In der Differenzialgeometrie stellt der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz, der dadurch bewiesen ist, fest, dass für einen elliptischen Differenzialoperatoren auf einer Kompaktsammelleitung der analytische Index (verbunden mit der Dimension des Raums von Lösungen) dem topologischen Index (definiert in Bezug auf einige topologische Daten) gleich ist. Es schließt viele andere Lehrsätze wie der Lehrsatz von Riemann-Roch als spezielle Fälle ein, und hat Anwendungen in der theoretischen Physik.

Geschichte

Das Index-Problem für elliptische Differenzialoperatoren wurde dadurch aufgeworfen. Er hat den homotopy invariance des Index bemerkt, und hat um eine Formel darum mittels topologischen invariants gebeten. Einige der Motivieren-Beispiele haben den Lehrsatz von Riemann-Roch und seine Generalisation der Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatz und der Unterschrift-Lehrsatz von Hirzebruch eingeschlossen. Hirzebruch und Borel hatten den integrality der  Klasse einer Drehungssammelleitung bewiesen, und Atiyah hat vorgeschlagen, dass dieser integrality erklärt werden konnte, ob es der Index des Maschinenbedieners von Dirac war (der von Atiyah und Sänger 1961 wieder entdeckt wurde).

Der Atiyah-Sänger-Lehrsatz wurde dadurch bekannt gegeben. Der in dieser Ansage kurz gefasste Beweis wurde von ihnen nie veröffentlicht, obwohl es im Buch erscheint. Ihr erster veröffentlichter Beweis hat die cobordism Theorie des ersten Beweises mit der K-Theorie ersetzt, und sie haben das verwendet, um Beweise von verschiedenen Generalisationen in den Zeitungen zu geben.

1965 hat S.P. Novikov seine Ergebnisse auf dem topologischen invariance der vernünftigen Klassen von Pontrjagin auf glatten Sammelleitungen veröffentlicht.

Kirby und die Ergebnisse von Siebenmann, die mit dem Papier von René Thom verbunden sind, haben die Existenz von vernünftigen Klassen von Pontryagin auf topologischen Sammelleitungen bewiesen. Die vernünftigen Klassen von Pontrjagin sind wesentliche Zutaten des Index-Lehrsatzes auf glatten und topologischen Sammelleitungen.

1969 definiert M.F. Atiyah abstrakte elliptische Maschinenbediener auf willkürlichen metrischen Räumen. Abstrakte elliptische Maschinenbediener sind Hauptfiguren in der Theorie von Kasparov und der Nichtersatzdifferenzialgeometrie von Connes geworden.

1971 schlägt I.M. Singer ein umfassendes Programm für zukünftige Erweiterungen der Index-Theorie vor.

1972 veröffentlicht G.G. Kasparov seine Arbeit an der Verwirklichung der K-Homologie durch abstrakte elliptische Maschinenbediener.

hat

einen neuen Beweis des Index-Lehrsatzes mit der Hitzegleichung gegeben, die darin beschrieben ist.

1977 setzt D. Sullivan seinen Lehrsatz auf der Existenz und Einzigartigkeit von Lipschitz und quasiconformal Strukturen auf topologischen Sammelleitungen der Dimension ein, die von 4 verschieden ist.

motiviert durch Ideen von und Alvarez-Gaume, hat einen kurzen Beweis des lokalen Index-Lehrsatzes für Maschinenbediener gegeben, die lokal Maschinenbediener von Dirac sind; das bedeckt viele der nützlichen Fälle.

1983 beweist N. Teleman, dass die analytischen Indizes von Unterschrift-Maschinenbedienern mit Werten in Vektor-Bündeln topologischer invariants sind.

1984 setzt N. Teleman den Index-Lehrsatz auf topologischen Sammelleitungen ein.

1986 veröffentlicht A. Connes sein grundsätzliches Papier auf der Nichtersatzgeometrie.

1989 studieren S.K. Donaldson und D. Sullivan Yang-Mühle-Theorie über quasiconformal Sammelleitungen der Dimension 4. Sie stellen den Unterschrift-Maschinenbediener S vor, der auf Differenzialformen des Grads zwei definiert ist.

1990 beweisen A. Connes und H. Moscovici die lokale Index-Formel im Zusammenhang der Nichtersatzgeometrie.

1994 beweisen A. Connes, D. Sullivan und N. Teleman den Index-Lehrsatz für Unterschrift-Maschinenbediener auf Quasiconformal-Sammelleitungen.

