In der Mathematik ist eine einfache Gruppe eine nichttriviale Gruppe, deren nur normale Untergruppen die triviale Gruppe und die Gruppe selbst sind. Eine Gruppe, die nicht einfach ist, kann in zwei kleinere Gruppen, eine normale Untergruppe und die Quotient-Gruppe gebrochen werden, und der Prozess kann wiederholt werden. Wenn die Gruppe begrenzt ist, dann schließlich kommt man in einzigartig entschlossene einfache Gruppen durch den Lehrsatz des Jordans-Hölder an.

Beispiele

Zum Beispiel ist die zyklische Gruppe G = Z/3Z von Kongruenz-Klassen modulo 3 (sieh Modularithmetik), einfach. Wenn H eine Untergruppe dieser Gruppe ist, muss seine Ordnung (die Zahl der Elemente) ein Teiler der Ordnung von G sein, der 3 ist. Seitdem 3 ist erst, seine einzigen Teiler sind 1 und 3, so ist entweder H G, oder H ist die triviale Gruppe. Andererseits ist die Gruppe G = Z/12Z nicht einfach. Der Satz H Kongruenz-Klassen 0, 4, und 8 modulo 12 ist eine Untergruppe des Auftrags 3, und es ist eine normale Untergruppe, da jede Untergruppe einer abelian Gruppe normal ist. Ähnlich ist die zusätzliche Gruppe Z ganzer Zahlen nicht einfach; der Satz von sogar ganzen Zahlen ist eine nichttriviale richtige normale Untergruppe.

Man kann dieselbe Art des Denkens für jede abelian Gruppe verwenden, um abzuleiten, dass die einzigen einfachen abelian Gruppen die zyklischen Gruppen der Hauptordnung sind. Die Klassifikation von nonabelian einfachen Gruppen ist viel weniger trivial. Die kleinste nonabelian einfache Gruppe ist die Wechselgruppe des Auftrags 60, und jede einfache Gruppe des Auftrags 60 ist zu A isomorph. Die zweite kleinste nonabelian einfache Gruppe ist die projektive spezielle geradlinige Gruppe PSL (2,7) des Auftrags 168, und es ist möglich zu beweisen, dass jede einfache Gruppe des Auftrags 168 zu PSL (2,7) isomorph ist.

Unendliche einfache Gruppen

Einfache Gruppen der unendlichen Ordnung bestehen auch: Einfache Lüge-Gruppen und die unendlichen Gruppen von Thompson T und V sind Beispiele von diesen.

Klassifikation

Begrenzte einfache Gruppen

Die begrenzten einfachen Gruppen sind wichtig, weil im gewissen Sinne sie die "grundlegenden Bausteine" aller begrenzten Gruppen sind, die der Weise etwas ähnlich sind, wie Primzahlen die grundlegenden Bausteine der ganzen Zahlen sind. Das wird durch den Lehrsatz des Jordans-Hölder ausgedrückt, der feststellt, dass irgendwelche zwei Zusammensetzungsreihen einer gegebenen Gruppe dieselbe Länge und dieselben Faktoren, bis zur Versetzung und dem Isomorphismus haben. In einer riesigen zusammenarbeitenden Anstrengung wurde die Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen vollbracht 1983 von Daniel Gorenstein erklärt, obwohl einige Probleme aufgetaucht sind (spezifisch in der Klassifikation von quasidünnen Gruppen, die 2004 zugestopft wurden).

