In der Mathematik ist eine Funktion f gleichförmig dauernd, wenn, grob das Sprechen, es möglich ist zu versichern, dass f (x) und f (y), als einander nah sein, weil wir erfreuen, indem wir nur verlangen, dass x und y genug einander nah sind; verschieden von der gewöhnlichen Kontinuität kann die maximale Entfernung zwischen x und y nicht von x und y selbst abhängen. Zum Beispiel ist jede Isometrie (Entfernung bewahrende Karte) zwischen metrischen Räumen gleichförmig dauernd.

Jede gleichförmig dauernde Funktion zwischen metrischen Räumen ist dauernd. Gleichförmige Kontinuität, verschieden von der Kontinuität, verlässt sich auf die Fähigkeit, die Größen der Nachbarschaft von verschiedenen Punkten eines gegebenen Raums zu vergleichen. In einem willkürlichen topologischen Raum kann das nicht möglich sein. Statt dessen kann gleichförmige Kontinuität auf einem metrischen Raum definiert werden, wo solche Vergleiche, oder mehr allgemein auf einem gleichförmigen Raum möglich sind.

Der equicontinuity von einer Reihe von Funktionen ist eine Generalisation des Konzepts der gleichförmigen Kontinuität.

Jede dauernde Funktion auf einem Kompaktsatz ist gleichförmig dauernd.

Definition für Funktionen auf metrischen Räumen

In Anbetracht metrischer Räume (X, d) und (Y, d), eine Funktion f: X  Y werden gleichförmig dauernd genannt, wenn für jede reelle Zahl ε> 0 dort δ> 0 solches besteht, dass für jeden x y  X mit d (x, y) (f (x), f (y)) und d die Euklidische Standardnorm, || sein kann · ||, die Definition nachgebend: Für den ganzen ε> 0 dort besteht ein δ> 0 solches das für den ganzen x, y  X, |x − y

der zu gleichwertig

ist:

wohingegen für die gleichförmige Kontinuität die Ordnung des zweiten und dritten quantifiers umgekehrt wird:

:

(die Gebiete der Variablen sind absichtlich ausgelassen worden, um Quantifier-Ordnung zu betonen). So für die Kontinuität an jedem Punkt nimmt man einen willkürlichen Punkt x, und dann dort muss eine Entfernung δ, bestehen

:

während für die gleichförmige Kontinuität ein einzelner δ gleichförmig für alle Punkte x (und y) arbeiten muss:

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Beispiele

• Jede Lipschitz dauernde Karte zwischen zwei metrischen Räumen ist gleichförmig dauernd. Insbesondere jede Funktion, die differentiable ist und Ableitung begrenzt hat, ist gleichförmig dauernd. Mehr allgemein ist jeder Hölder dauernde Funktion gleichförmig dauernd.
• Jedes Mitglied gleichförmig equicontinuous Satz von Funktionen ist gleichförmig dauernd.
• Die Tangente-Funktion ist auf dem Zwischenraum (−/2, π/2) dauernd, aber ist auf diesem Zwischenraum nicht gleichförmig dauernd.
• Die Exponentialfunktion x e ist überall auf der echten Linie dauernd, aber ist auf der Linie nicht gleichförmig dauernd.

Eigenschaften

Jede gleichförmig dauernde Funktion ist dauernd, aber das gegenteilige hält nicht. Denken Sie zum Beispiel die Funktion

\mapsto x^2 </Mathematik>. In Anbetracht einer willkürlich kleinen positiven reellen Zahl verlangt gleichförmige Kontinuität die Existenz einer positiven Zahl solch das für alle damit

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und für den ganzen genug großen x ist diese Menge größer als.

Das Image einer völlig begrenzten Teilmenge unter einer gleichförmig dauernden Funktion wird völlig begrenzt. Jedoch braucht das Image einer begrenzten Teilmenge eines willkürlichen metrischen Raums unter einer gleichförmig dauernden Funktion nicht begrenzt zu werden, wie durch das Gegenbeispiel der Identitätsfunktion von den ganzen Zahlen gezeigt wird, die mit dem getrennten metrischen zu den mit dem üblichen Euklidischen metrischen ausgestatteten ganzen Zahlen ausgestattet sind.

Der Heine-Kantor-Lehrsatz behauptet, dass jede dauernde Funktion auf einem Kompaktsatz gleichförmig dauernd ist. Insbesondere wenn eine Funktion auf einem geschlossenen begrenzten Zwischenraum der echten Linie dauernd ist, ist es auf diesem Zwischenraum gleichförmig dauernd. Darboux integrability von dauernden Funktionen folgt fast sofort vom gleichförmigen Kontinuitätslehrsatz.

Wenn eine reellwertige Funktion darauf dauernd ist und besteht (und begrenzt ist), dann ist gleichförmig dauernd. Insbesondere jedes Element dessen, der Raum von dauernden Funktionen darauf verschwindet an der Unendlichkeit, ist gleichförmig dauernd. Das ist eine Generalisation des Heine-Kantor-Lehrsatzes, der oben seitdem erwähnt ist.

Geschichte

Die erste veröffentlichte Definition der gleichförmigen Kontinuität war durch Heine 1870, und 1872 hat er einen Beweis veröffentlicht, dass eine dauernde Funktion auf einem offenen Zwischenraum nicht gleichförmig dauernd zu sein braucht. Die Beweise sind gegeben von Dirichlet in seinen Vorträgen auf bestimmten Integralen 1854 fast wortwörtlich. Die Definition der gleichförmigen Kontinuität erscheint früher in der Arbeit von Bolzano, wo er auch bewiesen hat, dass dauernde Funktionen auf einem offenen Zwischenraum nicht gleichförmig dauernd zu sein brauchen. Außerdem stellt er auch fest, dass eine dauernde Funktion auf einem geschlossenen Zwischenraum gleichförmig dauernd ist, aber er gibt keinen ganzen Beweis.

Andere Charakterisierungen

Sonderanalyse

In der Sonderanalyse ist eine reellwertige Funktion f einer echten Variable an einem Punkt genau wenn der Unterschied f (+ δ) &minus mikrodauernd; f ist (a) unendlich klein, wann auch immer δ unendlich klein ist. So ist f auf einem Satz in R genau dauernd, wenn (die natürliche Erweiterung) f an jedem echten Punkt ein  A mikrodauernd ist. Gleichförmige Kontinuität kann als die Bedingung ausgedrückt werden, dass (die natürliche Erweiterung) f nicht nur an echten Punkten in A, aber an allen Punkten in seinem Sonderkollegen (natürliche Erweiterung) in R mikrodauernd ist (sieh Sonderrechnung für mehr Details und Beispiele).

Charakterisierung über Folgen

Für eine Funktion zwischen Euklidischen Räumen kann gleichförmige Kontinuität in Bezug darauf definiert werden, wie sich die Funktion auf Folgen benimmt. Lassen Sie mehr spezifisch A eine Teilmenge von R sein. Eine Funktion f: Ein  R ist wenn und nur wenn für jedes Paar von Folgen x und solchem y dass gleichförmig dauernd

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wir haben

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Beziehungen mit dem Erweiterungsproblem

Lassen Sie X ein metrischer Raum, S eine Teilmenge X, und ein sein

dauernde Funktion. Wenn f kann, zu einer dauernden Funktion auf allen X erweitert werden?

Wenn S in X geschlossen wird, wird die Antwort durch den Erweiterungslehrsatz von Tietze gegeben: immer. So ist es notwendig und genügend, f zum Verschluss von S in X zu erweitern: D. h. wir können ohne Verlust der Allgemeinheit annehmen, dass S in X dicht ist, und das die weitere angenehme Folge hat, dass, wenn die Erweiterung besteht, es einzigartig ist.

Lassen Sie uns außerdem annehmen, dass X abgeschlossen ist, so dass X ist

die Vollziehung von S. Dann streckt sich eine dauernde Funktion bis zu alle X aus, wenn, und nur wenn f Cauchy-dauernd ist, d. h., das Image unter f einer Cauchyfolge Cauchy bleibt. (Im Allgemeinen ist Kontinuität von Cauchy notwendig und für die Erweiterung von f zur Vollziehung X genügend, so ist a priori stärker als extendability zu X.)

Es ist leicht zu sehen, dass jede gleichförmig dauernde Funktion Cauchy-dauernd ist und sich so bis zu X ausstreckt. Das gegenteilige hält seit der Funktion nicht

\mapsto x^2 </Mathematik>, ist wie gesehen, oben, nicht gleichförmig dauernd, aber es ist dauernd und so - da R - dauernder Cauchy abgeschlossen ist. Im Allgemeinen, für Funktionen, die auf unbegrenzten Räumen wie R definiert sind, ist gleichförmige Kontinuität eine ziemlich starke Bedingung. Es ist wünschenswert, eine schwächere Bedingung zu haben, von der man extendability ableitet.

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass a> 1 eine reelle Zahl ist. Am Vorrechnungsniveau kann die Funktion eine genaue Definition nur für vernünftige Werte von x (das Annehmen der Existenz von qth Wurzeln von positiven reellen Zahlen, einer Anwendung des Zwischenwertlehrsatzes) gegeben werden. Man würde gern f zu einer auf allen R definierten Funktion erweitern. Die Identität

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Shows, dass f auf allen Q nicht gleichförmig dauernd ist; jedoch für jeden begrenzten Zwischenraum I ist die Beschränkung von f dazu gleichförmig dauernd, folglich Cauchy-dauernd, folglich streckt sich f bis zu eine dauernde Funktion auf mir aus. Aber da das für jeden mich hält, gibt es dann eine einzigartige Erweiterung von f zu einer dauernden Funktion auf allen R.

Mehr allgemein ist eine dauernde Funktion, deren Beschränkung zu jeder begrenzten Teilmenge von S gleichförmig dauernd ist, zu X ausziehbar, und das gegenteilige hält, ob X lokal kompakt ist.

Eine typische Anwendung des extendability einer gleichförmigen dauernden Funktion ist der Beweis des Gegenteils Transformationsformel von Fourier. Wir beweisen zuerst, dass die Formel für Testfunktionen wahr ist, gibt es dicht viele von ihnen. Wir erweitern dann die umgekehrte Karte zum ganzen Raum mit der Tatsache, dass geradlinige Karte dauernd ist; so, gleichförmig dauernd.

Generalisation zu topologischen Vektorräumen

Im speziellen Fall von zwei topologischen Vektorräumen und wird der Begriff der gleichförmigen Kontinuität einer Karte: Für jede Nachbarschaft der Null darin, dort besteht eine Nachbarschaft der Null im solchem, der einbezieht

Für geradlinige Transformationen ist gleichförmige Kontinuität zur Kontinuität gleichwertig. Diese Tatsache wird oft implizit in der Funktionsanalyse verwendet, um eine geradlinige Karte von einem dichten Subraum eines Banachraums zu erweitern.

Generalisation zu gleichförmigen Räumen

Gerade als die natürlichste und allgemeine Einstellung für die Kontinuität topologische Räume, ist

die natürlichste und allgemeine Einstellung für die Studie der gleichförmigen Kontinuität ist die gleichförmigen Räume.

Eine Funktion f: X  Y zwischen dem gleichförmigen Raum werden gleichförmig dauernd genannt, wenn für jede Umgebung V in Y dort eine Umgebung U in X solch besteht, dass für jeden (x x) in U wir (f (x), f (x)) in V haben.

In dieser Einstellung ist es auch wahr, dass gleichförmig dauernde Karten Cauchyfolgen in Cauchyfolgen umgestalten, und dass dauernde Karten auf gleichförmigen Kompakträumen automatisch gleichförmig dauernd sind.

Jeder Kompaktraum von Hausdorff besitzt genau eine gleichförmige mit der Topologie vereinbare Struktur. Eine Folge ist eine Verallgemeinerung des Heine-Kantor-Lehrsatzes: Jede dauernde Funktion von einem Kompaktraum von Hausdorff bis einen gleichförmigen Raum ist gleichförmig dauernd.

• Kapitel II ist eine umfassende Verweisung von gleichförmigen Räumen.

Referenzen