In der Mathematik sind die Zahlen von Bernoulli B eine Folge von rationalen Zahlen mit tiefen Verbindungen zur Zahlentheorie. Die Werte der ersten paar Zahlen von Bernoulli sind

: B = 1, B = ±1/2, B = 1/6, B = 0, B = −1/30, B = 0, B = 1/42, B = 0, B =

−1/30.

Wenn die Tagung B=−1/2 verwendet wird, ist diese Folge auch bekannt als die ersten Zahlen von Bernoulli (/in OEIS); mit der Tagung B = + ist 1/2 ist als die zweiten Zahlen von Bernoulli (/in OEIS) bekannt. Abgesehen von diesem Unterschied stimmen die ersten und zweiten Zahlen von Bernoulli zu. Da B=0 für den ganzen sonderbaren n> 1, und viele Formeln nur gleichen Index Zahlen von Bernoulli einschließen, schreiben einige Autoren B statt B.

Die Zahlen von Bernoulli erscheinen in den Reihenentwicklungen von Taylor der Tangente und Funktionen des Tangenss hyperbolicus, in Formeln für die Summe von Mächten der ersten positiven ganzen Zahlen, in der Euler-Maclaurin Formel, und in Ausdrücken für bestimmte Werte vom Riemann zeta Funktion.

Die Zahlen von Bernoulli wurden um dieselbe Zeit vom schweizerischen Mathematiker Jakob Bernoulli entdeckt, nach dem sie, und unabhängig vom japanischen Mathematiker Seki Kōwa genannt werden. Die Entdeckung von Seki wurde 1712 in seiner Arbeit Katsuyo Sampo postum veröffentlicht; Bernoulli, auch postum, in seinem Ars Conjectandi von 1713.

Das Zeichen von Ada Lovelace G auf dem analytischen Motor von 1842 beschreibt einen Algorithmus, um Zahlen von Bernoulli mit der Maschine von Babbage zu erzeugen. Infolgedessen haben die Zahlen von Bernoulli die Unterscheidung, das Thema des ersten Computerprogramms zu sein.

Summe von Mächten

Zahlen von Bernoulli zeigen prominent im geschlossenen Form-Ausdruck der Summe der M th Mächte der ersten n positiven ganzen Zahlen. Für die M, n ≥ 0 definieren

:

Dieser Ausdruck kann immer als ein Polynom in n des Grads M + 1 umgeschrieben werden. Die Koeffizienten dieser Polynome sind mit den Zahlen von Bernoulli durch die Formel von Bernoulli verbunden:

:

wo die Tagung B = +1/2 verwendet wird. (zeigt an, dass der binomische Koeffizient, m+1 k wählen.)

Zum Beispiel gibt die Einnahme der M, um 1 zu sein, die dreieckigen Nummern 0, 1, 3, 6....

:

Die Einnahme der M, um 2 zu sein, gibt die quadratischen pyramidalen Nummern 0, 1, 5, 14....

:

Einige Autoren verwenden die Tagung B = −1/2 und setzen die Formel von Bernoulli auf diese Weise fest:

:.

Die Formel von Bernoulli wird manchmal die Formel von Faulhaber nach Johann Faulhaber genannt, der auch bemerkenswerte Weisen gefunden hat, Summe von Mächten zu berechnen.

Die Formel von Faulhaber wurde von V. Guo und J. Zeng zu einem Q-Analogon verallgemeinert.

Definitionen

Viele Charakterisierungen der Zahlen von Bernoulli sind in den letzten 300 Jahren gefunden worden, und jeder konnte verwendet werden, um diese Zahlen einzuführen. Hier werden nur vier der nützlichsten erwähnt:

• eine rekursive Gleichung,
• eine ausführliche Formel,
• eine Erzeugen-Funktion,
• eine algorithmische Beschreibung.

Für den Beweis der Gleichwertigkeit der vier Annäherungen wird der Leser auf mathematische Ausstellungen wie verwiesen oder.

Leider in der Literatur wird die Definition in zwei Varianten gegeben: Ungeachtet der Tatsache dass Bernoulli B = 1/2 definiert hat (jetzt bekannt als die "zweiten Zahlen von Bernoulli"), setzen einige Autoren B = −1/2 ("die ersten Zahlen von Bernoulli"). Um potenzielle Verwirrungen zu verhindern, werden beide Varianten hier nebeneinander beschrieben.

Rekursive Definition

Die rekursive Gleichung wird am besten in einer ein bisschen allgemeineren Form eingeführt

::

Das definiert Polynome B in der Variable n bekannt als die Polynome von Bernoulli. Der recursion kann auch als das Definieren von rationalen Zahlen B (n) für alle ganzen Zahlen n  0, M  0 angesehen werden. Der Ausdruck 0 muss als 1 interpretiert werden. Die ersten und zweiten Zahlen von Bernoulli folgen jetzt durch das Setzen n = 0 (B=−1/2, "die ersten Zahlen von Bernoulli hinauslaufend",) beziehungsweise n = 1 (B = + 1/2, "die zweiten Zahlen von Bernoulli" hinauslaufend).

:

Hier hat der Ausdruck [M = 0] den Wert 1 wenn M = 0 und 0 sonst (Klammer von Iverson). Wann auch immer eine Verwirrung zwischen den zwei Arten von Definitionen entstehen könnte, kann sie durch das Verweisen auf die allgemeinere Definition und durch das Wiedereinführen des gelöschten Parameters vermieden werden: Das Schreiben B (0) im ersten Fall und B (1) im zweiten wird den fraglichen Wert eindeutig anzeigen.

