In der Mathematik, besonders in der Ordnungstheorie, ist eine Verbindung von Galois eine besondere Ähnlichkeit (normalerweise) zwischen zwei teilweise bestellten Sätzen (posets). Derselbe Begriff kann auch auf vorbestellten Sätzen oder Klassen definiert werden; dieser Artikel präsentiert den allgemeinen Fall von posets. Verbindungen von Galois verallgemeinern die Ähnlichkeit zwischen Untergruppen und in der Theorie von Galois untersuchten Teilfeldern. Sie finden Anwendungen in verschiedenen mathematischen Theorien.

Eine Galois Verbindung ist im Vergleich zu einem Ordnungsisomorphismus zwischen dem beteiligten posets ziemlich schwach, aber jede Verbindung von Galois verursacht einen Isomorphismus von bestimmtem sub-posets, wie unten erklärt wird.

Wie Theorie von Galois werden Verbindungen von Galois nach dem französischen Mathematiker Évariste Galois genannt.

Definition

(Eintönigkeit) Verbindung von Galois

Lassen Sie (A, ) und (B, ) zwei teilweise bestellte Sätze sein. Eine Galois Verbindung zwischen diesen posets besteht aus zwei Eintönigkeitsfunktionen: F: Ein  B und G: B  A, solch, dass für alle in A und b in B wir haben

:F (a)  b wenn und nur wenn ein  G (b).

In dieser Situation wird F tiefer adjoint von G genannt, und G wird den oberen adjoint von F genannt. Mnemonisch bezieht sich die obere/niedrigere Fachsprache darauf, wo die Funktionsanwendung hinsichtlich  erscheint; der Begriff adjoint verbindet die Verbindungen von Galois zum Begriff mit demselben Namen aus der Kategorie-Theorie, wie besprochen, weiter unten. Andere Fachsprache gestoßen hier ist coadjoint (resp. adjoint) für tiefer (resp. ober) adjoint.

Ein wesentliches Eigentum einer Verbindung von Galois besteht darin, dass ein oberer/niedrigerer adjoint einer Verbindung von Galois einzigartig den anderen bestimmt. Folglich ist es natürlich, ein Paar von Symbolen zu verwenden, um ober adjoints anzuzeigen und zu senken. Leider ist keine Standardnotation erschienen. Hier zeigen wir ein Paar von entsprechendem niedrigerem und oberem adjoints durch f und f beziehungsweise an. Bemerken Sie, dass das Sternchen über dem Funktionssymbol gelegt wird, um tiefer adjoint, im Gegensatz zur Notation von Erné und al anzuzeigen.

Tönen Sie Galois Verbindung antiab

Die obengenannte Definition ist in vielen Anwendungen heute üblich, und im Gitter und der Bereichstheorie prominent. Jedoch ist der ursprüngliche Begriff in der Theorie von Galois ein bisschen verschieden. In dieser alternativen Definition ist eine Verbindung von Galois ein Paar des Antitons, d. h. Ordnungsumkehren, Funktionen F: Ein  B und G: B  zwischen zwei posets A und B, solch dass

:b  F (a) wenn und nur wenn ein  G (b).

Die Symmetrie von F und G in dieser Version löscht die Unterscheidung zwischen oberem und niedrigerem, und die zwei Funktionen werden dann Widersprüchlichkeit aber nicht adjoints genannt.

Beide Begriffe einer Verbindung von Galois sind noch in der Literatur da. In diesem Artikel der Begriff (Eintönigkeit) wird sich Verbindung von Galois immer auf eine Verbindung von Galois im ehemaligen Sinn beziehen. Wenn die alternative Definition, der Begriff-Antiton angewandt wird, werden Verbindung von Galois oder Ordnung umkehrende Verbindung von Galois verwendet.