Kurz werden begrenzte einfache Gruppen als das Lügen in einer von 18 Familien klassifiziert, oder eine von 26 Ausnahmen zu sein:

• Z - zyklische Gruppe der Hauptordnung
• A - Wechselgruppe für

Wie man

• betrachten kann, ist:The, der Wechselgruppen als Gruppen des Typs Lie über das Feld mit einem Element betrachtet werden können, das diese Familie mit dem folgenden, und so alle Familien von non-abelian begrenzten einfachen Gruppen vereinigt, vom Typ Lie.
• Eine von 16 Familien von Gruppen des Typs Lie
• :The-Meise-Gruppe wird allgemein von dieser Form betrachtet, obwohl genau genommen es nicht vom Typ Lie, aber eher Index 2 in einer Gruppe des Typs Lie ist.
• Eine von 26 Ausnahmen, den sporadischen Gruppen, von denen 20 Untergruppen oder Subquotienten der Ungeheuer-Gruppe sind und die "Glückliche Familie" genannt werden, während die restlichen 6 Parias genannt werden.

Struktur

Der berühmte Lehrsatz von Feit und Thompson stellt fest, dass jede Gruppe der sonderbaren Ordnung lösbar ist. Deshalb hat jede begrenzte einfache Gruppe sogar Ordnung, wenn es von der Hauptordnung nicht zyklisch ist.

Die Schreier-Vermutung behauptet, dass die Gruppe von Außenautomorphisms jeder begrenzten einfachen Gruppe lösbar ist. Das kann verwendend des Klassifikationslehrsatzes bewiesen werden.

Geschichte

Es gibt zwei Fäden in der Geschichte von einfachen Gruppen - die Entdeckung und der Aufbau von spezifischen einfachen Gruppen und Familien, die von der Arbeit von Galois in den 1820er Jahren zum Aufbau des Ungeheuers 1981 stattgefunden haben; und Beweis, dass diese Liste abgeschlossen war, der im 19. Jahrhundert begonnen hat, hat am bedeutsamsten 1955 bis 1983 stattgefunden (als Sieg am Anfang erklärt wurde), aber wurde nur allgemein abgestimmt, um 2004 beendet zu werden., arbeiten Sie an der Besserung der Beweise, und das Verstehen geht weiter; sieh für die Geschichte des 19. Jahrhunderts von einfachen Gruppen.

Aufbau

Einfache Gruppen sind mindestens studiert worden seit der frühen Theorie von Galois, wo Évariste Galois begriffen hat, dass die Tatsache, dass die Wechselgruppen auf fünf oder mehr Punkten einfach (und folglich nicht lösbar waren), den er 1831 bewiesen hat, war der Grund, dass man den quintic in Radikalen nicht lösen konnte. Galois hat auch die projektive spezielle geradlinige Gruppe eines Flugzeugs über ein begrenztes Hauptfeld, PSL (2, p) gebaut und hat bemerkt, dass sie für p nicht 2 oder 3 einfach waren. Das wird in seinem letzten Brief an Chevalier enthalten, und ist das folgende Beispiel von begrenzten einfachen Gruppen.

Die folgenden Entdeckungen waren durch Camille Jordan 1870. Jordan hatte 4 Familien von einfachen Matrixgruppen über begrenzte Felder der Hauptordnung gefunden, die jetzt als die klassischen Gruppen bekannt sind.

In ungefähr derselben Zeit wurde es gezeigt, dass eine Familie von fünf Gruppen, genannt die Gruppen von Mathieu und zuerst beschrieben von Émile Léonard Mathieu 1861 und 1873, auch einfach war. Seitdem diese fünf Gruppen durch Methoden gebaut wurden, die ungeheuer viele Möglichkeiten nicht nachgegeben haben, wurden sie "sporadisch" von William Burnside in seinem 1897-Lehrbuch genannt.

Die Ergebnisse des späteren Jordans auf klassischen Gruppen wurden zu willkürlichen begrenzten Feldern von Leonard Dickson im Anschluss an die Klassifikation von komplizierten einfachen Lüge-Algebra von Wilhelm Killing verallgemeinert. Dickson hat auch Ausnahme-Gruppen des Typs G und E ebenso, aber nicht Typen F, E, oder E gebaut. In den 1950er Jahren wurde die Arbeit an Gruppen des Typs Lie mit Claude Chevalley fortgesetzt, der einen gleichförmigen Aufbau der klassischen Gruppen und der Gruppen des außergewöhnlichen Typs in einer 1955-Zeitung gibt. Das hat bestimmte bekannte Gruppen weggelassen (die projektiven einheitlichen Gruppen), die durch "die Drehung" des Aufbaus von Chevalley erhalten wurden. Die restlichen Gruppen des Typs Lie wurden von Steinberg, Meisen und Herzig erzeugt (wer D (q) und E (q) erzeugt hat), und durch Suzuki und Ree (die Gruppen von Suzuki-Ree).

Wie man

glaubte, waren diese Gruppen (die Gruppen des Typs Lie, zusammen mit den zyklischen Gruppen, Wechselgruppen und den fünf außergewöhnlichen Gruppen von Mathieu) eine ganze Liste, aber nach einer Pause fast eines Jahrhunderts seit der Arbeit von Mathieu 1964 wurde die erste Gruppe von Janko entdeckt, und die restlichen 20 sporadischen Gruppen wurden entdeckt oder haben in 1965-1975 gemutmaßt, 1981 kulminierend, als Robert Griess bekannt gegeben hat, dass er die "Ungeheuer-Gruppe von Bernd Fischer" gebaut hatte. Das Ungeheuer ist die größte sporadische einfache Gruppe, die Ordnung 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000 hat. Das Ungeheuer hat eine treue 196,883-dimensionale Darstellung in der 196,884-dimensionalen Algebra von Griess, bedeutend, dass jedes Element des Ungeheuers als 196,883 durch 196,883 Matrix ausgedrückt werden kann.

Klassifikation

Die volle Klassifikation wird allgemein als das Starten mit dem Lehrsatz von Feit-Thompson von 1962/63 akzeptiert, bis 1983 größtenteils anhaltend, aber nur 2004 beendet zu werden.

Bald nach dem Aufbau des Ungeheuers 1981 wurde ein Beweis, sich auf mehr als 10,000 Seiten belaufend, geliefert, dass Gruppentheoretiker alle begrenzten einfachen Gruppen, mit dem Sieg erklärt 1983 von Daniel Gorenstein erfolgreich verzeichnet hatten. Das war vorzeitig - einige Lücken wurden später namentlich in der Klassifikation von quasidünnen Gruppen entdeckt, die schließlich 2004 durch eine 1,300-Seite-Klassifikation von quasidünnen Gruppen ersetzt wurden, die jetzt allgemein als abgeschlossen akzeptiert wird.

Tests auf die Nichteinfachheit

Der Test von Sylows: Lassen Sie n eine positive ganze Zahl sein, die nicht erst ist, und lassen Sie p ein Hauptteiler von n sein. Wenn 1 der einzige Teiler von n ist, der 1 modulo p gleich ist, dann dort besteht keine einfache Gruppe des Auftrags n.

Beweis: Wenn n eine Hauptmacht ist, dann hat eine Gruppe des Auftrags n ein nichttriviales Zentrum und ist deshalb nicht einfach. Wenn n nicht eine Hauptmacht ist, dann ist jede Untergruppe von Sylow, und durch den Dritten Lehrsatz von Sylow richtig, wir wissen, dass die Zahl von P-Untergruppen von Sylow einer Gruppe des Auftrags n 1 modulo p gleich ist und n teilt. Seitdem 1 ist das einzige solche Zahl, die P-Untergruppe von Sylow ist einzigartig, und deshalb ist es normal. Da es eine richtige, Nichtidentitätsuntergruppe ist, ist die Gruppe nicht einfach.

Burnside: Eine non-Abelian begrenzte einfache Gruppe hat durch mindestens drei verschiedene Blüte teilbare Ordnung. Das folgt aus dem p-q Lehrsatz von Burnside.

Siehe auch

• Fast einfache Gruppe
• Charakteristisch einfache Gruppe
• Quasieinfache Gruppe
• Halbeinfache Gruppe
• Liste von begrenzten einfachen Gruppen

Zeichen

Lehrbücher

Papiere

Außenverbindungen