Ausführliche Definition

Das Starten wieder mit einer ein bisschen allgemeineren Formel

:

die Wahlen n = 0 und n = 1 führen

zu:

Es gibt eine weit verbreitete Fehlinformation dass keine einfachen geschlossenen Formeln

für den Bernoulli bestehen Zahlen. Die letzten zwei Gleichungen zeigen, dass das nicht wahr ist. Außerdem, bereits 1893 verzeichnet insgesamt 38 ausführliche Formeln für die Zahlen von Bernoulli,

gewöhnlich eine Verweisung in der älteren Literatur gebend.

Das Erzeugen der Funktion

Die allgemeine Formel für die Erzeugen-Funktion ist

:

Die Wahlen n = 0 und n = 1 führen

zu:

Algorithmische Beschreibung

Obwohl die obengenannte rekursive Formel für die Berechnung verwendet werden kann, ist es

hauptsächlich verwendet, um die Verbindung mit der Summe von Mächten herzustellen, weil es rechenbetont teuer ist. Jedoch bestehen sowohl einfache Algorithmen als auch Algorithmen des hohen Endes, um Zahlen von Bernoulli zu schätzen. Zeigestöcke zu Algorithmen des hohen Endes werden die folgende Abteilung gegeben. Ein einfacher wird im Pseudocode unten gegeben.

Eingang: Ganze Zahl

n≥0.

Produktion: Der Zweite Bernoulli Nummer B.

für die M von 0 durch 1 zu n tun

[M]  1 / (m+1)

für j von der M durch-1 zu 1 tun

[J-1]  j× ([j-1] - [j])

kehren Sie [0] zurück (der B ist)

Effiziente Berechnung von Zahlen von Bernoulli

In einigen Anwendungen ist es nützlich im Stande zu sein, die Zahlen von Bernoulli B durch B modulo p zu schätzen, wo p eine Blüte ist; zum Beispiel, um zu prüfen, ob die Vermutung von Vandiver für p hält, oder sogar gerade zu bestimmen, ob p eine unregelmäßige Blüte ist. Es ist nicht ausführbar, solch eine Berechnung mit den obengenannten rekursiven Formeln auszuführen, da mindestens (ein unveränderliches Vielfache) p arithmetische Operationen erforderlich wäre. Glücklich sind schnellere Methoden entwickelt worden, die nur O verlangen (p (loggen Sie p)) Operationen (sieh große-O Notation).

David Harvey beschreibt einen Algorithmus, um Zahlen von Bernoulli zu schätzen, indem er B modulo p für rechnet

viele kleine Blüte p, und dann B über den chinesischen Rest-Lehrsatz wieder aufbauend. Harvey schreibt, dass die asymptotische Zeitkompliziertheit dieses Algorithmus O (n Klotz (n)) ist und behauptet, dass diese Durchführung bedeutsam schneller ist als auf anderen Methoden gestützte Durchführungen. Die Durchführung von Harvey wird in Sage seit der Version 3.1 eingeschlossen. Das Verwenden dieser Durchführung Harvey hat B für n = 10 geschätzt, der eine neue Aufzeichnung (Oktober 2008) ist. Davor, dass Bernd Kellner B zur vollen Präzision für n = 10 im Dezember 2002 und Oleksandr Pavlyk für n = 10 mit 'Mathematica' im April 2008 geschätzt hat.

:

• Ziffern sollen als die Hochzahl 10 verstanden werden, wenn B (n) als ein echter in der normalisierten wissenschaftlichen Notation geschrieben wird.

Verschiedene Gesichtspunkte und Vereinbarung

Die Zahlen von Bernoulli können aus vier Hauptgesichtspunkten betrachtet werden:

• als eigenständige arithmetische Gegenstände,
• als kombinatorische Gegenstände,
• als Werte einer Folge von bestimmten Polynomen,
• als Werte vom Riemann zeta Funktion.

Jeder dieser Gesichtspunkte führt zu einer Reihe mehr oder weniger verschiedener Vereinbarung.

Zahlen von Bernoulli als eigenständige arithmetische Gegenstände.

Verbundene Folge: 1/6, 1/30, 1/42, 1/30...

Das ist der Gesichtspunkt von Jakob Bernoulli. (Sieh den Ausschnitt von seinem Ars Conjectandi, Erstausgabe, 1713). Die Zahlen von Bernoulli werden verstanden, weil Zahlen, die in der Natur rekursiv sind, erfunden haben, um ein bestimmtes arithmetisches Problem, die Summierung von Mächten zu beheben, die die paradigmatische Anwendung der Zahlen von Bernoulli ist. Das sind auch die Zahlen, die in der Reihenentwicklung von Taylor der Lohe (x) und tanh (x) erscheinen. Es ist irreführend, diesen Gesichtspunkt 'archaic&#39 zu nennen;. zum Beispiel verwendet Jean-Pierre Serre es in seinem hoch mit Jubel begrüßten Buch Ein Kurs in der Arithmetik, die ein Standardlehrbuch ist, das an vielen Universitäten heute verwendet ist.

</li>

Zahlen von Bernoulli als kombinatorische Gegenstände.

Verbundene Folge: 1, +1/2, 1/6, 0...

Diese Ansicht konzentriert sich auf die Verbindung zwischen Zahlen von Stirling und Zahlen von Bernoulli und entsteht natürlich in der Rechnung von begrenzten Unterschieden. In seiner allgemeinsten und kompakten Form wird diese Verbindung durch die Definition der Polynome von Stirling σ (x), Formel (6.52) in der Konkreten Mathematik von Graham, Knuth und Patashnik zusammengefasst.

:

In der Folge B = n! σ (1) für n  0.

</li>

Zahlen von Bernoulli als Werte einer Folge von bestimmten Polynomen.

Das Annehmen der Polynome von Bernoulli, wie bereits eingeführt

,

die Zahlen von Bernoulli können auf zwei verschiedene Weisen definiert werden:

B = B (0). Verbundene Folge: 1, 1/2, 1/6, 0....

B = B (1). Verbundene Folge: 1, +1/2, 1/6, 0....

