes Produkt, aber ist es ein direktes Produkt mit der Untergruppe der Ausdehnung durch einen positiven Skalar: CO (2k) = O (2k) × R.

Ähnlich kann man CSO (n) definieren; bemerken Sie, dass das immer ist: CSO (n) = CO (n)  GL (n) = SO (n) × R.

Über das Feld der komplexen Zahl

Über Feld C von komplexen Zahlen, O (n, C) und SO (n, C) sind komplizierte Lüge-Gruppen der Dimension n (n &minus; 1)/2 über C (was die Dimension über R bedeutet, ist zweimal das). O (n, C) hat zwei verbundene Bestandteile, und SO (n, C) ist der verbundene Bestandteil, der die Identitätsmatrix enthält. Für n  2 diese Gruppen sind nichtkompakt.

Ebenso im echten Fall SO (n, C) wird nicht einfach verbunden. Für n &gt; 2 ist die grundsätzliche Gruppe SO (n, C) vom Auftrag 2 zyklisch, wohingegen die grundsätzliche Gruppe SO (2, C) zyklisch unendlich ist.

Die komplizierte Lüge-Algebra, die zu O (n, C) und SO (n, C) vereinigt ist, besteht aus dem Verdrehen - symmetrischer Komplex n × n matrices mit der durch den Umschalter gegebenen Lüge-Klammer.

Topologie

Hier zeigt S den n-dimensional Bereich, RP der n-dimensional echte projektive Raum und SU (n) die spezielle einheitliche Gruppe des Grads n an.

Niedrig dimensional

Die niedrigen dimensionalen (echten) orthogonalen Gruppen sind vertraute Räume:

• O (1) = {±1 }\
• SO (1) = {1 }\
• SO (2) ist S
• SO (3) ist RP³
• SO (4) ist bedeckt durch SU (2) × SU (2) = S ³ × S ³ doppelt.

Gruppen von Homotopy

Die homotopy Gruppen der orthogonalen Gruppe sind mit homotopy Gruppen von Bereichen verbunden, und sind im Allgemeinen so hart zu rechnen. Jedoch kann man die homotopy Gruppen der stabilen orthogonalen Gruppe (auch bekannt als der unendlichen orthogonalen Gruppe), definiert als die direkte Grenze der Folge von Einschließungen schätzen:

:

Da die Einschließungen alle, folglich cofibrations geschlossen werden, kann das auch als eine Vereinigung interpretiert werden. Andererseits ist S ein homogener Raum für O (n+1), und man hat das folgende Faser-Bündel:

:

der als "Die orthogonale Gruppe O (n+1) Taten transitiv auf dem Einheitsbereich S verstanden werden kann, und der Ausgleicher eines Punkts (Gedanke als ein Einheitsvektor) die orthogonale Gruppe der rechtwinkligen Ergänzung ist, die eine orthogonale Gruppe eine Dimension tiefer ist. So ist die natürliche Einschließung O (n)  O (n + 1) (n &minus; 1) - verbunden, so stabilisieren sich die homotopy Gruppen, und π (O) = π (O (n)) für n> k + 1: So sind die homotopy Gruppen des stabilen Raums tiefer homotopy Gruppen der nicht stabilen Räume gleich.

Von der Bott Periodizität erhalten wir ΩO  O, deshalb sind die homotopy Gruppen von O periodisch 8-fach, π (O) = π (O) vorhabend, und man muss nur die niedrigeren 8 homotopy Gruppen schätzen:

:

\pi_0 (O) &= \mathbf Z/2 \\

\pi_1 (O) &= \mathbf Z/2 \\

\pi_2 (O) &= 0 \\

\pi_3 (O) &= \mathbf Z \\

\pi_4 (O) &= 0 \\

\pi_5 (O) &= 0 \\

\pi_6 (O) &= 0 \\

\pi_7 (O) &= \mathbf Z

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Beziehung zur KO-Theorie

Über den greifenden Aufbau homotopy Gruppen des stabilen Raums werden O mit stabilen Vektor-Bündeln auf Bereichen (bis zum Isomorphismus), mit einer Dimensionsverschiebung 1 identifiziert: π (O) = π (FILIALE). Wenn man KO = FILIALE × Z = ΩO × Z setzt (um π die Periodizität einbauen zu lassen), herrscht man vor:

:

\pi_0 (KO) &= \mathbf Z \\

\pi_1 (KO) &= \mathbf Z/2 \\

\pi_2 (KO) &= \mathbf Z/2 \\

\pi_3 (KO) &= 0 \\

\pi_4 (KO) &= \mathbf Z \\

\pi_5 (KO) &= 0 \\

\pi_6 (KO) &= 0 \\

\pi_7 (KO) &= 0

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Berechnung und Interpretation von homotopy Gruppen

Niedrig-dimensionale Gruppen

Die ersten paar homotopy Gruppen können berechnet werden, indem sie die konkreten Beschreibungen von niedrig-dimensionalen Gruppen verwenden.

• π (O) = π (O (1)) = Z/2, von orientation-preserving/reversing (überlebt diese Klasse zu O (2) und folglich stabil)
• π (O) = π (SO (3)) = Z/2, der Drehung ist, kommt SO (3) = RP ³ = S ³ / (Z/2) her.
• π (O) = π (SO (3)) = 0, der surjects auf π (SO (4)); dieser Letztere verschwindet so.

Lügen Sie Gruppen

Von allgemeinen Tatsachen über Lüge-Gruppen, π (G) verschwindet immer, und π (G) ist (freier abelian) frei.

Vektor-Bündel

Aus dem Vektor-Bündel-Gesichtspunkt π ist (KO) Vektor-Bündel über S, der zwei Punkte ist. So über jeden Punkt ist das Bündel trivial, und die Nichtbedeutungslosigkeit des Bündels ist der Unterschied zwischen den Dimensionen der Vektorräume über die zwei Punkte, so ist π (KO) = Z Dimension.

Schleife-Räume

Mit konkreten Beschreibungen der Schleife-Räume in der Periodizität von Bott kann man höher homotopy von O als tiefer homotopy von einfachen dolmetschen, um Räume zu analysieren. Mit π haben O und O/U zwei Bestandteile, KO = FILIALE × Z und KSp = BSp × Z hat Z Bestandteile, und der Rest wird verbunden.

Interpretation von homotopy Gruppen

In einer Nussschale:

• π (KO) = Z ist über die Dimension
• π (KO) = Z/2 ist über die Orientierung
• π (KO) = Z/2 ist über die Drehung
• π (KO) = Z ist über die topologische Quant-Feldtheorie.

Lassen Sie F = R, C, H, O, und lassen Sie L das tautologische Linienbündel über die projektive Linie FP und [L] seine Klasse in der K-Theorie sein. Bemerkend, dass sich RP = S, BEDIENUNGSFELD = S, HP = S, OP = S, diese Ertrag-Vektor über die entsprechenden Bereiche und den davonmacht

• π (KO) wird durch [L] erzeugt

π (KO) wird durch [L] erzeugtπ (KO) wird durch [L] erzeugtπ (KO) wird durch [L] erzeugt

Aus dem Gesichtswinkel von der symplectic Geometrie π (KO)  π (KO) = kann Z als der Index von Maslov interpretiert werden, daran als die grundsätzliche Gruppe stabilen Lagrangian Grassmannian π (U/O) als U/O  Ω (KO), so π (U/O) = π (KO) denkend.

Über begrenzte Felder

Orthogonale Gruppen können auch über begrenzte Felder F definiert werden, wo q eine Macht eines ersten p ist. Wenn definiert, über solche Felder kommen sie in zwei tippt sogar Dimension ein: O (2n, q) und O (2n, q); und ein Typ in der sonderbaren Dimension: O (2n+1, q).