Notation

• X ist eine glatte Kompaktsammelleitung (ohne Grenze).
• E und F sind glatte Vektor-Bündel mehr als X.
• D ist ein elliptischer Differenzialoperator von E bis F. So in lokalen Koordinaten handelt es als ein Differenzialoperator, glatte Abteilungen von E bringend, um Abteilungen von F zu glätten.

Symbol eines Differenzialoperatoren

Wenn D ein Differenzialoperator des Auftrags n in k Variablen ist

:x..., x,

dann ist sein Symbol die Funktion von 2k Variablen

:x..., x, y..., y,

gegeben durch das Fallen aller Begriffe der Ordnung weniger als n und das Ersetzen  / x durch y. So ist das Symbol in den Variablen y, des Grads n homogen. Das Symbol wird gut definiert, wenn auch  / x mit x nicht pendelt, weil wir nur die höchsten Ordnungsbegriffe behalten und Differenzialoperatoren "bis zu Begriffen der niedrigeren Ordnung" pendeln. Der Maschinenbediener wird elliptisch genannt, wenn das Symbol Nichtnull ist, wann auch immer mindestens ein y Nichtnull ist.

Beispiel: Der Laplace Maschinenbediener in k Variablen hat Symbol y +... + y, und ist so elliptisch, weil das Nichtnull ist, wann auch immer etwas y's Nichtnull ist. Der Welle-Maschinenbediener hat Symbol y +... + y, der nicht elliptisch ist, wenn k  2, weil das Symbol für einige Nichtnullwerte des ys verschwindet.

Das Symbol eines Differenzialoperatoren des Auftrags n auf einer glatten Sammelleitung X wird in der ziemlich gleichen Weise definiert, lokale Koordinatenkarten zu verwenden, und ist eine Funktion auf dem Kotangens-Bündel X, homogen des Grads n auf jedem Kotangens-Raum. (Im Allgemeinen verwandeln sich Differenzialoperatoren auf eine ziemlich komplizierte Weise unter der Koordinate verwandelt sich (sieh Strahlbündel); jedoch verwandeln sich die höchsten Ordnungsbegriffe wie Tensor, so bekommen wir gut definierte homogene Funktionen auf den Kotangens-Räumen, die der Wahl von lokalen Karten unabhängig sind.) Mehr allgemein ist das Symbol eines Differenzialoperatoren zwischen zwei Vektor-Bündeln E und F eine Abteilung des Hemmnisses des Bündels

:Hom (E, F)

zum Kotangens-Raum X. Der Differenzialoperator wird elliptisch genannt, wenn das Element von Hom (E, F) invertible für alle Nichtnullkotangens-Vektoren an einem Punkt x X ist.

Ein Schlüsseleigentum von elliptischen Maschinenbedienern besteht darin, dass sie fast invertible sind; das ist nah mit der Tatsache verbunden, dass ihre Symbole fast invertible sind. Genauer hat ein elliptischer Maschinenbediener D auf einer Kompaktsammelleitung einen (nichteinzigartigen) parametrix (oder Pseudogegenteil) D  solch, dass DD   1 und DD  1 beide Kompaktmaschinenbediener sind. Eine wichtige Folge ist, dass der Kern von D endlich-dimensional ist, weil alle eigenspaces von Kompaktmaschinenbedienern, außer dem Kern, endlich-dimensional sind. (Das Pseudogegenteil eines elliptischen Differenzialoperatoren ist fast nie ein Differenzialoperator. Jedoch ist es ein elliptischer Pseudodifferenzialoperator.)

Analytischer Index

Als der elliptische Differenzialoperator hat D ein Pseudogegenteil, es ist ein Maschinenbediener von Fredholm. Jeder Fredholm Maschinenbediener hat einen Index, der als der Unterschied zwischen der (begrenzten) Dimension des Kerns von D (Lösungen von Df = 0) und der (begrenzten) Dimension des cokernel von D (die Einschränkungen auf der rechten Seite einer inhomogeneous Gleichung wie Df = g, oder gleichwertig des Kerns des adjoint Maschinenbedieners) definiert ist. Mit anderen Worten,

:Index (D) = verdunkeln sich Ker (D) verdunkeln sich  Coker (D) = verdunkeln sich Ker (D) verdunkeln  Ker (D).

Das wird manchmal den analytischen Index von D genannt.