Die zwei Definitionen unterscheiden sich nur im Zeichen von B. Die Wahl B = B (0) ist die im Handbuch von Mathematischen Funktionen verwendete Tagung.

</li>

Zahlen von Bernoulli als Werte vom Riemann zeta Funktion.

Verbundene Folge: 1, +1/2, 1/6, 0...

Mit dieser Tagung befriedigen die Werte vom Riemann zeta Funktion nζ (1  n) = &minus;B für alle ganzen Zahlen n&ge;0. (Sieh das Papier von S. C. Woon; der Ausdruck nζ (1  n) für n = 0 soll als lim xζ (1  x) verstanden werden.)

</li>

</ul>

Anwendungen der Zahlen von Bernoulli

Asymptotische Analyse

Wohl ist die wichtigste Anwendung der Zahl von Bernoulli in der Mathematik ihr Gebrauch in der Euler-MacLaurin Formel. Das Annehmen, dass ƒ genug häufig differentiable Funktion die Euler-MacLaurin Formel ist, kann als geschrieben werden

:

Diese Formulierung nimmt die Tagung B = &minus;1/2 an. Das Verwenden der Tagung B = 1/2 die Formel wird

:

Hier ƒ = ƒ, der eine allgemein verwendete Notation ist, die die Null-Th-Ableitung von ƒ mit dem ƒ identifiziert. Lassen Sie außerdem ƒ eine Antiableitung von ƒ anzeigen. Durch den Hauptsatz der Rechnung,

:

So kann die letzte Formel weiter zur folgenden kurz gefassten Form der Euler-Maclaurin Formel vereinfacht werden

:

Diese Form ist zum Beispiel die Quelle für die wichtige Euler-MacLaurin Vergrößerung der Zeta-Funktion (B = 1/2)

:

\zeta (s) & = \sum_ {k=0} ^m \frac {B_k} {k!} s^ {\\Überstrich {k-1}} + R (s, m) \\

& = \frac {B_0} {0!} s^ {\\Überstrich {-1}} + \frac {B_1} {1!} s^ {\\Überstrich {0}} + \frac {B_2} {2!} s^ {\\Überstrich {1}} + \cdots+R (s, m) \\

& = \frac {1} {s-1} + \frac {1} {2} + \frac {1} {12} s + \cdots + R (s, m).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Hier zeigt das Steigen factorial Macht an.

Zahlen von Bernoulli werden auch oft in anderen Arten von asymptotischen Vergrößerungen verwendet.

Das folgende Beispiel ist der klassische Poincaré-Typ asymptotische Vergrößerung des

Digamma-Funktion (wieder B = 1/2).

:

Reihe von Taylor der Lohe und tanh

Die Zahlen von Bernoulli erscheinen in der Reihenentwicklung von Taylor der Tangente und der Funktionen des Tangenss hyperbolicus:

:\begin {richten }\aus

\tan x & {} = \sum_ {n=1} ^\\infty \frac {(-1) ^ {n-1} 2^ {2n} (2^ {2n}-1) B_ {2n}} {(2n)! }\\; x^ {2n-1}, \, \, \left |x \right |

Verwenden Sie in der Topologie

Die Kervaire-Milnor Formel für die Ordnung der zyklischen Gruppe von diffeomorphism Klassen von exotischen (4n  1) - Bereiche, die Parallelizable-Sammelleitungen gebunden haben, schließt Zahlen von Bernoulli ein. Lassen Sie ES die Zahl solcher exotischen Bereiche für n  2, dann sein

:

Der Hirzebruch Unterschrift-Lehrsatz für die L Klasse einer glatten orientierten geschlossenen Sammelleitung der Dimension 4n schließt auch Zahlen von Bernoulli ein.

Kombinatorische Definitionen

Die Verbindung der Zahl von Bernoulli zu verschiedenen Arten von kombinatorischen Zahlen basiert auf der klassischen Theorie von begrenzten Unterschieden und auf der kombinatorischen Interpretation der Zahlen von Bernoulli als ein Beispiel eines grundsätzlichen kombinatorischen Grundsatzes, des Einschließungsausschluss-Grundsatzes.

Verbindung mit Zahlen von Worpitzky

Die Definition, um fortzufahren, wurde von Julius Worpitzky 1883 entwickelt. Außer der elementaren Arithmetik fungieren nur die factorial n! und die Potenzfunktion k wird verwendet. Die signless Zahlen von Worpitzky werden als definiert

:

Sie können auch durch die Zahlen von Stirling der zweiten Art ausgedrückt werden

:

Eine Zahl von Bernoulli wird dann als eine Einschließungsausschluss-Summe von Zahlen von Worpitzky eingeführt, die durch die Folge 1, 1/2, 1/3 beschwert sind...

:

Diese Darstellung hat B = 1/2.

</tr>

</tr></tr></tr></tr></tr></tr></tr>

</Tisch> </Zentrum>

Eine zweite Formel, die die Zahlen von Bernoulli durch die Zahlen von Worpitzky vertritt, ist für n  1

:

Verbindung mit Zahlen von Stirling der zweiten Art

Wenn Zahlen von Stirling der zweiten Art dann anzeigt, hat man:

:

wo das Fallen factorial anzeigt.

Wenn man die Polynome von Bernoulli als definiert:

:

wo dafür die Zahlen von Bernoulli sind.

Dann nach dem folgenden Eigentum des binomischen Koeffizienten:

:

man, hat

:

Man hat auch folgend für Polynome von Bernoulli,

:

Der Koeffizient von j in

ist.

Den Koeffizienten von j in den zwei Ausdrücken von Polynomen von Bernoulli vergleichend, hat man:

:

(B=&minus;1/2), der eine ausführliche Formel für Zahlen von Bernoulli ist und verwendet werden kann, um Lehrsatz von Von-Staudt Clausen zu beweisen.