Wenn V der Vektorraum ist, über den die orthogonale Gruppe G Taten es als eine direkte orthogonale Summe wie folgt geschrieben werden kann:

:

wo L Hyperbellinien sind und W keine einzigartigen Vektoren enthält. Wenn W = 0, dann ist G plus der Typ. Wenn W =

Im speziellen Fall wo n = 1, ist eine zweiflächige Gruppe der Ordnung.

Wir haben die folgenden Formeln für die Ordnung von O (n, q), wenn die Eigenschaft größer ist als zwei:

:

Wenn &minus;1 ein Quadrat in F ist

:

Wenn &minus;1 ein Nichtquadrat in F ist

:

Der Dickson invariant

Für orthogonale Gruppen ist der Dickson invariant ein Homomorphismus von der orthogonalen Gruppe zur Quotient-Gruppe Z/2Z (positive ganze Zahlen modulo 1), den Wert 0 nehmend, im Falle dass das Element das Produkt einer geraden Zahl des Nachdenkens und des Werts von 1 sonst ist.

Algebraisch kann der Dickson invariant als D (f) = Reihe (I-f) modulo 2 definiert werden, wo ich die Identität bin. Über Felder, die nicht der Eigenschaft 2 sind, ist es zur Determinante gleichwertig: Die Determinante ist &minus;1 zur Macht des Dicksons invariant.

Über Felder der Eigenschaft 2 ist die Determinante immer 1, so gibt der Dickson invariant keine Extrainformation.

Die spezielle orthogonale Gruppe ist der Kern des Dicksons invariant und hat gewöhnlich Index 2 in O (n, F). Wenn die Eigenschaft von F nicht 2 ist, ist der Dickson Invariant 0, wann auch immer die Determinante 1 ist. So, wenn die Eigenschaft nicht 2 ist, SO (n, F) wird allgemein definiert, um die Elemente von O (n, F) mit der Determinante 1 zu sein. Jedes Element in O (n, F) hat Determinante ±1. So in der Eigenschaft 2 ist die Determinante immer 1.

Der Dickson invariant kann auch für Gruppen von Clifford und Nadel-Gruppen auf eine ähnliche Weise (in allen Dimensionen) definiert werden.

Orthogonale Gruppen der Eigenschaft 2

Über Felder der Eigenschaft 2 stellen orthogonale Gruppen häufig spezielle Handlungsweisen aus, von denen einige in dieser Abteilung verzeichnet werden. (Früher waren diese Gruppen als die hypoabelian Gruppen bekannt, aber dieser Begriff wird nicht mehr gebraucht.)

• Jede orthogonale Gruppe über jedes Feld wird durch das Nachdenken abgesehen von einem einzigartigen Beispiel erzeugt, wo der Vektorraum 4 ist, der über das Feld mit 2 Elementen dimensional ist, und der Index von Witt 2 ist. Bemerken Sie, dass ein Nachdenken in charakteristischen zwei eine ein bisschen verschiedene Definition hat. In charakteristischen zwei nimmt das Nachdenken, das zu einem Vektoren u orthogonal ist, einen Vektoren v zu v+B (v, u)/Q (u) · u, wo B die bilineare Form und Q ist, ist die quadratische zur orthogonalen Geometrie vereinigte Form. Vergleichen Sie das mit dem Wohnungsinhaber-Nachdenken der sonderbaren charakteristischen oder charakteristischen Null, die v zu v &minus nimmt; 2 · B (v, u)/Q (u) · u.
• Das Zentrum der orthogonalen Gruppe hat gewöhnlich Auftrag 1 in der Eigenschaft 2, aber nicht 2, seitdem
• In sonderbaren Dimensionen 2n+1 in der Eigenschaft 2 sind orthogonale Gruppen über vollkommene Felder dasselbe als symplectic Gruppen in der Dimension 2n. Tatsächlich wechselt die symmetrische Form in der Eigenschaft 2 ab, und weil die Dimension seltsam ist, muss es einen Kern der Dimension 1 haben, und der Quotient durch diesen Kern ist ein symplectic Raum der Dimension 2n, gehandelt von der orthogonalen Gruppe.
• In sogar Dimensionen in der Eigenschaft 2 ist die orthogonale Gruppe eine Untergruppe der symplectic Gruppe, weil die symmetrische bilineare Form der quadratischen Form auch eine Wechselform ist.