Beispiel. Nehmen Sie an, dass die Sammelleitung der Kreis (Gedanke als R/Z) ist, und D der Maschinenbediener d/dx  λ für einen komplizierten unveränderlichen λ ist. (Das ist das einfachste Beispiel eines elliptischen Maschinenbedieners.) Dann ist der Kern der Raum von Vielfachen von exp (λx), wenn λ ein integriertes Vielfache 2πi ist und 0 sonst ist, und der Kern des adjoint ein ähnlicher Raum mit λ ist, der durch seinen verbundenen Komplex ersetzt ist. So hat D Index 0. Dieses Beispiel zeigt, dass der Kern und cokernel von elliptischen Maschinenbedienern diskontinuierlich springen können, weil sich der elliptische Maschinenbediener ändert, also gibt es keine nette Formel für ihre Dimensionen in Bezug auf dauernde topologische Daten. Jedoch sind die Sprünge in den Dimensionen des Kerns und cokernel dasselbe, so ändert sich der Index, der durch den Unterschied ihrer Dimensionen gegeben ist, wirklich unaufhörlich, und kann in Bezug auf topologische Daten durch den Index-Lehrsatz gegeben werden.

Topologischer Index

Der topologische Index eines elliptischen Differenzialoperatoren D zwischen dem glatten Vektoren stopft E, und F auf einer n-dimensional Kompaktsammelleitung X wird durch gegeben

:ch (D) Td (X) [X],

mit anderen Worten der Wert des dimensionalen Spitzenbestandteils der cohomology Mischklasse ch (D) Td (X) auf der grundsätzlichen Homologie-Klasse der Sammelleitung X.

Hier,

• Td (X) ist die Klasse von Todd der Sammelleitung X.
• ch (D) ist φ gleich (ch (d (pE, pF, σ (D))), wo
• φ ist der Isomorphismus von Thom von H (X, Q) zu H (B (X)/S (X), Q)
• B (X) ist das Einheitsball-Bündel des Kotangens-Bündels X, und S (X) ist seine Grenze, und p ist der Vorsprung zu X.
• ch ist der Charakter von Chern von der K-Theorie K (X) bis den vernünftigen Cohomology-Ring H (X, Q).
• d (pE, pF, σ (D)) ist das "Unterschied-Element" von K (B (X)/S (X)) vereinigt zu zwei Vektor-Bündeln pE und pF auf B (X) und einem Isomorphismus σ (D) zwischen ihnen auf dem Subraum S (X).
• σ (D) ist das Symbol von D

Eine andere Methode, den topologischen Index-Gebrauch K Theorie zu definieren. Wenn X eine Kompaktsubsammelleitung einer Sammelleitung Y dann ist, gibt es eine pushforward Operation von K (TX) zu K (TY). Der topologische Index eines Elements von

K wird (TX) definiert, um das Image dieser Operation mit Y ein Euklidischer Raum zu sein, für den K (TY) mit den ganzen Zahlen Z natürlich identifiziert werden kann. Dieser Index ist des Einbettens X im Euklidischen Raum unabhängig.

Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz

Wie gewöhnlich ist D ein elliptischer Differenzialoperator zwischen Vektor-Bündel-E und F über eine Kompaktsammelleitung X.

Das Index-Problem ist der folgende: Schätzen Sie den (analytischen) Index von D das Verwenden nur des Symbols s und der topologischen Daten sind auf die Sammelleitung und das Vektor-Bündel zurückzuführen gewesen. Der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz behebt dieses Problem und Staaten:

:The analytischer Index von D ist seinem topologischen Index gleich.

Trotz seiner furchterregenden Definition ist der topologische Index gewöhnlich aufrichtig, um ausführlich zu bewerten. So macht das es möglich, den analytischen Index zu bewerten. (Der cokernel und Kern eines elliptischen Maschinenbedieners sind im Allgemeinen äußerst hart, individuell zu bewerten; der Index-Lehrsatz zeigt, dass wir gewöhnlich mindestens ihren Unterschied bewerten können.) Können viele wichtige invariants einer Sammelleitung (wie die Unterschrift) als der Index von passenden Differenzialoperatoren gegeben werden, so erlaubt der Index-Lehrsatz uns, diese invariants in Bezug auf topologische Daten zu bewerten.

Obwohl der analytische Index gewöhnlich hart ist, direkt zu bewerten, ist es mindestens offensichtlich eine ganze Zahl. Der topologische Index ist definitionsgemäß eine rationale Zahl, aber es ist gewöhnlich aus der Definition überhaupt nicht offensichtlich, dass es auch integriert ist. So bezieht der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz einige tief integrality Eigenschaften ein, weil er andeutet, dass der topologische Index integriert ist.