Verbindung mit Zahlen von Stirling der ersten Art

Die zwei Hauptformeln, die die nicht unterzeichneten Zahlen von Stirling der ersten Art zu den Zahlen von Bernoulli (mit B = 1/2) verbinden, sind

:

und die Inversion dieser Summe (für n  0, M  0)

:

Hier ist die Zahl A die vernünftigen Akiyama-Tanigawa Zahlen, von denen erste paar im folgenden Tisch gezeigt werden.

</tr>

</tr>

</tr></tr></tr></tr>

</tr> </Tisch> </Zentrum>

Die Akiyama-Tanigawa Zahlen befriedigen eine einfache Wiederauftreten-Beziehung, die ausgenutzt werden kann, um die Zahlen von Bernoulli wiederholend zu schätzen. Das führt zum Algorithmus

gezeigt in der Abteilung 'algorithmische Beschreibung' oben.

Verbindung mit Zahlen von Eulerian

Es gibt das Formel-Anschließen Zahlen von Eulerian zu Zahlen von Bernoulli:

::

Beide Formeln sind für n  0 gültig, wenn B auf ½ gesetzt wird. Wenn B auf  ½ gesetzt wird, sind sie nur für n  1 und n  2 beziehungsweise gültig.

Verbindung mit der Reihe von Balmer

Eine Verbindung zwischen Zahlen von Bernoulli und Reihe von Balmer konnte darin gesehen werden.

Eine binäre Baumdarstellung

Die Stirling Polynome σ (x) sind mit dem Bernoulli verbunden

Zahlen durch B = n! σ (1).

S. C. Woon hat einen Algorithmus beschrieben, um σ (1) als ein binärer zu schätzen

Baum.

</tr>

</td> </tr> </Tisch> </Zentrum>

Der rekursive Algorithmus von Woon (für n  1) fängt durch das Zuweisen dem Wurzelknoten an

N = [1,2]. In Anbetracht eines Knotens N = [a, a...,

a] des Baums ist das linke Kind des Knotens L (N) = [&minus;a,a + 1, a...,] und das richtige Kind R (N) = [a, 2, a...,].

In Anbetracht eines Knotens N der factorial von N wird als definiert

:

Eingeschränkt auf die Knoten N eines festen Baumniveaus n die Summe von 1/N! ist σ (1), so

:

Zum Beispiel B = 1! (1/2!), B = 2! (&minus;1/3! + 1 / (2! 2!)), B = 3! (1/4! &minus; 1 / (2! 3!) &minus; 1 / (3! 2!) + 1 / (2! 2! 2!)).

Asymptotische Annäherung

Leonhard Euler hat die Zahlen von Bernoulli in Bezug auf den Riemann zeta Funktion als ausgedrückt

:

Es folgt dann aus der Formel von Stirling, dass weil n zur Unendlichkeit, geht

:

Einschließlich mehr Begriffe von den zeta Reihe-Erträgen eine bessere Annäherung, wie Factoring in der asymptotischen Reihe in der Annäherung von Stirling tut.

Integrierte Darstellung und Verlängerung

Der integrierte

:

hat als spezielle Werte b (2n) = B für n &gt; 0. Das Integral könnte als eine Verlängerung der Zahlen von Bernoulli zum komplizierten Flugzeug betrachtet werden, und das wurde tatsächlich von Peter Luschny 2004 angedeutet.

Zum Beispiel b (3) = (3/2) ζ (3) ΠΙ und b (5) =  (15/2) ζ (5) ΠΙ. Hier zeigt ζ (n) den Riemann zeta Funktion und Ι die imaginäre Einheit an. Es ist dass bereits Leonhard Euler bemerkenswert (Oper Omnia, Ser. 1, Vol. 10, p. 351) hat diese Zahlen gedacht und hat berechnet

::

Die Werte von Euler sind nicht unterzeichnet und echt, aber offensichtlich war sein Ziel, eine bedeutungsvolle Weise zu finden, die Zahlen von Bernoulli an den sonderbaren ganzen Zahlen n &gt zu definieren; 1.

Die Beziehung zu den Zahlen von Euler und dem π

Die Euler Zahlen sind eine Folge von mit den Zahlen von Bernoulli vertraut verbundenen ganzen Zahlen. Das Vergleichen des

asymptotische Vergrößerungen des Bernoullis und der Zahlen von Euler zeigen, dass die Zahlen von Euler E im Umfang ungefähr (2/π) (4  2) Zeiten sind, die größer sind als die Zahlen von Bernoulli B. In der Folge:

:

Diese asymptotische Gleichung offenbart, dass π in der gemeinsamen Wurzel sowohl des Bernoullis als auch der Zahlen von Euler liegt. Tatsächlich konnte π von diesen vernünftigen Annäherungen geschätzt werden.

Zahlen von Bernoulli können durch die Zahlen von Euler und umgekehrt ausgedrückt werden. Seitdem für n sonderbaren B = E = 0 (mit der Ausnahme B) genügt es, um den Fall in Betracht zu ziehen, wenn n gleich ist.

::

Diese Umwandlungsformeln drücken eine umgekehrte Beziehung zwischen dem Bernoulli und den Zahlen von Euler aus. Aber wichtiger gibt es eine tiefe arithmetische Wurzel, die für beide Arten von Zahlen üblich ist, die durch eine grundsätzlichere Folge von Zahlen ausgedrückt werden können, die auch nah an π gebunden sind. Diese Zahlen werden für n> 1 als definiert

:

und S = 1 durch die Tagung. Die Magie dieser Zahlen liegt in der Tatsache, dass sie sich erweisen, rationale Zahlen zu sein. Das wurde zuerst von Leonhard Euler in einer merklichen Zeitung 'De summis serierum reciprocarum' (Auf den Summen der Reihe von Gegenstücken) bewiesen und hat Mathematiker seitdem fasziniert. Erste paar dieser Zahlen sind

:

Die Zahlen von Bernoulli und Zahlen von Euler werden am besten als spezielle Ansichten von diesen Zahlen verstanden, haben von der Folge S ausgewählt und haben für den Gebrauch in speziellen Anwendungen geklettert.