Die spinor Norm

Die spinor Norm ist ein Homomorphismus von einer orthogonalen Gruppe über Feld F zu F/F (die multiplicative Gruppe Feldes F bis zu Quadratelementen), der Nachdenken in einem Vektoren der Norm n zum Image von n in F/F nimmt.

Für die übliche orthogonale Gruppe über den reals ist es trivial, aber es ist häufig über andere Felder, oder für die orthogonale Gruppe einer quadratischen Form über den reals nichttrivial, der bestimmt nicht positiv ist.

Galois cohomology und orthogonale Gruppen

In der Theorie von Galois cohomology von algebraischen Gruppen werden einige weitere Gesichtspunkte eingeführt. Sie haben erklärenden Wert insbesondere in der Beziehung mit der Theorie von quadratischen Formen; aber waren größtenteils Posten hoc, so weit die Entdeckung der Phänomene betroffen wird. Der erste Punkt ist, dass quadratische Formen über ein Feld als ein Galois H identifiziert werden können, oder Formen (torsors) einer orthogonalen Gruppe gedreht haben. Als eine algebraische Gruppe wird eine orthogonale Gruppe im Allgemeinen weder verbunden noch einfach verbunden; der letzte Punkt bringt in den Drehungsphänomenen, während der erstere mit dem discriminant verbunden ist.

Der 'Drehungs'-Name der spinor Norm kann durch eine Verbindung zur Drehungsgruppe (genauer eine Nadel-Gruppe) erklärt werden. Das kann jetzt schnell durch Galois cohomology erklärt werden (der jedoch die Einführung des Begriffes durch den direkteren Gebrauch von Algebra von Clifford vorausdatiert). Die Drehung, die von der orthogonalen Gruppe bedeckt, stellt eine kurze genaue Folge von algebraischen Gruppen zur Verfügung.

:

Hier ist μ die algebraische Gruppe von Quadratwurzeln 1; über ein Feld der Eigenschaft nicht 2 ist es grob dasselbe als eine Zwei-Elemente-Gruppe mit der trivialen Handlung von Galois. Der in Verbindung stehende Homomorphismus von H (O), der einfach die Gruppe O (F) F-Valued-Punkte, zu H (μ) ist, ist im Wesentlichen die spinor Norm, weil H (μ) zur multiplicative Gruppe des Feldes modulo Quadrate isomorph ist.

Es gibt auch den in Verbindung stehenden Homomorphismus von H der orthogonalen Gruppe zum H des Kerns der Drehungsbedeckung. Der cohomology ist non-abelian, so dass das ist, so weit wir mindestens mit den herkömmlichen Definitionen gehen können.

Verwandte Gruppen

Die orthogonalen Gruppen und speziellen orthogonalen Gruppen haben mehrere wichtige Untergruppen, Supergruppen, Quotient-Gruppen und Bedeckung von Gruppen. Diese werden unten verzeichnet.

Die Einschließungen und sind ein Teil einer Folge von 8 Einschließungen, die in einem geometrischen Beweis des Periodizitätslehrsatzes von Bott verwendet sind, und die entsprechenden Quotient-Räume sind symmetrische Räume vom unabhängigen Interesse - zum Beispiel, U (n)/O ist (n) Lagrangian Grassmannian.

Lügen Sie Untergruppen

In der Physik, besonders in den Gebieten von Kaluza-Klein compactification, ist es wichtig, die Untergruppen der orthogonalen Gruppe herauszufinden. Die wichtigen sind:

: - bewahren eine Achse

: - U sind (n) diejenigen, die eine vereinbare komplizierte Struktur bewahren oder eine vereinbare symplectic Struktur - sieh 2 3 Eigentums; SU (n) bewahrt auch eine komplizierte Orientierung.

::

Lügen Sie Supergruppen

Die orthogonale Gruppe O (n) ist auch eine wichtige Untergruppe von verschiedenen Lüge-Gruppen:

:::::::

Getrennte Untergruppen

Da die orthogonale Gruppe kompakt ist, getrennte Untergruppen zu begrenzten Untergruppen gleichwertig sind. Diese Untergruppen sind als Punkt-Gruppe bekannt und können als die Symmetrie-Gruppen von polytopes begriffen werden. Eine sehr wichtige Klasse von Beispielen ist die begrenzten Gruppen von Coxeter, die die Symmetrie-Gruppen von regelmäßigem polytopes einschließen.

Dimension 3 wird besonders studiert - sieh Punkt-Gruppen in drei Dimensionen, polyedrische Gruppen und Liste von kugelförmigen Symmetrie-Gruppen. In 2 Dimensionen sind die begrenzten Gruppen entweder zyklisch oder zweiflächig - sieh Punkt-Gruppen in zwei Dimensionen.

Andere begrenzte Untergruppen schließen ein:

• Versetzung matrices (gruppieren sich Coxeter)
• Unterzeichnete Versetzung matrices (die Gruppe von Coxeter B); auch kommt der Kreuzung der orthogonalen Gruppe mit der ganzen Zahl matrices gleich.

Die Bedeckung und Quotient-Gruppen

Die orthogonale Gruppe wird weder einfach verbunden noch centerless, und hat so sowohl eine Bedeckungsgruppe als auch eine Quotient-Gruppe beziehungsweise:

• Zwei Bedeckungsnadel-Gruppen, Nadel (n)  O (n) und Nadel (n)  O (n),
• Der Quotient projektive orthogonale Gruppe, O (n)  PO (n).

Diese sind alle bedecken 2 zu 1.

Für die spezielle orthogonale Gruppe sind die entsprechenden Gruppen:

• Drehungsgruppe, Drehung (n)  SO (n),
• Projektive spezielle orthogonale Gruppe, SO (n)  PSO (n).

Drehung ist 2 zu 1 Deckel, während in sogar der Dimension PSO (2k) 2 zu 1 Deckel ist, und in der sonderbaren Dimension PSO (2k+1) 1 zu 1 Deckel, d. h., isomorph zu SO (2k+1) ist. Diese Gruppen, Drehung (n), SO (n) und PSO sind (n) Lüge-Gruppenformen der orthogonalen speziellen Kompaktlüge-Algebra, - Drehung, sind die einfach verbundene Form, während PSO die Centerless-Form ist, und im Allgemeinen keiner auch.

In der Dimension 3 und über diesen sind die Deckel und Quotienten, während Dimension 2 und unten etwas degeneriert ist; sieh spezifische Artikel für Details.

Homogener Hauptraum: Sammelleitung von Stiefel

Der homogene Hauptraum für die orthogonale Gruppe O (n) ist die Sammelleitung von Stiefel V(R) von orthonormalen Basen (orthonormale N-Rahmen).

Mit anderen Worten ist der Raum von orthonormalen Basen der orthogonalen Gruppe, aber ohne eine Wahl des Grundpunkts ähnlich: In Anbetracht eines orthogonalen Raums gibt es keine natürliche Wahl der orthonormalen Basis, aber sobald man ein gegeben wird, gibt es eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen Basen und der orthogonalen Gruppe.

Konkret wird eine geradlinige Karte dadurch bestimmt, wohin sie eine Basis sendet: Da eine Invertible-Karte jede Basis in jede andere Basis bringen kann, kann eine orthogonale Karte jede orthogonale Basis in jede andere orthogonale Basis bringen.

Anderer Stiefel vervielfältigt V(R) für k