Der Index eines elliptischen Differenzialoperatoren verschwindet offensichtlich, wenn der Maschinenbediener selbst adjoint ist. Es verschwindet auch, wenn die Sammelleitung X sonderbare Dimension hat, obwohl es elliptische Pseudodifferenzialmaschinenbediener gibt, deren Index in sonderbaren Dimensionen nicht verschwindet.

Erweiterungen des Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatzes

Index-Lehrsatz von Teleman,

:For jeder abstrakte elliptische Maschinenbediener auf einer geschlossenen, orientierten, topologischen Sammelleitung, der analytische Index kommt dem topologischen Index gleich.

Der Beweis dieses Ergebnisses geht spezifische Rücksichten, einschließlich der Erweiterung der Theorie von Hodge über den kombinatorischen und die Sammelleitungen von Lipschitz, der Erweiterung des Unterschrift-Maschinenbedieners des Atiyah-Sängers zu Sammelleitungen von Lipschitz, der K-Homologie von Kasparov und topologischen cobordism durch.

Dieses Ergebnis zeigt, dass der Index-Lehrsatz nicht bloß eine differentiable Behauptung, aber eher eine topologische Behauptung ist.

Index-Lehrsatz von Connes Donaldson Sullivan Teleman,

:For jede Quasiconformal-Sammelleitung dort besteht ein lokaler Aufbau der Hirzebruch-Thom charakteristischen Klassen.

Diese Theorie basiert auf einem Unterschrift-Maschinenbediener S, definiert auf mittleren Grad-Differenzialformen auf gleich-dimensionalen Quasiconformal-Sammelleitungen (vergleichen sich).

Das Verwenden topologischen cobordism und K-Homologie, die man einer vollen Behauptung eines Index-Lehrsatzes auf Quasiconformal-Sammelleitungen zur Verfügung stellen kann (sieh Seite 678).

Die Arbeit "stellt lokale Aufbauten für charakteristische Klassen zur Verfügung, die auf höheren dimensionalen Verwandten des messbaren Riemanns gestützt sind, der in der Dimension zwei und die Yang-Mühle-Theorie in der Dimension vier kartografisch darstellt."

Diese Ergebnisse setzen bedeutende Fortschritte entlang den Linien des Programms des Sängers Aussichten in der Mathematik ein.

Zur gleichen Zeit stellen sie, auch, einen wirksamen Aufbau der vernünftigen Klassen von Pontrjagin auf topologischen Sammelleitungen zur Verfügung.

Das Papier stellt eine Verbindung zwischen dem ursprünglichen Aufbau von Thom der vernünftigen Klassen von Pontrjagin und Index-Theorie zur Verfügung.

Es ist wichtig zu erwähnen, dass die Index-Formel eine topologische Behauptung ist. Die Hindernis-Theorien wegen Milnor, Kervaire, Kirbys, Siebenmanns, Sullivans, Show von Donaldson, dass nur eine Minderheit von topologischen Sammelleitungen differentiable Strukturen besitzt und sind diese nicht notwendigerweise einzigartig. Das Ergebnis von Sullivan auf Lipschitz und quasiconformal Strukturen zeigt, dass jede topologische Sammelleitung in der Dimension, die von 4 verschieden ist, solch eine Struktur besitzt, die (bis zu isotopy in der Nähe von der Identität) einzigartig ist.

Die quasiconformal Struktur ist die schwächste analytische Struktur auf topologischen Sammelleitungen, für die, wie man bekannt, der Index-Lehrsatz hält.

Beispiele

Eigenschaft von Euler

Nehmen Sie an, dass X eine orientierte Kompaktsammelleitung ist. Wenn wir E nehmen, um die Summe der gleichen Außenmächte des Kotangens-Bündels und F zu sein, um die Summe der sonderbaren Mächte zu sein, definieren Sie D, um d + d, betrachtet als eine Karte von E bis F zu sein. Dann ist der topologische Index von D die Eigenschaft von Euler des Hodges cohomology der M, und der analytische Index ist die Klasse von Euler der Sammelleitung. Die Index-Formel für diesen Maschinenbediener gibt den Chern-Gauss-Bonnet Lehrsatz nach.

Hirzebruch-Riemann-Roch-Lehrsatz

Nehmen Sie X, um eine komplizierte Sammelleitung mit einem komplizierten Vektor-Bündel V zu sein. Wir lassen die Vektor-Bündel E und F die Summen der Bündel von Differenzialformen mit Koeffizienten in V des Typs (0, i) mit mir sogar oder seltsam sein, und wir lassen den Differenzialoperatoren D die Summe sein

:

eingeschränkt auf E. Dann ist der analytische Index von D die holomorphic Eigenschaft von Euler V:

:index (D) = Σ ( 1) verdunkeln H (X, V).