Die Implikationen von beiden Definitionen sind tatsächlich sehr ähnlich, seit einem Antiton ist die Verbindung von Galois zwischen A und B gerade eine Eintönigkeit Verbindung von Galois zwischen A und der Ordnung DoppelB von B. Ganzer unter Behauptungen auf Verbindungen von Galois kann so in Behauptungen über den Antiton Verbindungen von Galois leicht umgewandelt werden.

Bemerken Sie jedoch, dass für einen Antiton Verbindung von Galois es Sinn nicht hat, über den niedrigeren und oberen adjoint zu sprechen: Die Situation ist völlig symmetrisch.

Gleichwertige Definitionen

Es kann gezeigt werden (sieh Blyth oder Erné für Beweise), dass eine Funktion f ein niedrigerer (resp. ober) adjoint ist, wenn, und nur wenn f ein residuated ist, der (resp. kartografisch darstellt restlich kartografisch darzustellen). Deshalb ist der Begriff von residuated kartografisch darstellend und Eintönigkeit Verbindung von Galois im Wesentlichen dasselbe.

Beispiele

Theorie von Galois

Das Motivieren-Beispiel kommt aus der Theorie von Galois: Nehmen Sie an, dass L/K eine Felderweiterung ist. Lassen Sie A der Satz aller Teilfelder von L sein, die K enthalten, der durch die Einschließung bestellt ist. Wenn E solch ein Teilfeld ist, schreiben Sie Mädchen (L/E) für die Gruppe des Feldes automorphisms L, die E befestigt halten. Lassen Sie B der Satz von Untergruppen des Mädchens (L/K), bestellt durch die Einschließung sein. Für solch eine Untergruppe G, definieren Sie Üble Lage (G), um das Feld zu sein, das aus allen Elementen von L besteht, die befestigt durch alle Elemente von G gehalten werden. Dann bilden die Karten E Mädchen (L/E) und Üble G-Lage (G) einen Antiton Verbindung von Galois.

Algebraische Topologie: Bedeckung von Räumen

Analog, in Anbetracht eines Pfad-verbundenen topologischen Raums, gibt es eine Verbindung von Galois zwischen Untergruppen der grundsätzlichen Gruppe und Pfad-verbundenen Bedeckungsräumen dessen. Insbesondere wenn X halblokal einfach, dann für jede Untergruppe dessen verbunden wird, gibt es einen Bedeckungsraum mit als seine grundsätzliche Gruppe.

Ordnungstheorie

Macht ist untergegangen

Für eine Ordnung theoretisches Beispiel, lassen Sie U ein Satz sein, und A und B beide der Macht-Satz von U sein zu lassen, der durch die Einschließung bestellt ist. Picken Sie eine feste Teilmenge L U auf. Dann sind die Karten F und G, wo F (M) die Kreuzung von L und M und G (N) ist, die Vereinigung von N und (U \L), bilden Sie eine Eintönigkeit Verbindung von Galois mit F tiefer adjoint zu sein. Eine ähnliche Verbindung von Galois, deren tiefer adjoint durch das Entsprechen (infimum) Operation gegeben wird, kann in jeder Algebra von Heyting gefunden werden. Besonders ist es in jeder Algebra von Boolean da, wo die zwei mappings durch F (x) = (ein x) und G (y) = (y a) = (ein y) beschrieben werden können. In logischen Begriffen: "Implikation" ist der obere adjoint "der Verbindung".

Gitter

Weiter werden interessante Beispiele für Verbindungen von Galois im Artikel über Vollständigkeitseigenschaften beschrieben. Es stellt sich heraus, dass die üblichen Funktionen und adjoints in zwei passenden Verbindungen von Galois sind. Dasselbe ist für die mappings von einem Element-Satz wahr, die auf meist und größte Elemente einer teilweisen Ordnung hinweisen. Gehend weiter können sogar ganze Gitter durch die Existenz von passendem adjoints charakterisiert werden. Diese Rücksichten geben einen Eindruck der Allgegenwart von Verbindungen von Galois in der Ordnungstheorie.