::

Der Ausdruck [n sogar] hat den Wert 1, wenn n sogar und 0 sonst (Klammer von Iverson) ist.

Diese Identität zeigt, dass der Quotient von Zahlen von Bernoulli und Euler am Anfang dieser Abteilung gerade der spezielle Fall von R = 2S / S ist, wenn n gleich ist. Die R sind vernünftige Annäherungen an π, und zwei aufeinander folgende Begriffe schließen immer den wahren Wert von π ein. Wenn sie mit n = 1 beginnt, fängt die Folge an

:

Diese rationalen Zahlen erscheinen auch im letzten Paragrafen von Papier von Euler, das oben zitiert ist.

Eine algorithmische Ansicht: das Dreieck von Seidel

Die Folge S hat einen anderen unerwartet noch wichtiges Eigentum: Die Nenner von S teilen den factorial (n  1). Mit anderen Worten: die Zahlen T = S (n  1)! sind ganze Zahlen.

:

So können die obengenannten Darstellungen der Zahlen von Bernoulli und Euler in Bezug auf diese Folge als umgeschrieben werden

::

Diese Identität macht es leicht, die Zahlen von Bernoulli und Euler zu schätzen: Die Zahlen von Euler E werden sofort durch T gegeben, und die Zahlen von Bernoulli werden B bei T durch etwas leichte Verschiebung erhalten, vernünftige Arithmetik vermeidend.

Was bleibt, soll eine günstige Weise finden, die Zahlen T zu schätzen. Jedoch bereits 1877 hat Philipp Ludwig von Seidel einen genialen Algorithmus veröffentlicht, der es äußerst einfach macht, T zu berechnen.

</tr></td> </tr> </Tisch> </Zentrum>

[beginnen Sie] Anfang, indem Sie 1 in der Reihe 0 stellen, und lassen Sie k die Zahl der Reihe anzeigen, die zurzeit wird füllt. Wenn k seltsam ist, dann gestellt füllt die Zahl auf das linke Ende der Reihe k  1 in der ersten Position der Reihe k, und die Reihe vom links nach rechts mit jedem Zugang, der die Summe der Zahl nach links und der Zahl zum oberen ist. Am Ende der Reihe kopieren die letzte Zahl. Wenn k sogar ist, gehen Sie ähnlich in der anderen Richtung weiter. [Ende]

Der Algorithmus von Seidel ist tatsächlich viel allgemeiner (sieh die Ausstellung von Dominique Dumont), und wurde mehrere Male danach wieder entdeckt.

Ähnlich der Annäherung von Seidel haben D. E. Knuth und T. J. Buckholtz eine Wiederauftreten-Gleichung für die Zahlen T gegeben und haben diese Methode empfohlen, um B und E 'auf elektronischen Computern mit nur einfache Operationen auf ganzen Zahlen' zu schätzen.

V. Ich. Arnold hat den Algorithmus von Seidel in und späteren Millar wieder entdeckt, Sloane und Young haben den Algorithmus von Seidel unter dem Namen boustrophedon verbreitet verwandeln sich.

Eine kombinatorische Ansicht: Wechselversetzungen

1880, drei Jahre nach der Veröffentlichung des Algorithmus von Seidel, hat Désiré André ein jetzt klassisches Ergebnis der kombinatorischen Analyse bewiesen &. Das Schauen an den ersten Begriffen der Vergrößerung von Taylor der trigonometrischen Funktionen

Lohe x und sec x André haben eine erschreckende Entdeckung gemacht.

::

Die Koeffizienten sind die Zahlen von Euler des geraden und ungeraden Index beziehungsweise. In der Folge hat die gewöhnliche Vergrößerung der Lohe x + sec x als Koeffizienten die rationalen Zahlen S.

:

André ist dann mittels eines Wiederauftreten-Arguments erfolgreich gewesen, um zu zeigen, dass die Wechselversetzungen der sonderbaren Größe durch die Zahlen von Euler des sonderbaren Index (auch genannt Tangente-Zahlen) und die Wechselversetzungen sogar der Größe durch die Zahlen von Euler sogar des Index (auch genannt schneidende Zahlen) aufgezählt werden.

Zusammenhängende Folgen

Die Arithmetik, die des ersten und der zweiten Zahlen von Bernoulli bösartig ist, ist die mit Bernoullizahlen:

B = 1, B = 0, B = 1/6, B = 0, B =-1/30, / in OEIS. Über die zweite Reihe seines umgekehrten Akiyama-Tanigawa verwandeln sich, sie führen zu Reihe von Balmer/.

Arithmetische Eigenschaften der Zahlen von Bernoulli

Die Zahlen von Bernoulli können in Bezug auf den Riemann zeta Funktion ausgedrückt werden, weil B =  nζ (1  n) für ganze Zahlen n  0 für n = 0 und n = 1 gesorgt hat, wird der Ausdruck  nζ (1  n) als der Begrenzungswert verstanden, und die Tagung B = wird 1/2 verwendet. Das verbindet sie vertraut mit den Werten der Zeta-Funktion an negativen ganzen Zahlen. Als solcher, wie man erwarten konnte, hatten sie und haben wirklich tief arithmetische Eigenschaften. Zum Beispiel verlangt die Agoh-Giuga-Vermutung, dass p eine Primzahl ist, wenn, und nur wenn pB zu 1 modulo p kongruent ist. Teilbarkeitseigenschaften der Zahlen von Bernoulli sind mit den idealen Klassengruppen von cyclotomic Feldern durch einen Lehrsatz von Kummer und seiner Stärkung im Herbrand-Ribet Lehrsatz, und zu Klassifikationsindexen von echten quadratischen Feldern durch Ankeny-Artin-Chowla verbunden.