Der topologische Index von D wird durch gegeben

:index (D) = ch (V) Td (X) [X],

das Produkt des Charakters von Chern V und der Klasse von Todd X bewertet auf der grundsätzlichen Klasse X.

Indem

wir die topologischen und analytischen Indizes ausgleichen, bekommen wir den Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatz. Tatsächlich bekommen wir eine Generalisation davon zu allen komplizierten Sammelleitungen: Der Beweis von Hirzebruch hat nur für projektive Komplex-Sammelleitungen X gearbeitet.

Diese Abstammung des Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatzes ist natürlicher, wenn wir den Index-Lehrsatz für elliptische Komplexe aber nicht elliptische Maschinenbediener verwenden.

Wir können den Komplex nehmen, um zu sein

:0VV ΛT (X) V ΛT (X)...

mit dem Differenzial, das dadurch gegeben ist. Dann ist der i'th cohomology Gruppe gerade die zusammenhängende cohomology Gruppe H (X, V), so ist der analytische Index dieses Komplexes die holomorphic Eigenschaft von Euler Σ (1) dunkel (H (X, V)). Wie zuvor ist der topologische Index ch (V) Td (X) [X].

Unterschrift-Lehrsatz von Hirzebruch

Der Hirzebruch Unterschrift-Lehrsatz stellt fest, dass die Unterschrift einer glatten Kompaktsammelleitung X der Dimension 4k durch die L Klasse der Sammelleitung gegeben wird. Das folgt aus dem auf den folgenden Unterschrift-Maschinenbediener angewandten Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz.

Die Bündel E und F werden durch die +1 und 1 eigenspaces des Maschinenbedieners auf dem Bündel von Differenzialformen X gegeben, der K-Formen als folgt

:i

Zeiten der Hodge * Maschinenbediener. Der Maschinenbediener D ist der Hodge Laplacian

:

eingeschränkt auf E, wo die Außenableitung von Cartan ist und sein adjoint ist.

Der analytische Index von D ist die Unterschrift der Sammelleitung X, und sein topologischer Index ist die L Klasse X, so sind diese gleich.

 Klasse und der Lehrsatz von Rochlin

Die  Klasse ist eine rationale Zahl, die für jede Sammelleitung definiert ist, aber ist im Allgemeinen nicht eine ganze Zahl. Borel und Hirzebruch haben gezeigt, dass es für Drehungssammelleitungen und eine gleiche ganze Zahl integriert ist, wenn außerdem die Dimension 4 mod 8 ist. Das kann aus dem Index-Lehrsatz abgeleitet werden, der andeutet, dass die  Klasse für Drehungssammelleitungen der Index eines Maschinenbedieners von Dirac ist. Der Extrafaktor 2 in Dimensionen 4 mod 8 kommen aus der Tatsache, dass in diesem Fall der Kern und cokernel des Maschinenbedieners von Dirac eine quaternionic Struktur so als komplizierte Vektorräume haben, haben sie sogar Dimensionen, so ist der Index gleich.

In der Dimension bezieht 4 dieses Ergebnis den Lehrsatz von Rochlin ein, dass die Unterschrift einer 4 dimensionalen Drehungssammelleitung durch 16 teilbar ist: Das folgt, weil in der Dimension 4 die  Klasse minus eine achte von der Unterschrift ist.

Probetechniken

Pseudodifferenzialoperatoren

Pseudodifferenzialoperatoren können leicht im Fall von unveränderlichen mitwirkenden Maschinenbedienern auf dem Euklidischen Raum erklärt werden. In diesem Fall sind unveränderliche mitwirkende Differenzialoperatoren gerade der Fourier verwandelt sich der Multiplikation durch Polynome, und unveränderliche mitwirkende Pseudodifferenzialoperatoren sind gerade der Fourier verwandelt sich der Multiplikation nach allgemeineren Funktionen.

Viele Beweise des Index-Lehrsatzes verwenden Pseudodifferenzialoperatoren aber nicht Differenzialoperatoren. Der Grund dafür besteht darin, dass zu vielen Zwecken es nicht genug Differenzialoperatoren gibt. Zum Beispiel, ein Pseudogegenteil eines

der elliptische Differenzialoperator der positiven Ordnung ist nicht ein Differenzialoperator, aber ist ein Pseudodifferenzialoperator.

