In der Mathematik, spezifisch in der algebraischen Topologie, ist cohomology ein allgemeiner Begriff für eine Folge von abelian von einem Co-Kettenkomplex definierten Gruppen. D. h. cohomology wird als die abstrakte Studie von cochains, cocycles, und coboundaries definiert. Cohomology kann als eine Methode angesehen werden, algebraischen invariants einem topologischen Raum zuzuteilen, der eine mehr raffinierte algebraische Struktur hat, als Homologie tut. Cohomology entsteht aus dem algebraischen dualization des Aufbaus der Homologie. Auf der weniger abstrakten Sprache, cochains im grundsätzlichen Sinn sollte 'Mengen' den Ketten der Homologie-Theorie zuteilen.

Von seinem Anfang in der Topologie ist diese Idee eine dominierende Methode in der Mathematik der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts geworden; von der anfänglichen Idee von der Homologie als topologisch invariant Beziehung auf Ketten hat sich die Reihe von Anwendungen der Homologie und cohomology Theorien über die Geometrie und abstrakte Algebra ausgebreitet. Die Fachsprache neigt dazu, die Tatsache zu maskieren, dass in vielen Anwendungen cohomology, einer kontravarianten Theorie, natürlicher ist als Homologie. An einem grundlegenden Niveau ist das mit Funktionen und Hemmnissen in geometrischen Situationen verbunden: gegebene Räume X und Y und eine Art Funktion F auf Y, für jeden kartografisch darstellenden ƒ: X  Y Zusammensetzung mit dem ƒ verursachen eine Funktion F o ƒ auf X.

Gruppen von Cohomology haben häufig auch ein natürliches Produkt, das Tasse-Produkt, das ihnen eine Ringstruktur gibt. Wegen dieser Eigenschaft ist cohomology ein stärkerer invariant als Homologie, weil es zwischen bestimmten algebraischen Gegenständen differenzieren kann, dass Homologie nicht kann.

Definition

Für einen topologischen Raum X, die cohomology Gruppe H (X; G), mit coefficents in G, wird definiert, um der Quotient Ker (δ)/Im (δ) an C zu sein (X; G) im cochain Komplex

Elemente in Ker (δ) sind n-cocycles, und Elemente in Im (δ) sind n-coboundaries. Die cohomology Gruppen mit n ≥ 1 werden höher cohomology genannt.

Geschichte

Obwohl cohomology für die moderne algebraische Topologie grundsätzlich ist, wurde seine Wichtigkeit seit ungefähr 40 Jahren nach der Entwicklung der Homologie nicht gesehen. Das Konzept der Doppelzellstruktur, die Henri Poincaré in seinem Beweis seines Dualitätslehrsatzes von Poincaré verwendet hat, hat den Keim der Idee von cohomology enthalten, aber das wurde bis später nicht gesehen.

Es gab verschiedene Vorgänger zu cohomology. Mitte der 1920er Jahre haben J.W. Alexander und Solomon Lefschetz die Kreuzungstheorie von Zyklen auf Sammelleitungen gegründet. Auf einer N-Dimensional-SammelleitungsM werden ein P-Zyklus und ein Q-Zyklus mit der nichtleeren Kreuzung, wenn in der allgemeinen Position, Kreuzung haben (p + q − n) - Zyklus. Das ermöglicht uns, eine Multiplikation von Homologie-Klassen zu definieren

:H (M) × H (M) → H (M).

Alexander hatte vor 1930 einen ersten cochain Begriff definiert, der auf einem p-cochain auf einem Raum X habende Relevanz zur kleinen Nachbarschaft der Diagonale in X gestützt ist.

1931 hat Georges de Rham Homologie und Außendifferenzialformen verbunden, den Lehrsatz von De Rham beweisend. Wie man jetzt versteht, wird dieses Ergebnis in Bezug auf cohomology natürlicher interpretiert.

1934 hat Lev Pontryagin den Dualitätslehrsatz von Pontryagin bewiesen; ein Ergebnis auf topologischen Gruppen. Das (in ziemlich speziellen Fällen) hat eine Interpretation der Dualität von Poincaré und Dualität von Alexander in Bezug auf Gruppencharaktere zur Verfügung gestellt.

Auf einer 1935-Konferenz in Moskau, Andrey Kolmogorov und Alexander sowohl eingeführter cohomology als auch versucht, um eine cohomology Produktstruktur zu bauen.

1936 hat Norman Steenrod eine Zeitung veröffentlicht, Čech cohomology durch dualizing Čech Homologie bauend.

Von 1936 bis 1938 haben Hassler Whitney und Eduard Čech das Tasse-Produkt entwickelt (cohomology in einen abgestuften Ring machend), und Kappe-Produkt, und haben begriffen, dass Dualität von Poincaré in Bezug auf das Kappe-Produkt festgesetzt werden kann. Ihre Theorie wurde noch auf Zellkomplexe beschränkt.