Die Kummer Lehrsätze

Die Zahlen von Bernoulli sind mit dem Letzten Lehrsatz von Fermat (FLT) durch den Lehrsatz von Kummer verbunden, der sagt:

Primzahlen mit diesem Eigentum werden regelmäßige Blüte genannt. Ein anderes klassisches Ergebnis von Kummer ist die folgenden Kongruenzen.

::

Eine Generalisation dieser Kongruenzen geht durch den Namen der p-adic Kontinuität.

P-Adic-Kontinuität

Wenn b, M und n positive solche ganze Zahlen sind, dass M und n durch p  1 und, dann nicht teilbar

sind:

Seitdem B = — n ζ (1 — n) kann das auch geschrieben werden

:

wo u = 1  M und v = 1  n, so dass u und v nichtpositiv und zu 1 modulo p  1 nicht kongruent sind. Das sagt uns, dass der Riemann zeta Funktion, mit 1  p genommen aus der Produktformel von Euler, in den p-adic Zahlen auf sonderbaren negativen ganzen Zahlen kongruenter modulo p  1 zu einer Einzelheit dauernd ist, und so zu einer dauernden Funktion ζ (s) für alle p-adic ganzen Zahlen, der p-adic zeta Funktion erweitert werden kann.

Die Kongruenzen von Ramanujan

Die folgenden Beziehungen, wegen Ramanujan, stellen eine effizientere Methode zur Verfügung, um Zahlen von Bernoulli zu berechnen:

:

B_ {M 6j}, & \mbox {wenn }\\m\equiv 2\pmod {6}; \\

- B_ {M 6j}, & \mbox {wenn }\\m\equiv 4\pmod {6}.\end {Fälle} </Mathematik>

Lehrsatz von Von Staudt-Clausen

Der Lehrsatz von von Staudt-Clausen wurde von Karl Georg Christian von Staudt und Thomas Clausen unabhängig 1840 gegeben. Der Lehrsatz versichert die Existenz einer Nummer I, die entweder eine ganze Zahl oder, solch dass ist

:

Die Summe ist über die Blüte p, für den p  1 n teilt. Das ist dieselbe Blüte, die im Algorithmus von Clausen verwendet wird. Der Vorschlag hält für alle ganzen Zahlen n> 0 für wahr, nicht nur für sogar n. Ich = 1 (das Verwenden der Tagung B = + 1/2) und für sonderbaren n &gt; 1, ich = (und bin ich immer eine ganze Zahl).

Eine Folge des Lehrsatzes von von Staudt-Clausen ist: Die Nenner der Zahlen von Bernoulli sind quadratfrei und für n  2 teilbare durch 6.

Warum verschwinden die sonderbaren Zahlen von Bernoulli?

Die Summe

:

kann für negative Werte des Index n bewertet werden. Das Tun wird so zeigen, dass es eine sonderbare Funktion für sogar Werte von k ist, der andeutet, dass die Summe nur Begriffe des sonderbaren Index hat. Das und die Formel für die Summe von Bernoulli deuten an, dass B 0 für die M seltsam und größer ist als 1; und dass der Begriff für B durch die Subtraktion annulliert wird. Der Lehrsatz von von Staudt Clausen, der mit der Darstellung von Worpitzky auch verbunden ist, gibt eine kombinatorische Antwort auf diese Frage (gültig für n &gt; 1).

Vom Lehrsatz von von Staudt Clausen ist es das für sonderbaren n &gt bekannt; 1 ist die Nummer 2B eine ganze Zahl. Das scheint trivial, wenn man im Voraus dass in diesem Fall B = 0 weiß. Jedoch, indem man die Darstellung von Worpitzky anwendet, bekommt man

:

\left\{\\beginnen {Matrix} n+1 \\m+1 \end {Matrix-}\\right\}\

0\quad\left (n> 1\\text {ist sonderbarer }\\Recht) </Mathematik>

als eine Summe von ganzen Zahlen, die nicht trivial ist. Hier kommt eine kombinatorische Tatsache, um zu erscheinen, der das Verschwinden der Zahlen von Bernoulli am sonderbaren Index erklärt. Lassen Sie S die Zahl von Surjective-Karten von {1, 2..., n} zu {1, 2..., M} dann sein. Die letzte Gleichung kann nur wenn halten

:

Diese Gleichung kann durch die Induktion bewiesen werden. Die ersten zwei Beispiele dieser Gleichung sind

:n = 4: 2 + 8 = 7 + 3,

:n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40.

So verschwinden die Zahlen von Bernoulli am sonderbaren Index, weil etwas nichtoffensichtliche kombinatorische Identität in die Zahlen von Bernoulli aufgenommen wird.

Eine Neuformulierung der Hypothese von Riemann

Die Verbindung zwischen den Zahlen von Bernoulli und dem Riemann zeta Funktion ist stark genug, um eine abwechselnde Formulierung der Hypothese von Riemann (RH) zur Verfügung zu stellen, die nur die Zahl von Bernoulli verwendet. Tatsächlich hat Marcel Riesz bewiesen, dass der RH zur folgenden Behauptung gleichwertig ist:

Hier R (x) ist die Funktion von Riesz

:

\frac {k^ {\\Überstrich {k}} X^ {k}} {(2\pi) ^ {2k }\\hat (B_ {2k} / (2k) \right) }\verlassen

2\sum_ {k

1\^ {\\infty }\\frac {k^ {\\Überstrich {k}} X^ {k}} {(2\pi) ^ {2k }\\beta_ {2k}}. \</Mathematik>

zeigt das Steigen factorial Macht in der Notation von D. E. Knuth an. Die Zahl β = kommen B/n oft in der Studie des zeta vor fungieren und sind bedeutend, weil β eine p-ganze-Zahl für die Blüte p ist, wo p  1 n nicht teilt. Die β werden geteilte Zahl von Bernoulli genannt.