Binäre Beziehungen und Vernichter

Denken Sie X, und Y sind willkürliche Sätze und eine binäre Beziehung R mehr als X, und Y wird gegeben. Für jede Teilmenge M X definieren wir. Ähnlich für jede Teilmenge N Y, definieren Sie G (N) = {xX: xRn für den ganzen nN}. Dann geben F und G einen Antiton Verbindung von Galois zwischen den Macht-Sätzen X und Y, beide nach, die durch die Einschließung befohlen sind.

Ein wichtiger spezieller Fall in der geradlinigen Algebra ist der Vernichter, der die orthogonale Ergänzung als ein spezieller Fall einschließt.

Algebraische Geometrie

In der algebraischen Geometrie ist die Beziehung zwischen Sätzen von Polynomen und ihren Nullsätzen ein Antiton Verbindung von Galois.

Befestigen Sie eine natürliche Zahl n und Feld K und lassen Sie A der Satz aller Teilmengen des polynomischen Rings K [X..., X] bestellt durch die Einschließung sein, und B der Satz aller Teilmengen von durch die Einschließung bestelltem K sein zu lassen. Wenn S eine Reihe von Polynomen ist, definieren Sie die Vielfalt von Nullen als

:

der Satz von allgemeinen Nullen der Polynome in S.

Wenn U eine Teilmenge von K ist, definieren Sie das radikale Ideal von Polynomen, die auf U als verschwinden

:

Dann V und bilde ich einen Antiton Verbindung von Galois.

Der Verschluss auf dem polynomischen Ring ist "radikales durch S erzeugtes Ideal", während der Verschluss darauf der Verschluss in der Topologie von Zariski ist.

Mehr allgemein, in Anbetracht eines Rings R (nicht notwendigerweise ein polynomischer Ring),

es gibt einen Antiton Verbindung von Galois zwischen radikalen Idealen im Ring und den Subvarianten der affine Vielfalt (nämlich Spekulation des Rings).

Mehr allgemein gibt es einen Antiton Verbindung von Galois zwischen Idealen im Ring und den Teilschemas der entsprechenden affine Vielfalt.

Transitive Gruppenhandlungen

Lassen Sie G transitiv auf X handeln und einen Punkt aufzupicken. Denken Sie

:

der Satz von Blöcken, die x enthalten. Lassen Sie weiter bestehen aus den Untergruppen von G, der den Ausgleicher von x enthält.

Dann, die Ähnlichkeit, die B zu sendet

:

ist eine Eintönigkeit, isomorphe Verbindung von Galois. Als eine Folgeerscheinung kann man feststellen, dass doppelt transitive Handlungen keine Blöcke außer den trivialen (Singleton oder ganze X) haben: Das folgt aus den Ausgleichern, die in G in diesem Fall maximal sind. Sieh doppelt transitive Gruppe für die weitere Diskussion.

Image und umgekehrtes Image

Wenn f: X  Y sind eine Funktion, dann für jede Teilmenge M X wir können das Image F (M) = f (M) = {f (m) bilden: Mm} und für jede Teilmenge N Y können wir das umgekehrte Image G (N) = f (N) = {xX bilden: f (x) N\. Dann bilden F und G eine Eintönigkeit Verbindung von Galois zwischen dem Macht-Satz X und dem Macht-Satz von Y, beide, die durch die Einschließung befohlen sind. Es gibt ein weiteres adjoint Paar in dieser Situation: Für eine Teilmenge M X, definieren Sie H (M) = {yY: f ({y}) M\. Dann bilden G und H eine Eintönigkeit Verbindung von Galois zwischen dem Macht-Satz von Y und dem Macht-Satz X. In der ersten Verbindung von Galois ist G der obere adjoint, während in der zweiten Verbindung von Galois es als tiefer adjoint dient.

Im Fall von einer Quotient-Karte zwischen algebraischen Gegenständen (wie Gruppen) wird diese Verbindung den Gitter-Lehrsatz genannt: Untergruppen von G stehen zu Untergruppen von G/N, in Verbindung

und durch den Verschluss-Maschinenbediener auf Untergruppen von G wird gegeben.

