In der Geometrie ist ein Kepler-Poinsot Polyeder einige von vier regelmäßigen Sternpolyedern. Sie können durch stellating das regelmäßige konvexe Dodekaeder und Ikosaeder erhalten werden, und sich von diesen unterscheiden, indem sie regelmäßige Pentagrammic-Gesichter oder Scheitelpunkt-Zahlen haben.

Identifizierung

Die vier Kepler-Poinsot Polyeder werden oben illustriert. Jeder wird durch sein Symbol von Schläfli, der Form {p, q}, und durch seinen Namen identifiziert. Ein Gesicht jeder Zahl wird gelb und entworfen im Rot gezeigt.

Eigenschaften

Nichtkonvexität

Diese Zahlen haben Pentagramme (Sternpentagon) als Gesichter oder Scheitelpunkt-Zahlen. Das kleine und große stellated Dodekaeder hat nichtkonvexe regelmäßige Pentagramm-Gesichter. Das große Dodekaeder und große Ikosaeder haben konvexe polygonale Gesichter, aber pentagrammic Scheitelpunkt-Zahlen.

In allen Fällen können sich zwei Gesichter entlang einer Linie schneiden, die nicht ein Rand jedes Gesichtes ist, so dass ein Teil jedes Gesichtes das Interieur der Zahl durchführt. Solche Linien der Kreuzung sind nicht ein Teil der polyedrischen Struktur und werden manchmal falsche Ränder genannt. Ebenfalls, wo sich drei solche Linien an einem Punkt schneiden, der nicht eine Ecke jedes Gesichtes ist, sind diese Punkte falsche Scheitelpunkte. Die Images zeigen unten goldene Bälle an den wahren Scheitelpunkten und Silberstangen entlang den wahren Rändern.

Zum Beispiel hat das kleine stellated Dodekaeder 12 Pentagramm konfrontiert mit dem fünfeckigen innerhalb des Festkörpers verborgenen Hauptteil. Die sichtbaren Teile jedes Gesichtes umfassen fünf gleichschenklige Dreiecke, die in fünf Punkten um das Pentagon anlegen. Wir konnten diese Dreiecke als 60 getrennte Gesichter behandeln, um ein neues, unregelmäßiges Polyeder zu erhalten, das äußerlich identisch aussieht. Jeder Rand würde jetzt in drei kürzere Ränder (zwei verschiedener Arten) geteilt, und die 20 falschen Scheitelpunkte würden wahre werden, so dass wir insgesamt 32 Scheitelpunkte (wieder zwei Arten) haben. Das verborgene innere Pentagon ist nicht mehr ein Teil der polyedrischen Oberfläche und kann verschwinden. Jetzt hält die Beziehung von Euler: 60 − 90 + 32 = 2. Jedoch ist dieses Polyeder nicht mehr dasjenige, das durch das Symbol von Schläfli {5/2, 5} beschrieben ist, und kann so kein Kepler-Poinsot Festkörper sein, wenn auch es noch ein von der Außenseite ähnlich ist.

Eigenschaft von Euler χ

Ein Kepler-Poinsot Polyeder bedeckt seinen umschriebenen Bereich mehr als einmal mit den Zentren von Gesichtern, die als das Winden von Punkten in den Zahlen handeln, die Pentagrammic-Gesichter und die Scheitelpunkte in anderen haben. Wegen dessen sind sie zum Bereich nicht notwendigerweise topologisch gleichwertig, wie Platonische Festkörper, und insbesondere die Beziehung von Euler sind

hält nicht immer. Schläfli hat gemeint, dass alle Polyeder χ = 2 haben müssen, und er das kleine stellated Dodekaeder und große Dodekaeder als richtige Polyeder zurückgewiesen hat. Diese Ansicht wurde nie weit gehabt.

Eine modifizierte Form der Formel von Euler, mit der Dichte (D) der Scheitelpunkt-Zahlen und Gesichter wurde von Arthur Cayley gegeben, und hält beide für konvexe Polyeder (wo die Korrektur-Faktoren der ganze 1 sind), und die Kepler-Poinsot Polyeder:

Dualität

Die Kepler-Poinsot Polyeder bestehen in Doppelpaaren:

• Kleines stellated Dodekaeder und großes Dodekaeder.
• Großes stellated Dodekaeder und großes Ikosaeder.

Zusammenfassung

Beziehungen unter den regelmäßigen Polyedern

Das kleine stellated Dodekaeder und große Ikosaeder teilen dieselben Scheitelpunkte und Ränder. Das Ikosaeder und große Dodekaeder teilen auch dieselben Scheitelpunkte und Ränder.

