In der Mathematik, spezifisch Funktionsanalyse, ist der Lehrsatz von Mercer eine Darstellung einer symmetrischen positiv-bestimmten Funktion auf einem Quadrat als eine Summe einer konvergenten Folge von Produktfunktionen. Dieser Lehrsatz, der darin präsentiert ist, ist eines der bemerkenswertesten Ergebnisse der Arbeit von James Mercer. Es ist ein wichtiges theoretisches Werkzeug in der Theorie von Integralgleichungen; es wird in der Raumtheorie von Hilbert von stochastischen Prozessen, zum Beispiel der Karhunen-Loève Lehrsatz verwendet; und es wird auch verwendet, um einen symmetrischen positiven halbbestimmten Kern zu charakterisieren.

Einführung

Um den Lehrsatz von Mercer zu erklären, ziehen wir zuerst einen wichtigen speziellen Fall in Betracht; sieh unten für eine allgemeinere Formulierung.

Ein Kern, in diesem Zusammenhang, ist eine symmetrische dauernde Funktion, die kartografisch darstellt

:

das symmetrische Meinen dass K (x, s) = K (s, x).

Wie man

sagt, ist K bestimmt (oder positiv halbbestimmt) wenn und nur wenn nichtnegativ

:

für alle begrenzten Folgen von Punkten x..., x [a, b] und alle Wahlen von reellen Zahlen c..., c (vgl positiver bestimmter Kern).

Vereinigt zu K ist ein geradliniger Maschinenbediener auf durch den integrierten definierten Funktionen

:

Für technische Rücksichten nehmen wir &phi an; kann sich durch den Raum erstrecken

L [a, b] (sieh LP-Raum), des Quadrat-Integrable reellwertige Funktionen.

Da T ein geradliniger Maschinenbediener ist, können wir über eigenvalues und eigenfunctions von T sprechen.

Lehrsatz. Nehmen Sie an, dass K ein dauernder symmetrischer nichtnegativer bestimmter Kern ist. Dann gibt es eine orthonormale Basis

{e} L [a, b], aus eigenfunctions von solchem T dass der entsprechende bestehend

Folge von eigenvalues {λ} ist nichtnegativ. Die eigenfunctions entsprechend der Nichtnull eigenvalues sind auf [a, b] dauernd, und K hat die Darstellung

:

wo die Konvergenz absolut und gleichförmig ist.

Details

Wir erklären jetzt im größeren Detail die Struktur des Beweises von

Der Lehrsatz von Mercer, besonders wie es sich auf die geisterhafte Theorie von Kompaktmaschinenbedienern bezieht.

• Die Karte K → T ist injective.
• T ist ein nichtnegativer symmetrischer Kompaktmaschinenbediener auf L [a, b]; außerdem K (x, x) ≥ 0.

Um Kompaktheit zu zeigen, zeigen Sie, dass das Image des Einheitsballs von L [a, b] unter T equicontinuous und den Lehrsatz von Ascoli anwendet, um zu zeigen, dass das Image des Einheitsballs in C ([a, b]) mit der gleichförmigen Norm und einem fortiori in L [a, b] relativ kompakt ist.

Wenden Sie sich jetzt an den geisterhaften Lehrsatz wegen Kompaktmaschinenbediener auf Hilbert

Räume zu T, um die Existenz des zu zeigen

orthonormale Basis {e}

L [a, b]

:

Wenn λ ≠ 0, wie man sieht, ist der Eigenvektor e auf [a, b] dauernd. Jetzt

:

der dass die Folge zeigt

:

läuft absolut und gleichförmig zu einem Kern K zusammen, der, wie man leicht sieht, denselben Maschinenbediener als der Kern K definiert. Folglich K=K, von dem der Lehrsatz von Mercer folgt.

Spur

Der folgende ist unmittelbar:

Lehrsatz. Nehmen Sie an, dass K ein dauernder symmetrischer nichtnegativer bestimmter Kern ist; T hat eine Folge von nichtnegativem

eigenvalues {λ}. Dann

:

Das zeigt, dass der Maschinenbediener T ein Spur-Klassenmaschinenbediener und ist

:

Generalisationen

Der Lehrsatz von Mercer selbst ist eine Generalisation des Ergebnisses, dass jede positive halbbestimmte Matrix die Matrix von Gramian von einer Reihe von Vektoren ist.