Außerdem gibt es eine direkte Ähnlichkeit zwischen Daten representating Elemente von K (B (X), S (X)) (greifende Funktionen) und Symbole von elliptischen Pseudodifferenzialoperatoren.

Pseudodifferenzialoperatoren haben eine Ordnung, die jede reelle Zahl oder sogar  sein kann, und Symbole haben

(die nicht mehr Polynome auf dem Kotangens-Raum sind), und elliptische Differenzialoperatoren diejenigen deren Symbole sind

sind invertible für genug große Kotangens-Vektoren. Der grösste Teil der Version des Index-Lehrsatzes kann von elliptischen Differenzialoperatoren bis elliptische Pseudodifferenzialoperatoren erweitert werden.

Cobordism

Der anfängliche Beweis hat auf diesem des Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatzes (1954) basiert, und hat cobordism Theorie und Pseudodifferenzialmaschinenbediener eingeschlossen.

Die Idee von diesem ersten Beweis ist grob wie folgt. Betrachten Sie den Ring als erzeugt von Paaren (X, V), wo V ein glattes Vektor-Bündel auf der orientierten glatten Kompaktsammelleitung X, mit Beziehungen ist, die die Summe und das Produkt des Rings auf diesen Generatoren von der zusammenhanglosen Vereinigung und dem Produkt von Sammelleitungen (mit den offensichtlichen Operationen auf den Vektor-Bündeln) gegeben werden, und jede Grenze einer Sammelleitung mit dem Vektor-Bündel 0 ist. Das ist dem cobordism Ring von orientierten Sammelleitungen ähnlich, außer dass die Sammelleitungen auch ein Vektor-Bündel haben. Die topologischen und analytischen Indizes werden beide als Funktionen von diesem Ring bis die ganzen Zahlen wiederinterpretiert. Dann überprüft man, dass diese zwei Funktionen tatsächlich beide Ringhomomorphismus sind. Um zu beweisen, dass sie dasselbe sind, ist es dann nur notwendig zu überprüfen, dass sie dasselbe auf einer Reihe von Generatoren dieses Rings sind. Die cobordism Theorie von Thom gibt eine Reihe von Generatoren; zum Beispiel, komplizierte Vektorräume mit dem trivialen Bündel zusammen mit bestimmten Bündeln sogar dimensionale Bereiche. So kann der Index-Lehrsatz durch die Überprüfung davon auf diesen besonders einfachen Fällen bewiesen werden.

K Theorie

Atiyah und der erste veröffentlichte Beweis des Sängers haben K Theorie aber nicht cobordism verwendet. Wenn ich eine Einschließung von Kompaktsammelleitungen von X bis Y bin, haben sie eine 'pushforward' Operation i auf elliptischen Maschinenbedienern X elliptischen Maschinenbedienern von Y definiert, der den Index bewahrt. Durch die Einnahme Y, um ein Bereich zu sein, der X darin einbettet, reduziert das den Index-Lehrsatz auf den Fall von Bereichen. Wenn Y ein Bereich ist und X ein in Y eingebetteter Punkt ist, dann ist jeder elliptische Maschinenbediener auf Y das Image unter mir von einem elliptischen Maschinenbediener auf dem Punkt. Das reduziert den Index-Lehrsatz auf den Fall eines Punkts, wenn es trivial ist.

Hitzegleichung

hat

einen neuen Beweis des Index-Lehrsatzes mit der Hitzegleichung gegeben, die in beschrieben ist und. beschreiben Sie eine einfachere Hitzegleichungsprobeausnutzungssupersymmetrie.

Wenn D ein Differenzialoperator mit adjoint D, dann DD und DD ist

sind selbst adjoint Maschinenbediener, deren Nichtnull eigenvalues dieselbe Vielfältigkeit haben. Jedoch kann ihre Null eigenspaces verschiedene Vielfältigkeit haben, weil diese Vielfältigkeit die Dimensionen der Kerne von D und D ist. Deshalb wird der Index von D durch gegeben

:Index (D) = verdunkeln sich Ker (D) verdunkeln  Ker (D) = Tr (e)  Tr (e)

für jeden positiven t. Die rechte Seite wird durch die Spur des Unterschieds der Kerne von zwei Hitzemaschinenbedienern gegeben. Diese haben eine asymptotische Vergrößerung für kleinen positiven t, der verwendet werden kann, um die Grenze zu bewerten, weil t zu 0 neigt, einen Beweis des Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatzes gebend.

