Der Reihe-Raum und Spaltenraum einer m-by-n Matrix mit echten Einträgen sind der Subraum von R, der durch die Zeilenvektoren und Spaltenvektoren beziehungsweise von der Matrix erzeugt ist. Seine Dimension ist der Reihe der Matrix gleich und ist im grössten Teil der Minute (M, n).

Übersicht

Lassen Sie A eine n durch M Matrix sein. Dann

:1. Reihe (A) = dunkel (rowsp (A)) = dunkel (colsp (A)),

:2. Reihe (A) = Zahl von Türangeln in jeder Staffelstellungsform von A,

:3. Reihe (A) = die maximale Zahl von linear unabhängigen Reihen oder Säulen von A.

Wenn man die Matrix als eine geradlinige Transformation von R bis R betrachtet, dann kommt der Spaltenraum der Matrix dem Image dieser geradlinigen Transformation gleich.

Der Spaltenraum einer Matrix A ist der Satz aller geradlinigen Kombinationen der Säulen in A. Wenn = [a....,], dann colsp (A) = Spanne {a....,}.

Das Konzept des Reihe-Raums verallgemeinert zu matrices zu C, dem Feld von komplexen Zahlen, oder zu jedem Feld.

Intuitiv, in Anbetracht einer Matrix A, wird die Handlung der Matrix auf einem Vektoren x eine geradlinige Kombination der Säulen Eines belasteten durch die Koordinaten von x als Koeffizienten zurückgeben. Eine andere Weise, darauf zu schauen, besteht darin, dass es (1) wird, das erste Projekt x in den Reihe-Raum von A, (2) führen eine invertible Transformation durch, und (3) legen den resultierenden Vektoren y in den Spaltenraum von A. So muss das Ergebnis y =A x im Spaltenraum von A wohnen. Sieh die einzigartige Wertzergliederung für mehr Details auf dieser zweiten Interpretation.

Beispiel

In Anbetracht einer Matrix J:

:

J =

\begin {bmatrix }\

2 & 4 & 1 & 3 & 2 \\

- 1 &-2 & 1 & 0 & 5 \\

1 & 6 & 2 & 2 & 2 \\

3 & 6 & 2 & 5 & 1

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

die Reihen sind

r = (2,4,1,3,2),

r = (1, 2,1,0,5),

r = (1,6,2,2,2),

r = (3,6,2,5,1).

Folglich ist der Reihe-Raum von J der Subraum von R, der durch {r, r, r, r} abgemessen ist.

Da diese vier Zeilenvektoren linear unabhängig sind, ist der Reihe-Raum 4-dimensional. Außerdem in diesem Fall kann es gesehen werden, dass sie alle zum Vektoren n = orthogonal sind (6, 1,4, 4,0), so kann es abgeleitet werden, dass der Reihe-Raum aus allen Vektoren in R besteht, die zu n orthogonal sind.

Siehe auch

• Reihe-Raum
• Spaltenraum
• ungültiger Raum

Links

• Vortrag auf dem Spaltenraum und nullspace durch Gilbert Strang von MIT
• Reihe-Raum und Spaltenraum

Referenzen