Geschichte

Frühe Geschichte

Die Zahlen von Bernoulli werden in der frühen Geschichte der Berechnung von Summen von Mächten der ganzen Zahl eingewurzelt, die von Interesse Mathematikern seit der Altertümlichkeit gewesen sind.

Methoden, die Summe der ersten n positiven ganzen Zahlen, die Summe der Quadrate und von den Würfeln der ersten n positiven ganzen Zahlen zu berechnen, waren bekannt, aber es gab keine echten 'Formeln', nur Beschreibungen gegeben völlig in Wörtern. Unter den großen Mathematikern der Altertümlichkeit, die in Betracht gezogen hat, war dieses Problem: Pythagoras (c. 572-497 BCE, Griechenland), Archimedes (287-212 BCE, Italien), Aryabhata (b. 476, Indien), Abu Bakr al-Karaji (d. 1019, Persien) und Abu Ali al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham (965-1039, der Irak).

Während der späten sechzehnten und frühen siebzehnten Jahrhunderte haben Mathematiker bedeutende Fortschritte gemacht. Im Westen Thomas Harriot (1560-1621) Englands, Johann Faulhaber (1580-1635) Deutschlands, Pierre de Fermat (1601-1665) und französischer Mitmathematiker Blaise Pascal (1623-1662) alle gespielten wichtigen Rollen.

Thomas Harriot scheint, erst gewesen zu sein, um Formeln für Summen von Mächten mit der symbolischen Notation abzuleiten und zu schreiben, aber sogar er hat nur bis zur Summe der vierten Mächte gerechnet. Johann Faulhaber hat Formeln für Summen von Mächten bis zur 17. Macht in seiner 1631-Akademie Algebrae viel höher gegeben als irgendjemand vor ihm, aber er hat keine allgemeine Formel gegeben.

Der schweizerische Mathematiker Jakob Bernoulli (1654-1705) war erst, um die Existenz einer einzelnen Folge von Konstanten B, B, B zu begreifen... die eine gleichförmige Formel für alle Summen von Mächten zur Verfügung stellen.

Die Heiterkeit, die Bernoulli erfahren hat, als er auf das Muster gestoßen ist, musste schnell rechnen, und leicht können die Koeffizienten seiner Formel für die Summe der c-th Mächte für jede positive ganze Zahl c aus seiner Anmerkung gesehen werden. Er hat geschrieben:

91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.”</p>

Das Ergebnis von Bernoulli wurde postum in Ars Conjectandi 1713 veröffentlicht. Seki Kōwa hat unabhängig die Zahlen von Bernoulli entdeckt, und sein Ergebnis wurde ein Jahr früher auch postum 1712 veröffentlicht. Jedoch hat Seki seine Methode als eine auf einer Folge von Konstanten gestützte Formel nicht vorgelegt.

Die Formel von Bernoulli für Summen von Mächten ist die nützlichste und generalizable Formulierung bis heute. Die Koeffizienten in der Formel von Bernoulli werden jetzt Zahlen von Bernoulli im Anschluss an einen Vorschlag von Abraham de Moivre genannt.

Die Formel von Bernoulli wird manchmal die Formel von Faulhaber nach Johann Faulhaber genannt, der bemerkenswerte Weisen gefunden hat, Summe von Mächten zu berechnen, aber nie die Formel von Bernoulli festgesetzt hat. Die Formel-Formel von Faulhaber von Bernoulli zu nennen, tut Ungerechtigkeit Bernoulli und verbirgt gleichzeitig das Genie von Faulhaber, weil die Formel von Faulhaber tatsächlich effizienter ist als die Formel von Bernoulli. Gemäß Knuth wurde ein strenger Beweis der Formel von Faulhaber zuerst von Carl Jacobi 1834 veröffentlicht. Die eingehende Studie von Donald E. Knuth der Formel von Faulhaber hört auf:

"Faulhaber hat nie die Zahlen von Bernoulli entdeckt; d. h. er hat nie begriffen, dass eine einzelne Folge von Konstanten B, B, B... eine Uniform </p> zur Verfügung stellen würde

::

Rekonstruktion von 'Summae Potestatum'

Die Zahlen von Bernoulli wurden von Jakob Bernoulli im Buch 1713 veröffentlichter postum Ars Conjectandi eingeführt. Die Hauptformel kann in der zweiten Hälfte des entsprechenden Faksimiles gesehen werden. Die unveränderlichen Koeffizienten haben A, B, C angezeigt, und D durch Bernoulli werden zur Notation kartografisch dargestellt, die jetzt als = B, B = B, C = B, D = B überwiegend ist. Im Ausdruck c · c1 · c2 · c3 die kleinen Punkte werden als sich gruppierende Symbole, nicht verwendet, wie Multiplikation bestätigt. Mit der heutigen Fachsprache fallen diese Ausdrücke factorial Mächte. Die factorial Notation k! als eine Abkürzung für 1 × 2 ×... × k wurde bis 100 Jahre später nicht eingeführt. Das integrierte Symbol ergreift linker Hand Partei geht Gottfried Wilhelm Leibniz 1675 zurück, der es als ein langer Brief S für "summa" (Summe) verwendet hat. (Das Mathematik-Genealogie-Projekt

Shows Leibniz als der Doktorberater von Jakob Bernoulli. Siehe auch den Frühsten Gebrauch von Symbolen der Rechnung.) Der Brief n linker Hand ist Seite nicht ein Index der Summierung, aber schreibt die obere Grenze der Reihe der Summierung vor, die als 1, 2, …, n verstanden werden soll. Wenn er Dinge für positiven c heute zusammenstellt, wird ein Mathematiker wahrscheinlich die Formel von Bernoulli als schreiben:

:

Tatsächlich deutet diese Formel befehlend an, B = ½ zu setzen, wenn sie von der so genannten 'archaischen' Enumeration umschaltet, die nur die gleichen Indizes 2, 4, … zur modernen Form (mehr auf der verschiedenen Vereinbarung im folgenden Paragrafen) verwendet. Am bemerkenswertesten in diesem Zusammenhang ist die Tatsache, dass das Fallen factorial für k = 0 der Wert hat.