Spanne und Verschluss

Picken Sie einen mathematischen Gegenstand X auf, der einen zu Grunde liegenden Satz, zum Beispiel eine Gruppe, Ring, Vektorraum usw. hat. Für jede Teilmenge S X, lassen Sie F (S) der kleinste Subgegenstand X sein, der S, d. h. die Untergruppe, den Subring oder den durch S erzeugten Subraum enthält. Für jeden Subgegenstand U X, lassen Sie G (U) der zu Grunde liegende Satz von U. sein (Wir können sogar X nehmen, um ein topologischer Raum zu sein, F (S) der Verschluss von S zu lassen, und als "Subgegenstände X" die geschlossenen Teilmengen X. zu nehmen), Jetzt F, und G bilden eine Eintönigkeit Verbindung von Galois, wenn die Sätze und Subgegenstände durch die Einschließung bestellt werden. F ist tiefer adjoint.

Syntax und Semantik

Eine sehr allgemeine Anmerkung von William Lawvere ist, dass Syntax und Semantik adjoint sind: Nehmen Sie, um der Satz aller logischen Theorien (axiomatizations) und B der Macht-Satz des Satzes aller mathematischen Strukturen zu sein. Für eine Theorie TA, lassen Sie F (T) der Satz aller Strukturen sein, die die Axiome T befriedigen; für eine Reihe mathematischer Strukturen S, lassen Sie G (S) der minimale axiomatization von S sein. Wir können dann sagen, dass F (T) eine Teilmenge von S ist, wenn, und nur wenn T logisch G (S) einbezieht: Die "Semantik functor" F und die "Syntax functor" G bilden eine Eintönigkeit Verbindung von Galois mit der Semantik, die tiefer adjoint ist.

Eigenschaften

Im folgenden denken wir (Eintönigkeit) Verbindung von Galois f = (f, f), wo f: Ein  B ist tiefer adjoint, wie eingeführt, oben. Einige nützliche und aufschlussreiche grundlegende Eigenschaften können sofort erhalten werden. Durch das Definieren-Eigentum von Verbindungen von Galois f (x) ist  f (x) zu x  f (f (x)) für den ganzen x in A gleichwertig. Durch ein ähnliches Denken (oder gerade indem man sich an den Dualitätsgrundsatz wegen der Ordnungstheorie wendet), findet man dass f (f (y))  y für den ganzen y in B. Diese Eigenschaften können durch den Ausspruch beschrieben werden, dass die Zusammensetzung ff deflationistisch ist, während ff inflationistisch (oder umfassend ist).

Jetzt, wenn man irgendwelche Elemente x und y Eines solchen denkt, dass x  y dann man klar die obengenannten Ergebnisse verwenden kann, um zu erhalten

x  f (f (y)). Das grundlegende Eigentum von Verbindungen von Galois anwendend, kann man jetzt dass f (x)  f (y) beschließen. Aber das zeigt gerade, dass f die Ordnung irgendwelcher zwei Elemente bewahrt, d. h. es Eintönigkeit ist. Wieder, ein ähnlicher vernünftig urteilender Ertrag-Monomuskeltonus von f. So muss Monomuskeltonus nicht in die Definition ausführlich eingeschlossen werden. Jedoch hilft das Erwähnen des Monomuskeltonus, Verwirrung über die zwei alternativen Begriffe von Verbindungen von Galois zu vermeiden.

Ein anderes grundlegendes Eigentum von Verbindungen von Galois ist die Tatsache dass f (f (f (x))) = f (x), für den ganzen x in B. Klar finden wir das

:f (f (f (x)))  f (x)

weil ff, wie gezeigt, oben inflationistisch ist. Andererseits, da ff deflationistisch ist, während f monotonisch ist, findet man das

:f (f (f (x)))  f (x).