1944 hat Samuel Eilenberg die technischen Beschränkungen überwunden, und hat die moderne Definition der einzigartigen Homologie und cohomology gegeben.

1945 haben Eilenberg und Steenrod die Axiome festgesetzt, die eine Homologie oder cohomology Theorie definieren. In ihrem 1952-Buch, Fundamenten der Algebraischen Topologie, haben sie bewiesen, dass die vorhandene Homologie und cohomology Theorien wirklich tatsächlich ihre Axiome befriedigt haben.

1948 hat Edwin Spanier, auf Arbeit von Alexander und Kolmogorov bauend, Alexander-Spanier cohomology entwickelt.

Theorien von Cohomology

Eilenberg-Steenrod Theorien

Eine cohomology Theorie ist eine Familie der Kontravariante functors von der Kategorie von Paaren von topologischen Räumen und dauernden Funktionen (oder eine Unterkategorie davon wie die Kategorie von CW Komplexen) zur Kategorie von Gruppen von Abelian und Gruppenhomomorphismus, der die Eilenberg-Steenrod Axiome befriedigt.

Einige cohomology Theorien in diesem Sinn sind:

• simplicial cohomology
• einzigartiger cohomology
• de Rham cohomology
• Čech cohomology
• Bündel cohomology.

Verallgemeinerte cohomology Theorien

Wenn ein Axiom (das Dimensionsaxiom) entspannt wird, erhält man die Idee von der verallgemeinerten cohomology Theorie oder außergewöhnlichen cohomology Theorie; das erlaubt Theorien, die auf der K-Theorie und cobordism Theorie gestützt sind. Es gibt andere, aus der stabilen homotopy Theorie kommend. In diesem Zusammenhang wird einzigartige Homologie gewöhnliche Homologie genannt.

Eine verallgemeinerte cohomology Theorie wird durch seine Werte auf einem Punkt "bestimmt", im Sinn dass, wenn man einen Raum durch contractible Räume (homotopy gleichwertig zu einem Punkt), geklebt zusammen entlang contractible Räumen, als in einem simplicial Komplex geben ließ, dann wird der cohomology des Raums durch den cohomology eines Punkts und den combinatorics des Flickens, und effektiv berechenbar bestimmt.

Formell wird das durch den Ausschneidungslehrsatz, oder gleichwertig die Folge von Mayer-Vietoris geschätzt. So ist der cohomology eines Punkts eine grundsätzliche Berechnung für irgendwelchen hat cohomology Theorie verallgemeinert, obwohl der cohomology von besonderen Räumen auch von Interesse ist.

Ein Grund, der cohomology Theorien verallgemeinert hat, ist interessant ist, dass sie wiederpräsentabler functors sind, wenn man in einer größeren Kategorie arbeitet als CW Komplexe; nämlich, die Kategorie von Spektren.

Andere cohomology Theorien

Theorien in einem breiteren Sinn von cohomology schließen ein:

• André-Quillen cohomology
• BRST cohomology
• Bonar-Claven cohomology
• Begrenzter cohomology
• Zusammenhängender cohomology
• Kristallener cohomology
• Zyklischer cohomology
• Deligne cohomology
• Dirac cohomology
• Étale cohomology
• Wohnung cohomology
• Galois cohomology
• Gel'fand-Fuks cohomology
• Gruppe cohomology
• Harrison cohomology
• Hochschild cohomology
• Kreuzung cohomology
• Lügen Sie Algebra cohomology
• Lokaler cohomology
• Motivic cohomology
• Non-abelian cohomology
• Perverser cohomology
• Quant cohomology
• Schur cohomology
• Spencer cohomology
• Topologischer André-Quillen cohomology
• Topologischer zyklischer cohomology
• Topologischer Hochschild cohomology
• Γ cohomology

Siehe auch

• Liste von cohomology Theorien

Referenzen

• Hatcher, A. (2001) "Algebraische Topologie", Cambridge U Presse, England: Cambridge, p. 198, internationale Standardbuchnummer 0 521 79160 X und internationale Standardbuchnummer 0-521-79540-0
• Hazewinkel, M. (Hrsg.). (1988) Enzyklopädie der Mathematik: Eine Aktualisierte und Kommentierte Übersetzung der sowjetischen "Mathematischen Enzyklopädie" Dordrecht, die Niederlande: Reidel, Dordrecht, die Niederlande, p. 68, internationale Standardbuchnummer 1-55608-010-7
• E. Cline, B. Parshall, L. Scott und W. van der Kallen, (1977) "Vernünftiger und allgemeiner cohomology" Inventiones Mathematicae 39 (2): Seiten 143-163
• Asadollahi, Javad und Salarian, Shokrollah (2007) "Theorien von Cohomology für Komplexe" Zeitschrift der Reinen & Angewandten Algebra 210 (3): Seiten 771-787