Ein Bézier Dreieck ist ein spezieller Typ der Oberfläche von Bézier, die durch (geradliniger, quadratischer, kubischer oder höherer Grad) Interpolation von Kontrollpunkten geschaffen wird.

Bézier Kubikdreieck

Ein Kubikdreieck von Bézier ist eine Oberfläche mit der Gleichung

:

p (s, t, u) = (\alpha s +\beta t +\gamma u) ^3

=&

\beta^3\t^3 + 3\\alpha\beta^2\st^2 + 3\\beta^2\gamma\t^2 u + \\

&3 \\alpha^2\beta\s^2 t + 6\\alpha\beta\gamma\stu + 3\\beta\gamma^2\tu^2 + \\

&\\alpha^3\s^3 + 3\\alpha^2\gamma\s^2 u + 3\\alpha\gamma^2\su^2 + \gamma^3\u^3

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo α, β, γ, αβ, αβ, βγ, βγ, αγ, αγ und αβγ die Kontrollpunkte des Dreiecks und s, t, u (mit 0  s, t, u  1 und s+t+u=1) die Barycentric-Koordinaten innerhalb des Dreiecks sind.

Die Ecken des Dreiecks sind die Punkte α, β und γ. Die Ränder des Dreiecks sind selbst Kurven von Bézier mit denselben Kontrollpunkten wie das Dreieck von Bézier.

Durch das Entfernen des γu-Begriffes biegt regelmäßiger Bézier Ergebnisse. Außerdem, während nicht sehr nützlich für die Anzeige auf einem physischen Computerschirm, durch das Hinzufügen von Extrabegriffen, einem Tetraeder von Bézier oder Ergebnissen von Bézier polytope.

Wegen der Natur der Gleichung wird das komplette Dreieck innerhalb des Volumens enthalten, das durch die Kontrollpunkte umgeben ist, und affine Transformationen der Kontrollpunkte werden das ganze Dreieck ebenso richtig umgestalten.

Das Halbieren eines Kubikdreiecks von Bézier

Ein Vorteil von Dreiecken von Bézier in der Computergrafik ist, sie sind glatt, und können durch regelmäßige Dreiecke, durch das rekursive Teilen des Dreiecks von Bézier in zwei getrennte Dreiecke von Bézier leicht näher gekommen werden, bis sie genug klein, mit nur die Hinzufügung und Abteilung durch zwei betrachtet werden, jede Schwimmpunkt-Arithmetik überhaupt nicht verlangend.

Der folgende schätzt die neuen Kontrollpunkte für die Hälfte des vollen Dreiecks von Bézier mit der Ecke α, eine Ecke halbwegs entlang der Kurve von Bézier zwischen α und β und der dritten Ecke γ.

:

\begin {pmatrix }\

\boldsymbol {\\alpha^3} '\\

\boldsymbol {\\alpha^2\beta} '\\

\boldsymbol {\\alpha\beta^2} '\\

\boldsymbol {\\beta^3} '\\

\boldsymbol {\\alpha^2\gamma} '\\

\boldsymbol {\\alpha\beta\gamma} '\\

\boldsymbol {\\beta^2\gamma} '\\

\boldsymbol {\\alpha\gamma^2} '\\

\boldsymbol {\\beta\gamma^2} '\\

\boldsymbol {\\gamma^3}'

\end {pmatrix} = \begin {pmatrix }\

1&0&0&0&0&0&0&0&0&0 \\

{1\over 2} & {1\over 2} &0&0&0&0&0&0&0&0 \\

{1\over 4} & {2\over 4} & {1\over 4} &0&0&0&0&0&0&0 \\

{1\over 8} & {3\over 8} & {3\over 8} & {1\over 8} &0&0&0&0&0&0 \\

0&0&0&0&1&0&0&0&0&0 \\

0&0&0&0& {1\over 2} & {1\over 2} &0&0&0&0 \\

0&0&0&0& {1\over 4} & {2\over 4} & {1\over 4} &0&0&0 \\

0&0&0&0&0&0&0&1&0&0 \\

0&0&0&0&0&0&0& {1\over 2} & {1\over 2} &0 \\

0&0&0&0&0&0&0&0&0&1

\end {pmatrix }\\cdot\begin {pmatrix }\

\boldsymbol {\\alpha^3 }\\\

\boldsymbol {\\alpha^2\beta }\\\

\boldsymbol {\\alpha\beta^2 }\\\

\boldsymbol {\\beta^3 }\\\

\boldsymbol {\\alpha^2\gamma }\\\

\boldsymbol {\\alpha\beta\gamma }\\\

\boldsymbol {\\beta^2\gamma }\\\

\boldsymbol {\\alpha\gamma^2 }\\\

\boldsymbol {\\beta\gamma^2 }\\\

\boldsymbol {\\gamma^3 }\

\end {pmatrix} </Mathematik>

:equivalently, mit der Hinzufügung und Abteilung durch zwei nur,

:

|-----

| richten Sie sich = "Zentrum" | aus

|-----| richten Sie sich = "Zentrum" | aus| }\

:where: = bedeutet, den Vektoren links durch den Vektoren rechts zu ersetzen.

:Note, dass das Halbieren eines bézier Dreiecks dem Halbieren von Kurven von Bézier aller Ordnungen bis zur Ordnung des Dreiecks von Bézier ähnlich ist.

n-te Ordnung Dreieck von Bézier

Es ist auch möglich, quadratische oder andere Grade von Dreiecken von Bézier, durch das Ändern der Hochzahl in der ursprünglichen Gleichung zu schaffen, in welchem Fall es mehr oder weniger Kontrollpunkte geben wird. Mit der Hochzahl 1 (ein) ist das resultierende Dreieck von Bézier wirklich ein regelmäßiges flaches Dreieck. In allen Fällen werden die Ränder des Dreiecks Kurven von Bézier desselben Grads sein.

Eine allgemeine n-te Ordnung, die Dreieck von Bézier (n + 1) (n + 2)/2 Kontrolle hat, spitzt einen β γ an, wo ich, j, k solche natürliche Zahlen dass ich + j + k = n bin. Die Oberfläche wird dann als definiert

:

(\alpha s + \beta t + \gamma u) ^n

\sum_\begin {smallmatrix} i+j+k

n \\ich, j, k \ge 0\end {smallmatrix} {n \choose i\j\k} s^i t^j u^k \alpha^i \beta^j \gamma^k

\sum_\begin {smallmatrix} i+j+k

n \\ich, j, k \ge 0\end {smallmatrix} \frac {n!} {ich! j! k!} s^i t^j u^k \alpha^i \beta^j \gamma^k

</Mathematik>

für alle nichtnegativen reellen Zahlen s + t + u = 1.

Siehe auch

• Bézier biegen
• Oberfläche von Bézier (biquadratic Flecke sind Rechtecke von Bézier)
• Oberfläche

Links

• Quadratische Bézier Dreiecke Als Zeichnung von Primitiven Enthalten mehr Info auf planaren und quadratischen Dreiecken von Bézier.
• Das Papier über den Gebrauch von kubischem Bézier flickt in raytracing (Deutsch)
• Strahlenaufzeichnung dreieckiger Bézier flickt
• Dreieckiger Bézier, der klammert
• Gebogene PN Dreiecke (eine spezielle Art von Kubikdreiecken von Bézier)
• Pixel-Shader-Based gekrümmte Dreiecke
• Der Oberflächenaufbau mit dem Nahen Kleinste Quadratbeschleunigung hat auf dem Scheitelpunkt Normals auf dem Dreiecksineinandergreifen gestützt