Die asymptotischen Vergrößerungen für kleinen t erscheinen sehr komplizierte aber invariant Theorie-Shows, dass es gibt

riesige Annullierungen zwischen den Begriffen, der es möglich macht, die Hauptbegriffe ausführlich zu finden. Diese Annullierungen wurden später mit der Supersymmetrie erklärt.

Generalisationen

• Der Atiyah-Sänger-Lehrsatz gilt für elliptische Pseudodifferenzialmaschinenbediener auf die ziemlich gleiche Weise bezüglich elliptischer Differenzialoperatoren. Tatsächlich aus technischen Gründen haben die meisten frühen Beweise mit pseudounterschiedlichen aber nicht Differenzialoperatoren gearbeitet: Ihre Extraflexibilität hat einige Schritte der Beweise leichter gemacht.
• Anstatt mit einem elliptischen Maschinenbediener zwischen zwei Vektor-Bündeln zu arbeiten, ist es manchmal günstiger, mit einem elliptischen Komplex zu arbeiten

:: 0  E  E E ...  E 0

:of-Vektor-Bündel. Der Unterschied ist, dass die Symbole jetzt eine genaue Folge (von der Nullabteilung) bilden. Im Fall, wenn es gerade zwei Nichtnullbündel im Komplex gibt, deutet das an, dass das Symbol ein Isomorphismus von der Nullabteilung ist, so ist ein elliptischer Komplex mit 2 Begriffen im Wesentlichen dasselbe als ein elliptischer Maschinenbediener zwischen zwei Vektor-Bündeln. Umgekehrt kann der Index-Lehrsatz für einen elliptischen Komplex auf den Fall eines elliptischen Maschinenbedieners leicht reduziert werden: Die zwei Vektor-Bündel werden durch die Summen sogar oder sonderbare Begriffe des Komplexes gegeben, und der elliptische Maschinenbediener ist die Summe der Maschinenbediener des elliptischen Komplexes und ihres adjoints, der auf die Summe sogar Bündel eingeschränkt ist.

• Wenn der Sammelleitung erlaubt wird, Grenze zu haben, dann müssen einige Beschränkungen auf das Gebiet des elliptischen Maschinenbedieners gestellt werden, um einen begrenzten Index zu sichern. Diese Bedingungen können lokal sein (wie das Verlangen, dass die Abteilungen im Gebiet an der Grenze verschwinden) oder mehr komplizierte globale Bedingungen (wie das Verlangen, dass die Abteilungen im Gebiet eine Differenzialgleichung lösen). Der lokale Fall wurde von Atiyah und Bott ausgearbeitet, aber sie haben gezeigt, dass viele interessante Maschinenbediener (z.B, der Unterschrift-Maschinenbediener) lokale Grenzbedingungen nicht zulassen. Um diese Maschinenbediener zu behandeln, haben Atiyah, Patodi und Singer globale Grenzbedingungen eingeführt, die zur Befestigung eines Zylinders zur Sammelleitung entlang der Grenze und dann dem Einschränken des Gebiets zu jenen Abteilungen gleichwertig sind, die quadratischer integrable entlang dem Zylinder sind. Dieser Gesichtspunkt wird im Beweis des Atiyah-Patodi-Singer Index-Lehrsatzes angenommen.
• Statt gerade eines elliptischen Maschinenbedieners kann man eine Familie von elliptischen Maschinenbedienern als parametrisiert durch einen Raum Y betrachten. In diesem Fall ist der Index ein Element der K-Theorie von Y, aber nicht eine ganze Zahl. Wenn die Maschinenbediener in der Familie echt sind, dann liegt der Index in der echten K-Theorie von Y. Das gibt ein bisschen Extrainformation, wie die Karte aus der echten K Theorie von Y zum Komplex K Theorie nicht immer injective ist.
• Wenn es eine Gruppenhandlung einer Gruppe G auf der Kompaktsammelleitung X gibt, mit dem elliptischen Maschinenbediener pendelnd, dann ersetzt man gewöhnliche K Theorie durch die equivariant K-Theorie. Außerdem bekommt man Generalisationen von Lefschetz befestigter Punkt-Lehrsatz mit Begriffen, die aus festen Punkt-Subsammelleitungen der Gruppe G kommen.