Das zeigt die gewünschte Gleichheit. Außerdem können wir dieses Eigentum verwenden, das zu schließen

:f (f (f (f (x)))) = f (f (x)),

d. h. ff ist idempotent.

Verschluss-Maschinenbediener und Verbindungen von Galois

Die obengenannten Ergebnisse können wie folgt zusammengefasst werden: Für eine Verbindung von Galois ist die Zusammensetzung ff Eintönigkeit (die Zusammensetzung von Eintönigkeitsfunktionen seiend), inflationistisch, und idempotent. Das stellt fest, dass ff tatsächlich ein Verschluss-Maschinenbediener auf A ist. Doppel-ist ff Eintönigkeit, deflationistisch, und idempotent. Solche mappings werden manchmal Kernmaschinenbediener genannt. Im Zusammenhang von Rahmen und Schauplätzen wird die Zusammensetzung ff den durch f veranlassten Kern genannt. Kerne veranlassen Rahmenhomomorphismus; eine Teilmenge eines Schauplatzes wird einen Subschauplatz genannt, wenn sie durch einen Kern gegeben wird.

Umgekehrt führt jeder Verschluss-Maschinenbediener c auf einem poset A Anstieg zur Verbindung von Galois mit tiefer adjoint f, gerade der corestriction von c zum Image von c (d. h. als ein surjective seiend, das Verschluss-System c (A) kartografisch darzustellen). Der obere adjoint f wird dann durch die Einschließung von c (A) in A gegeben, der jedes geschlossene Element zu sich, betrachtet als ein Element von A kartografisch darstellt. Auf diese Weise, wie man sieht, sind Verschluss-Maschinenbediener und Verbindungen von Galois nah, jeder verbunden, ein Beispiel vom anderen angebend. Ähnliche Beschlüsse halten für Kernmaschinenbediener für wahr.

Die obengenannten Rücksichten zeigen auch, dass geschlossene Elemente (werden Elemente x mit f (f (x)) = x) zu Elementen innerhalb der Reihe des Kernmaschinenbedieners f f, und umgekehrt kartografisch dargestellt.

Existenz und Einzigartigkeit von Verbindungen von Galois

Ein anderes wichtiges Eigentum von Verbindungen von Galois besteht darin, dass tiefer adjoints alle suprema bewahren, die innerhalb ihres Gebiets bestehen. Doppel-bewahren obere adjoints den ganzen vorhandenen infima. Von diesen Eigenschaften kann man auch Monomuskeltonus des adjoints sofort schließen. Der adjoint functor Lehrsatz für die Ordnungstheorie stellt fest, dass die gegenteilige Implikation auch in bestimmten Fällen gültig ist: Besonders ist irgendwelcher, zwischen ganzen Gittern kartografisch darstellend, der den ganzen suprema bewahrt, tiefer adjoint einer Verbindung von Galois.

In dieser Situation ist eine wichtige Eigenschaft von Verbindungen von Galois, dass ein adjoint einzigartig den anderen bestimmt. Folglich kann man die obengenannte Behauptung stärken, um zu versichern, dass jede Supremum bewahrende Karte zwischen ganzen Gittern tiefer adjoint einer einzigartigen Verbindung von Galois ist. Das Haupteigentum, diese Einzigartigkeit abzuleiten, ist der folgende: Für jeden x in A, f (x) ist kleinstes Element y solchen B dass x  f (y). Doppel-, für jeden y in B, f ist (y) der größte x in Einem solchem dass f (x)  y. Die Existenz einer bestimmten Verbindung von Galois bezieht jetzt die Existenz des jeweiligen meist oder größte Elemente ganz gleich ein, ob die entsprechenden posets irgendwelche Vollständigkeitseigenschaften befriedigen. So, wenn ein adjoint einer Verbindung von Galois gegeben wird, der andere kann über dieses Eigentum definiert werden. Andererseits ist etwas willkürliche Funktion f ein niedrigerer adjoint, wenn, und nur wenn jeder Satz der Form {x in | f (x)  b}, b in B, ein größtes Element enthält. Wieder kann das dualized für den oberen adjoint sein.

