In der geradlinigen Algebra ist eine mehrgeradlinige Karte eine Funktion von mehreren Variablen, die getrennt in jeder Variable geradlinig ist. Genauer ist eine mehrgeradlinige Karte eine Funktion

:

wo und Vektorräume (oder Module) mit dem folgenden Eigentum sind: Für jeden, wenn alle Variablen, aber dann festgehalten werden, ist eine geradlinige Funktion dessen.

Eine mehrgeradlinige Karte von zwei Variablen ist eine bilineare Karte. Mehr allgemein wird eine mehrgeradlinige Karte von k Variablen eine K-Linear-Karte genannt'. Wenn der codomain einer mehrgeradlinigen Karte das Feld von Skalaren ist, wird es eine mehrgeradlinige Form genannt. Mehrgeradlinige Karten und mehrgeradlinige Formen sind grundsätzliche Gegenstände der Studie in der mehrgeradlinigen Algebra.

Wenn alle Variablen demselben Raum gehören, kann man als symmetrisch, betrachten

antisymmetrische und abwechselnde K-Linear-Karten. Die Letzteren fallen zusammen, wenn der zu Grunde liegende Ring (oder Feld) eine Eigenschaft hat, die von zwei, verschieden

ist

sonst fallen die ehemaligen zwei zusammen.

Beispiele

• Jede bilineare Karte ist eine mehrgeradlinige Karte. Zum Beispiel ist jedes Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine mehrgeradlinige Karte, wie das Kreuzprodukt von Vektoren darin ist.
• Die Determinante einer Matrix ist eine antisymmetrische mehrgeradlinige Funktion der Säulen (oder Reihen) von einer Quadratmatrix.
• Wenn eine C-Funktion ist, dann kann die th Ableitung an jedem Punkt in seinem Gebiet als ein symmetrischer - geradlinige Funktion angesehen werden.
• Der Vorsprung des Tensor zum Vektoren im mehrgeradlinigen Subraum, der erfährt, ist eine mehrgeradlinige Karte ebenso.

Koordinatendarstellung

Lassen Sie:

seien Sie eine mehrgeradlinige Karte zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen, wo Dimension hat, und Dimension hat. Wenn wir eine Basis für jeden und eine Basis dafür wählen (das Verwenden kühn für Vektoren), dann können wir eine Sammlung von Skalaren durch definieren

:

Dann bestimmen die Skalare völlig die mehrgeradlinige Funktion. Insbesondere wenn

:

für, dann

:

Beziehung zu Tensor-Produkten

Es gibt eine natürliche isomorphe Ähnlichkeit zwischen mehrgeradlinigen Karten

:

und geradlinige Karten

:

wo das Tensor-Produkt dessen anzeigt. Die Beziehung zwischen den Funktionen und wird durch die Formel gegeben

:

Mehrgeradlinige Funktionen auf n×n matrices

Man kann mehrgeradlinige Funktionen, auf n×n Matrix über einen Ersatzring K mit der Identität, als eine Funktion der Reihen (oder gleichwertig die Säulen) von der Matrix denken. Lassen Sie A solch eine Matrix und, 1  ich  n sein, die Reihen von A sein. Dann kann die mehrgeradlinige Funktion D als geschrieben werden

:

Zufriedenheit

:

Wenn wir lassen, vertreten die jth Reihe der Identitätsmatrix wir können jede Reihe als die Summe ausdrücken

:

Mit der Mehrlinearität von D schreiben wir D (A) als um

:

D (A) = D\left (\sum_ {j=1} ^n (1, j) \hat {e} _ {j}, a_2, \ldots, a_n\right)

= \sum_ {j=1} ^n (1, j) D (\hat {e} _ {j}, a_2, \ldots, a_n)

</Mathematik>Wenn wir

diesen Ersatz für jeden fortsetzen, kommen wir, für 1  i  n

:

D (A) = \sum_ {1\le k_i\le n} (1, k_ {1}) (2, k_ {2}) \dots (n, k_ {n}) D (\hat {e} _ {k_ {1}}, \dots, \hat {e} _ {k_ {n}})

</Mathematik>

:where, seitdem in unserem Fall

::

\sum_ {1\le k_i \le n} = \sum_ {1\le k_1 \le n} \ldots \sum_ {1\le k_i \le n} \ldots \sum_ {1\le k_n \le n} \,

</Mathematik>

:as eine Reihe von verschachtelten Summierungen.

Deshalb D wird (A) dadurch einzigartig bestimmt, wie darauf funktioniert.

Beispiel

Im Fall von 2&times;2 matrices bekommen wir

:

D (A) = A_ {1,1} A_ {2,1} D (\hat {e} _1, \hat {e} _1) + A_ {1,1} A_ {2,2} D (\hat {e} _1, \hat {e} _2) + A_ {1,2} A_ {2,1} D (\hat {e} _2, \hat {e} _1) + A_ {1,2} A_ {2,2} D (\hat {e} _2, \hat {e} _2) \,

</Mathematik>

Wo und. Wenn wir D einschränken, um eine Wechselfunktion dann zu sein, und. Das Lassen bekommen wir die bestimmende Funktion auf 2&times;2 matrices:

:

D (A) = A_ {1,1} A_ {2,2} - A_ {1,2} A_ {2,1} \,

</Mathematik>

Eigenschaften

Eine mehrgeradlinige Karte hat einen Wert der Null, wann auch immer eines seiner Argumente Null ist.

Für n> 1 ist die einzige N-Linear-Karte, die auch eine geradlinige Karte ist, die Nullfunktion, sieh bilinear

map#Examples.

Siehe auch

• Algebraische Form
• Mehrgeradlinige Form
• Homogenes Polynom
• Homogene Funktion
• Tensor
• Mehrgeradliniger Vorsprung