In der mathematischen Analyse geben der Inversionslehrsatz von Lagrange, auch bekannt als die Formel von Lagrange-Bürmann, die Reihenentwicklung von Taylor der umgekehrten Funktion einer analytischen Funktion.

Lehrsatz-Behauptung

Nehmen Sie an, dass z als eine Funktion von w durch eine Gleichung der Form definiert wird

:

wo f an einem Punkt a und f' (a)  0 analytisch ist. Dann ist es möglich, um die Gleichung für w zukehren oder zu lösen:

:

auf einer Nachbarschaft von f (a), wo g am Punkt b = f (a) analytisch ist. Das wird auch Rückfall der Reihe genannt.

Die Reihenentwicklung von g wird durch gegeben

:

g (z) = ein

+ \sum_ {n=1} ^ {\\infty }\

\left (

\lim_ {w \to ein }\\ist abgereist (

\frac {\\mathrm {d} ^ {\\, n-1}} {\\mathrm {d} w^ {\\, n-1} }\

\left (\frac {w-a} {f (w) - b} \right) ^n\right)

{\\frac {(z - b) ^n} {n!} }\

\right).

</Mathematik>

Die Formel ist auch für die formelle Macht-Reihe gültig und kann auf verschiedene Weisen verallgemeinert werden. Es kann für Funktionen von mehreren Variablen formuliert werden, es kann erweitert werden, um eine bereite Formel für F (g (z)) für jede analytische Funktion F zur Verfügung zu stellen, und es kann zum Fall f' (a) = 0 verallgemeinert werden, wo das Gegenteil g eine mehrgeschätzte Funktion ist.

Der Lehrsatz wurde von Lagrange bewiesen und von Hans Heinrich Bürmann, beide gegen Ende des 18. Jahrhunderts verallgemeinert. Es gibt eine aufrichtige Abstammung mit der komplizierten Analyse und Kontur-Integration; die komplizierte formelle Macht-Reihe-Version ist klar eine Folge, die Formel für Polynome zu wissen, so kann die Theorie von analytischen Funktionen angewandt werden. Wirklich geht die Maschinerie aus der analytischen Funktionstheorie nur auf eine formelle Weise in diesem Beweis, darin herein, dass, was wirklich erforderlich ist, gerade ein Eigentum des formellen Rückstands ist, und ein direkterer formeller Beweis verfügbar ist.

Anwendungen

Lagrange–B&uuml;rmann Formel

Es gibt einen speziellen Fall des Inversionslehrsatzes von Lagrange, der in combinatorics verwendet wird und gilt, wenn und Nehmen, um vorzuherrschen, haben Wir

:

g (z) =

\sum_ {n=1} ^ {\\infty }\

\left (\lim_ {w \to 0}

\left (\frac {\\mathrm {d} ^ {n-1}} {\\mathrm {d} W^ {n-1} }\

\left (\frac {w} {w/\phi (w)} \right) ^n

\right)

\frac {z^n} {n! }\

\right)

</Mathematik>: \sum_ {n=1} ^ {\\infty }\

\frac {1} {n }\

\left (

\frac {1} {(n-1)! }\

\lim_ {w \to 0} \left (

\frac {\\mathrm {d} ^ {n-1}} {\\mathrm {d} W^ {n-1} }\

\phi (w) ^n

\right)

\right)

z^n,

</Mathematik>

der wechselweise als geschrieben werden kann

:

wo ein Maschinenbediener ist, der den Koeffizienten darin herauszieht, was ihm folgt.

Eine nützliche Generalisation der Formel ist als die Formel von Lagrange-Bürmann bekannt:

:

wo eine willkürliche analytische Funktion z.B sein kann.

Funktion von Lambert W

Die Funktion von Lambert W ist die Funktion, die durch die Gleichung implizit definiert wird

:

Wir können den Lehrsatz verwenden, um die Reihe von Taylor auf zu schätzen

Wir nehmen und das Erkennen davon

:

\frac {\\mathrm {d} ^n} {\\mathrm {d} x^n }\\\mathrm {e} ^ {\\Alpha \, x }\\, = \, \alpha^n \,\mathrm {e} ^ {\\Alpha \, x }\

</Mathematik>

das gibt

:

W (z) =

\sum_ {n=1} ^ {\\infty}

\lim_ {w \to 0} \left (

\frac {\\mathrm {d} ^ {\\, n-1}} {\\mathrm {d} w^ {\\, n-1} }\\\mathrm {e} ^ {-nw }\

\right)

{\frac {z^n} {n!} }\\, = \, \sum_ {n=1} ^ {\\infty }\

(-n) ^ {n-1 }\\, \frac {z^n} {n!} =z-z^2 +\frac {3} {2} z^3-\frac {8} {3} z^4+O (z^5).

</Mathematik>

Der Radius der Konvergenz dieser Reihe ist (dieses Beispiel bezieht sich auf den Hauptzweig der Funktion von Lambert).

Eine Reihe, die für größeren z zusammenläuft (obwohl nicht für den ganzen z) kann auch durch die Reihe-Inversion abgeleitet werden. Die Funktion befriedigt die Gleichung

:

Dann kann in eine Macht-Reihe ausgebreitet und umgekehrt werden. Das gibt eine Reihe für:

:

- \frac {z^3} {192 }\

- \frac {z^4} {3072 }\

+ \frac {13 z^5} {61440 }\

- \frac {47 z^6} {1474560 }\

- \frac {73 z^7} {41287680 }\

+ \frac {2447 z^8} {1321205760} + O (x^9). </Mathematik>

kann durch das Auswechseln z in der obengenannten Reihe geschätzt werden. Zum Beispiel gibt das Auswechseln-1 für z den Wert dessen.

Binäre Bäume

Denken Sie den Satz unetikettierter binärer Bäume.

Ein Element dessen ist entweder ein Blatt der Größe-Null oder ein Wurzelknoten mit zwei Subbäumen. Zeigen Sie durch die Zahl von binären Bäumen auf n Knoten an.

Bemerken Sie, dass das Entfernen der Wurzel einen binären Baum in zwei Bäume der kleineren Größe spaltet. Das gibt die funktionelle Gleichung auf der Erzeugen-Funktion nach:

:

Lassen Sie jetzt und schreiben Sie diese Gleichung wie folgt um:

:

Wenden Sie jetzt den Lehrsatz mit an

:

\frac {1} {n} {2n \choose n-1}

\frac {1} {n+1} {2n \choose n}. </Mathematik>

Wir beschließen, dass das die katalanische Zahl ist.

Siehe auch

• Die Formel von Faà di Bruno gibt Koeffizienten der Zusammensetzung von zwei formellen Macht-Reihen in Bezug auf die Koeffizienten jener zwei Reihen. Gleichwertig ist es eine Formel für die n-te Ableitung einer zerlegbaren Funktion.
• Der Rückfall-Lehrsatz von Lagrange für einen anderen Lehrsatz hat manchmal den Inversionslehrsatz genannt

Links

• Bürmann-Lagrange Reihe am Springer EOM