Das Pferd-Paradox ist ein falsidical Paradox, das aus fehlerhaften Demonstrationen entsteht, die vorgeben, mathematische Induktion von der Behauptung zu verwenden, sind Alle Pferde dieselbe Farbe. Es gibt keinen wirklichen Widerspruch, weil diese Argumente einen entscheidenden Fehler haben, der sie falsch macht. Dieses Beispiel wurde von George Pólya als ein Beispiel der feinen Fehler verwendet, die in Versuchen vorkommen können, Behauptungen durch die Induktion zu beweisen.

Das Argument

Das fehlerhafte Argument behauptet, auf der mathematischen Induktion und dem Erlös wie folgt zu basieren:

Nehmen Sie an, dass wir eine Reihe fünf Pferde haben. Wir möchten beweisen, dass sie Farbe alle gleich sind. Nehmen Sie an, dass wir einen Beweis hatten, dass alle Sätze von vier Pferden dieselbe Farbe waren. Wenn das wahr war, konnten wir beweisen, dass alle fünf Pferde dieselbe Farbe sind, indem sie ein Pferd entfernen, um eine Gruppe von vier Pferden zu verlassen. Tun Sie das auf zwei Weisen, und wir haben zwei verschiedene Gruppen von vier Pferden. Durch unseren angenommenen vorhandenen Beweis da sind das Gruppen vier, alle Pferde in ihnen müssen dieselbe Farbe sein. Zum Beispiel setzen die ersten, zweiten, dritten und vierten Pferde eine Gruppe vier ein, und müssen alle so dieselbe Farbe sein; und die zweiten, dritten, vierten und fünften Pferde setzen auch eine Gruppe vier ein und müssen auch alle so dieselbe Farbe sein. Dafür, um vorzukommen, müssen alle fünf Pferde in der Gruppe fünf dieselbe Farbe sein.

Aber wie sollen wir einen Beweis bekommen, dass alle Sätze von vier Pferden dieselbe Farbe sind? Wir wenden dieselbe Logik wieder an. Durch denselben Prozess konnte eine Gruppe von vier Pferden unten in Gruppen drei zerbrochen werden, und dann konnte eine Gruppe von drei Pferden unten in Gruppen zwei, und so weiter zerbrochen werden. Schließlich werden wir eine Gruppengröße von einer erreichen, und es ist offensichtlich, dass alle Pferde in einer Gruppe eines Pferdes dieselbe Farbe sein müssen.

Durch dieselbe Logik können wir auch die Gruppengröße vergrößern. Eine Gruppe von fünf Pferden kann zu einer Gruppe sechs, und so weiter aufwärts vergrößert werden, so dass alle begrenzten großen Gruppen von Pferden dieselbe Farbe sein müssen.

Erklärung

Das Argument macht oben die implizite Annahme, dass die zwei Teilmengen von Pferden, auf die die Induktionsannahme angewandt wird, ein allgemeines Element haben. Das ist nicht wahr, wenn n = 1, d. h. wenn der ursprüngliche Satz nur 2 Pferde enthält.

Lassen Sie die zwei Pferde Pferd A und Pferd B sein. Wenn Pferd A entfernt wird, ist es wahr, dass die restlichen Pferde im Satz dieselbe Farbe sind (nur Pferd B bleibt). Wenn Pferd B statt dessen entfernt wird, verlässt das einen verschiedenen Satz, der nur Pferd A enthält, der kann oder dieselbe Farbe wie Pferd B. nicht sein kann

Das Problem im Argument ist die Annahme, dass, weil jeder dieser zwei Sätze nur eine Farbe von Pferden enthält, der ursprüngliche Satz auch nur eine Farbe von Pferden enthalten hat. Weil es keine allgemeinen Elemente (Pferde) in den zwei Sätzen gibt, ist es unbekannt, ob die zwei Pferde dieselbe Farbe teilen. Der Beweis bildet ein falsidical Paradox; es scheint, etwas offenbar Falsches durch das gültige Denken zu zeigen, aber tatsächlich wird das Denken rissig gemacht. Das Pferd-Paradox stellt die Fallen aus, die aus dem Misserfolg entstehen, spezielle Fälle in Betracht zu ziehen, für die eine allgemeine Behauptung falsch sein kann.

Siehe auch

• Wenn ein Schimmel nicht ein Pferd ist
• Liste von Paradoxen
• Enumerative Combinatorics durch George E. Martin, internationale Standardbuchnummer 0 387 95225 X