hat

• gezeigt, wie man den Index-Lehrsatz zu einigen Nichtkompaktsammelleitungen erweitert, die von einer getrennten Gruppe mit dem Kompaktquotienten gefolgt sind. Der Kern des elliptischen Maschinenbedieners ist im allgemeinen Unendliche dimensional in diesem Fall, aber es ist möglich, einen begrenzten Index mit der Dimension eines Moduls über eine Algebra von von Neumann zu bekommen; dieser Index ist im Allgemeinen aber nicht geschätzte ganze Zahl echt. Diese Version wird den L Index-Lehrsatz genannt und wurde verwendet durch, Eigenschaften der getrennten Reihe-Darstellungen von halbeinfachen Lüge-Gruppen wiederabzuleiten.
• Der Index-Lehrsatz von Callias ist ein Index-Lehrsatz für einen Maschinenbediener von Dirac auf einem sonderbar-dimensionalen Nichtkompaktraum. Der Atiyah-Sänger-Index wird nur auf Kompakträumen definiert und verschwindet, wenn ihre Dimension seltsam ist. 1978 hat Constantine Callias, am Vorschlag seines Dr. Berater Roman Jackiw, die axiale Anomalie verwendet, um abzustammen, dieser Index-Lehrsatz auf mit einer Matrix von Hermitian ausgestatteten Räumen hat das Feld von Higgs genannt. Wie präsentiert, in seinen Papierindex-Lehrsätzen auf Offenen Räumen ist der Index des Maschinenbedieners von Dirac ein topologischer invariant, der das Winden des Feldes von Higgs auf einem Bereich an der Unendlichkeit misst. Wenn die Einheitsmatrix in der Richtung auf das Feld von Higgs ist, dann ist der Index zum Integral über proportional (n − 1) - Bereich an der Unendlichkeit. Wenn n sogar ist, ist es immer Null. Die topologische Interpretation dieses invariant und seiner Beziehung zum Index von Hörmander, der von Boris Fedosov, wie verallgemeinert, durch Lars Hörmander vorgeschlagen ist, wurde von Raoul Bott und Robert Thomas Seeley im Artikel Some Remarks über das Papier von Callias in demselben Problem von Kommunikationen in der Mathematischen Physik als der Artikel von Callias veröffentlicht.

Die Vorträge von Atiyah werden in Bänden 3 und 4 seiner gesammelten Arbeiten, nachgedruckt

• Das formuliert das Ergebnis als eine Art Lefschetz befestigter Punkt-Lehrsatz, mit equivariant K Theorie wieder.
• Eine Ansage des Index-Lehrsatzes.
• Das gibt einen Beweis mit K Theorie statt cohomology.
• Dieses Papier zeigt, wie man sich von der K-Theorie-Version bis eine Version mit cohomology umwandelt.
• Dieses Papier studiert Familien von elliptischen Maschinenbedienern, wo der Index jetzt ein Element der K-Theorie des Raums ist, der die Familie parametrisiert.
• . Das studiert Familien von echten (aber nicht Komplex) elliptische Maschinenbediener, wenn man manchmal ein bisschen Extrainformation auspressen kann.
• . Das setzt einen Lehrsatz fest, der die Zahl von Lefschetz eines Endomorphismus eines elliptischen Komplexes berechnet.
• und Diese geben die Beweise, und einige Anwendungen der Ergebnisse haben in der vorherigen Zeitung bekannt gegeben.
• .
• ,
• Das gibt einen elementaren Beweis des Index-Lehrsatzes für den Maschinenbediener von Dirac, mit der Hitzegleichung und Supersymmetrie.
• Bismut beweist den Lehrsatz für elliptische Komplexe mit probabilistic Methoden, anstatt Gleichungsmethoden zu heizen.
• nachgedruckt im Band 1 seiner gesammelten Arbeiten, p. 65-75, internationale Standardbuchnummer 0-387-13619-3. Auf der Seite 120 schlägt Gel'fand vor, dass der Index eines elliptischen Maschinenbedieners expressible in Bezug auf topologische Daten sein sollte.

• Gratis online nähert sich Lehrbuch, das den Atiyah-Sänger-Lehrsatz mit einer Hitzegleichung beweist

• Gratis online Lehrbuch.
• Das beschreibt den ursprünglichen Beweis des Lehrsatzes (Atiyah, und Singer hat nie ihren ursprünglichen Beweis selbst veröffentlicht, aber hat nur Versionen davon verbessert.)

Links

• Rafe Mazzeo: Der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz: Was es ist, und warum Sie sich sorgen sollten. Präsentation von Pdf.
• Raussen, Skau, Interview mit Atiyah, Sänger, Benachrichtigungen AMS 2005.
• R. R. Seeley und anderer, Erinnerungen von den frühen Tagen der Index-Theorie und Pseudodifferenzialoperatoren
• A. J. Wassermann, Vortrag bemerkt auf dem Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz