In der Mathematik, besonders homological Algebra und andere Anwendungen der abelian Kategorie-Theorie, ist das kurze fünf Lemma ein spezieller Fall des fünf Lemmas.

Es stellt fest, dass für das folgende Ersatzdiagramm (in jeder abelian Kategorie, oder in der Kategorie von Gruppen), wenn die Reihen kurze genaue Folgen sind, und wenn g und h Isomorphismus sind, dann ist f ein Isomorphismus ebenso.

Es folgt sofort vom fünf Lemma.

Die Essenz des Lemmas kann wie folgt zusammengefasst werden: Wenn Sie einen Homomorphismus f von einem Gegenstand B zu einem Gegenstand B&prime haben; und dieser Homomorphismus veranlasst einen Isomorphismus von einem Subgegenstand B zu einem Subgegenstand A′ B′ und auch ein Isomorphismus vom Faktor wendet B/A gegen B′/A&prime ein; dann f selbst ist ein Isomorphismus. Bemerken Sie jedoch, dass die Existenz von f vom Anfang angenommen werden muss; zwei Gegenstände B und B′ das hat einfach isomorph sub - und Faktor-Gegenstände brauchen nicht sich, isomorph zu sein (zum Beispiel, in der Kategorie von abelian Gruppen, B konnte die zyklische Gruppe der Ordnung vier und B&prime sein; der Klein vier-Gruppen-).