So kann die Formel von Bernoulli und geschrieben werden müssen:

:

Wenn B für den Wert eintritt, hat Bernoulli selbst dem Koeffizienten an dieser Position gegeben.

Verallgemeinerte Zahlen von Bernoulli

Die verallgemeinerten Zahlen von Bernoulli sind bestimmte algebraische Zahlen, definiert ähnlich zu den Zahlen von Bernoulli, die mit speziellen Werten von Dirichlet L-Funktionen ebenso verbunden sind, dass Zahlen von Bernoulli mit speziellen Werten vom Riemann zeta Funktion verbunden sind.

Lassen Sie χ ein primitiver Charakter von Dirichlet modulo f sein. Die verallgemeinerten χ beigefügten Zahlen von Bernoulli werden durch definiert

:

Lassen Sie ε  {0, 1} durch χ (&minus;1) = (&minus;1) definiert werden. Dann,

:B

Wenn man

die Beziehung zwischen Zahlen von Bernoulli und Werten vom Riemann zeta Funktion an nichtpositiven ganzen Zahlen verallgemeinert, hat man für alle ganzen Zahlen k  1

:

wo L (s, χ) die Dirichlet L-Funktion von χ ist.

Anhang

Geordnete Identität

Eine Kompaktform der Formel von Bernoulli macht von einem unbekannten Zeichen B Gebrauch:

:

wo das Symbol, das während der binomischen Vergrößerung des Parenthesized-Begriffes erscheint, durch die Zahl von Bernoulli ersetzt werden soll (und). Mehr anregend und mnemonisch kann das als ein bestimmtes Integral geschrieben werden:

:

Viele andere Identität von Bernoulli kann kompakt mit diesem Symbol z.B geschrieben werden.

:

Lassen Sie n nichtnegativ sein und sogar

:</li>

Der n-te cumulant des gleichförmigen Wahrscheinlichkeitsvertriebs auf dem Zwischenraum [1, 0] ist B/n.

</li>

Lassen Sie n¡ = 1/n! und n  1.

Dann ist B die folgende Determinante:

</tr>

</Tisch>

</td>

</tr></tr></tr></tr></tr></tr>

</td>

</td></tr></Tisch></td></tr></Tisch>

So ist die Determinante σ (1), das Polynom von Stirling an x = 1.

</li>

Für sogar numerierte Zahlen von Bernoulli wird B durch den p X p Determinante gegeben:

</tr></Tisch></td></tr></tr></tr></tr></tr></tr> </td> </td></tr></Tisch></td></tr></Tisch></li>

Lassen Sie n  1.

:</li>

Lassen Sie n  1. Dann

:</li>

Lassen Sie n  0. Dann (Leopold Kronecker 1883)

:</li>

Lassen Sie n  1 und M  1. Dann

:

</li>

Lassen Sie n  4 und

:

die harmonische Zahl. Dann

:</li>

Lassen Sie n  4. Yuri Matiyasevich hat (1997) gefunden

:</li>

Lassen Sie n  1

:

\frac {B_ {n-k} (x)} {n-k }\\Recht)-\sum_ {k=0} ^ {n-1 }\\binom {n} {k }\\frac {B_ {n-k} }\

{n-k} B_ {k} (x) =H_ {n-1} B_ {n} (x) </Mathematik>

Das ist eine Identität durch Faber Pandharipande Zagier Gessel. Wählen Sie x = 0 oder x = 1, um eine Zahl-Identität von Bernoulli gemäß Ihrer Lieblingstagung zu bekommen.

</li>

Die folgende Formel ist für n  0 wenn B = B (1) = 1/2, aber nur für n  1 wenn B = B (0) = &minus;1/2. wahr

:</li>

Lassen Sie n  0 und [b] = 1, wenn b, 0 sonst wahr ist.

:und:</li></ul>

Werte der Zahlen von Bernoulli

B = 0 für alle seltsam n anders als 1. Für sogar n ist B negativ, wenn n durch 4 teilbar und sonst positiv ist. Die erste paar Nichtnull Zahlen von Bernoulli ist:

Siehe auch

• Die Kongruenzen von Kummer
• Poly-Bernoulli-Zahl
• Polynome von Bernoulli
• Riemann zeta fungiert
• Hurwitz zeta fungieren
• Zahl von Euler
• Summierung von Euler

Zeichen

• .

.........

• .

................................

Links

• Die ersten 498 Zahlen von Bernoulli aus dem Projekt Gutenberg
• Die ersten 10,000 Zahlen von Bernoulli (Wird Verbindung gebrochen)
• Ein Mehrmodulalgorithmus, um Zahlen von Bernoulli zu schätzen
• Die Zahl-Seite von Bernoulli
• Zahl-Programme von Bernoulli an LiteratePrograms
• Die Berechnung der unregelmäßigen Blüte (P. Luschny)
• Bernoullinumbers im Zusammenhang des Pascal - (Binomische) deutsche Matrixversion
• das Summieren von ähnlichen Mächten im Zusammenhang mit Pascal-/Bernoulli-Matrix

• Einige spezielle Eigenschaften, Summen von Bernoulli-und zusammenhängenden Zahlen
• Zahl-Rechenmaschine von Bernoulli