Die erste Generalisation ersetzt den Zwischenraum [a, b] mit jedem Kompaktraum von Hausdorff, und Maß von Lebesgue auf [a, b] wird durch ein begrenztes zählbar zusätzliches Maß &mu ersetzt; auf der Algebra von Borel X, dessen Unterstützung X ist. Das bedeutet das μ (U)> 0 für jede offene Teilmenge U X.

Eine neue Generalisation ersetzt das Bedingungen dadurch folgen: Der Satz X ist ein erst-zählbarer topologischer Raum, der mit einem Borel (ganzes) Maß &mu ausgestattet ist;. X ist die Unterstützung μ und, für den ganzen x in X, gibt es einen offenen Satz U, x enthaltend und begrenztes Maß habend. Dann im Wesentlichen hält dasselbe Ergebnis:

Lehrsatz. Nehmen Sie an, dass K ein dauernder symmetrischer nichtnegativer bestimmter Kern auf X ist. Wenn die Funktion κ ist L (X), wo κ (x) =K (x, x), für den ganzen x in X, dann gibt es einen orthonormalen Satz

{e} L (X), aus eigenfunctions von solchem T dass entsprechender bestehend

Folge von eigenvalues {λ} ist nichtnegativ. Die eigenfunctions entsprechend der Nichtnull eigenvalues sind auf X dauernd, und K hat die Darstellung

:

wo die Konvergenz absolut und auf Kompaktteilmengen X gleichförmig ist.

Die folgende Generalisation befasst sich mit Darstellungen von messbaren Kernen.

Lassen Sie (X, M, &mu), σ-finite sein, messen Raum. Ein L (oder Quadrat integrable) Kern auf X ist eine Funktion

:

L Kerne definieren einen begrenzten Maschinenbediener T durch die Formel

:

T ist ein Kompaktmaschinenbediener (wirklich es ist sogar ein Maschinenbediener von Hilbert-Schmidt). Wenn der Kern K durch den geisterhaften Lehrsatz symmetrisch ist, hat T eine orthonormale Basis von Eigenvektoren. Jene Eigenvektoren, die Nichtnull eigenvalues entsprechen, können in einer Folge {e} (unabhängig von der Trennbarkeit) eingeordnet werden.

Lehrsatz. Wenn K ein symmetrischer nichtnegativer bestimmter Kern darauf ist (X, M, &mu), dann

:

wo die Konvergenz in der L Norm. Bemerken Sie, dass, wenn die Kontinuität des Kerns nicht angenommen wird, die Vergrößerung nicht mehr gleichförmig zusammenläuft.

• Adriaan Zaanen, Geradlinige Analyse, North Holland Publishing Co., 1960,
• Ferreira, J. C., Menegatto, V. A., Eigenvalues von integrierten Maschinenbedienern, die durch glatte positive bestimmte Kerne, Integralgleichung und Maschinenbediener-Theorie, 64 (2009), Nr. 1, 61 - 81 definiert sind. (Gibt die Generalisation des Lehrsatzes von Mercer für metrische Räume. Das Ergebnis wird an die ersten zählbaren topologischen Räume leicht angepasst)
• Konrad Jörgens, Geradlinige integrierte Maschinenbediener, Bergmann, Boston, 1982,
• Richard Courant und David Hilbert, Methoden der Mathematischen Physik, vol 1, Zwischenwissenschaft 1953,
• Robert Ash, Informationstheorie, Veröffentlichungen von Dover, 1990,
• H. König, Vertrieb von Eigenvalue von kompakten Maschinenbedienern, Birkhäuser Verlag, 1986. (Gibt die Generalisation des Lehrsatzes von Mercer für begrenzte Maßnahmen μ.)

Siehe auch

• Kerntrick
• Geisterhafte Theorie
• Die Bedingung von Mercer

Referenzen