Verbindungen von Galois als morphisms

Verbindungen von Galois stellen auch eine interessante Klasse von mappings zwischen posets zur Verfügung, der verwendet werden kann, um Kategorien von posets zu erhalten. Besonders ist es möglich, Verbindungen von Galois zusammenzusetzen: Gegebene Verbindungen von Galois (f, f) zwischen posets A und B und (g, g) zwischen B und C, der Zusammensetzung (gf, fg) sind auch eine Verbindung von Galois. Wenn man Kategorien von ganzen Gittern denkt, kann das zum Betrachten gerade mappings vereinfacht werden, den ganzen suprema (oder, wechselweise, infima) bewahrend. Ganze Gitter zu ihrem duals, dieser kartografisch darstellend Kategorien zeigen Auto-Dualität, die ziemlich grundsätzlich sind, um andere Dualitätslehrsätze zu erhalten. Speziellere Arten von morphisms, die adjoint mappings in der anderen Richtung veranlassen, sind der morphisms, der gewöhnlich für Rahmen (oder Schauplätze) betrachtet ist.

Verbindung zur Kategorie-Theorie

Jeder teilweise bestellte Satz kann als eine Kategorie auf eine natürliche Weise angesehen werden: Es gibt einen einzigartigen morphism von x bis y wenn und nur wenn x  y. Eine Galois Verbindung ist dann nichts als ein Paar von adjoint functors zwischen zwei Kategorien, die aus teilweise bestellten Sätzen entstehen. In diesem Zusammenhang ist der obere adjoint das Recht adjoint, während tiefer adjoint der linke adjoint ist. Jedoch wird diese Fachsprache für Verbindungen von Galois vermieden, seitdem es eine Zeit gab, als posets in Kategorien auf eine Doppelmode, d. h. mit Pfeilen umgestaltet wurden, die in der entgegengesetzten Richtung hinweisen. Das hat zu einer Ergänzungsnotation bezüglich linken und richtigen adjoints geführt, der heute zweideutig ist.

Anwendungen in der Theorie der Programmierung

Verbindungen von Galois können verwendet werden, um viele Formen der Abstraktion in der Theorie der abstrakten Interpretation von Programmiersprachen zu beschreiben.

Zeichen

Die folgenden Bücher und Überblick-Artikel schließen Verbindungen von Galois mit der Eintönigkeitsdefinition ein:

• Brian A. Davey und Hilary A. Priestley: Einführung in Gitter und Ordnung, Universität von Cambridge Presse, 2002.
• Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Dauernde Gitter und Gebiete, Universität von Cambridge Presse, 2003.
• Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, Eine Zündvorrichtung auf Verbindungen von Galois, in: Verhandlungen der 1991-Sommerkonferenz für die Allgemeine Topologie und Anwendungen zu Ehren von Mary Ellen Rudin und Ihrer Arbeit, Annalen der New Yorker Akademie von Wissenschaften, Vol. 704, 1993, Seiten 103-125. (Frei verfügbar online in der verschiedenen Datei formatiert PS.GZ PS, es präsentiert viele Beispiele und Ergebnisse, sowie bemerkt auf den verschiedenen Notationen und Definitionen, die in diesem Gebiet entstanden sind.)

Einige Veröffentlichungen mit dem Original (Antiton) Definition:

• Thomas Scott Blyth, Gitter und Bestellte Algebraische Strukturen, Springer, 2005, internationale Standardbuchnummer 1-85233-905-5.
• Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski und Hiroakira Ono (2007), Residuated Gitter. Ein Algebraischer Anblick an der Substrukturlogik, Elsevier, internationalen Standardbuchnummer 978-0-444-52141-5.
• Garrett Birkhoff: Gitter-Theorie, Amer. Mathematik. Soc. Coll. Bar. Vol 25, 1940
• Erz von Øystein: Galois Verbindungen, Transaktionen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft 55 (1944), Seiten 493-513