Die drei dodecahedra sind der ganze stellations des regelmäßigen konvexen Dodekaeders, und das große Ikosaeder ist ein stellation des regelmäßigen konvexen Ikosaeders. Das kleine stellated Dodekaeder und das große Ikosaeder sind facettings des konvexen Dodekaeders, während die zwei großen dodecahedra facettings des regelmäßigen konvexen Ikosaeders sind.

Wenn die Kreuzungen als neue Ränder und Scheitelpunkte behandelt werden, werden die erhaltenen Zahlen nicht regelmäßig sein, aber sie können noch als stellations betrachtet werden. (Siehe auch Liste von Polyeder-Modellen von Wenninger)

Geschichte

Die meisten, wenn nicht waren alle, der Kepler-Poinsot Polyeder über in einer Form oder anderem vor Kepler bekannt. Ein kleines stellated Dodekaeder erscheint in einem Marmor tarsia (Einlegearbeit-Tafel) auf dem Fußboden der Basilika von St. Markus, Venedigs, Italien. Es datiert aus dem 15. Jahrhundert und wird manchmal Paolo Uccello zugeschrieben. In seinem Perspectiva corporum regularium (Perspektiven der regelmäßigen Festkörper) http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/jamnitzer/galerie7a.html, ein Buch von Holzschnitten veröffentlicht im 16. Jahrhundert, zeichnet Wenzel Jamnitzer das große Dodekaeder und das große stellated Dodekaeder. Es ist aus der allgemeinen Einordnung des Buches klar, dass er nur die fünf Platonischen Festkörper als regelmäßig betrachtet hat, und die regelmäßige Natur seines großen dodecahedra nicht verstanden hat.

Die kleinen und großen stellated dodecahedra, manchmal genannt die Polyeder von Kepler, wurden zuerst als regelmäßig von Johannes Kepler 1619 anerkannt. Er hat sie durch stellating das regelmäßige konvexe Dodekaeder für das erste Mal erhalten, es als eine Oberfläche aber nicht ein Festkörper behandelnd. Er hat bemerkt, dass, indem er die Ränder oder Gesichter des konvexen Dodekaeders erweitert hat, bis sie sich wieder getroffen haben, er Sternpentagon erhalten konnte. Weiter hat er anerkannt, dass dieses Sternpentagon auch regelmäßig ist. Auf diese Weise hat er die zwei stellated dodecahedra gebaut. Jeder hat das konvexe Hauptgebiet jedes Gesichtes, das innerhalb des Interieurs mit nur den sichtbaren Dreiecksarmen "verborgen" ist". Der Endschritt von Kepler war anzuerkennen, dass diese Polyeder die Definition der Regelmäßigkeit passen, wenn auch sie nicht konvex waren, wie die traditionellen Platonischen Festkörper waren.

1809 hat Louis Poinsot die Zahlen von Kepler wieder entdeckt, indem er Sternpentagon um jeden Scheitelpunkt gesammelt hat. Er hat auch konvexe Vielecke um Sternscheitelpunkte gesammelt, um zwei regelmäßigere Sterne, das große Ikosaeder und große Dodekaeder zu entdecken. Einige Menschen nennen diese zwei die Polyeder von Poinsot. Poinsot hat nicht gewusst, ob er alle regelmäßigen Sternpolyeder entdeckt hatte.

Drei Jahre später hat Augustin Cauchy die Liste bewiesen, die durch stellating die Platonischen Festkörper, und fast ein halbes Jahrhundert abgeschlossen ist, nachdem das, 1858, Bertrand einen eleganteren Beweis durch facetting sie zur Verfügung gestellt hat.

Im nächsten Jahr hat Arthur Cayley den Kepler-Poinsot Polyedern die Namen gegeben, durch die sie heute allgemein bekannt sind.

Hundert Jahre später hat John Conway eine systematische Fachsprache für stellations in bis zu vier Dimensionen entwickelt. Innerhalb dieses Schemas hat er ein bisschen modifizierte Namen für zwei der regelmäßigen Sternpolyeder vorgeschlagen:

Die Namen von Conway haben etwas Gebrauch gesehen, aber sind nicht weit angenommen worden.

Regelmäßige Sternpolyeder in der Kunst und Kultur

Regelmäßige Sternpolyeder erscheinen zuerst in der Renaissancekunst. Ein kleines stellated Dodekaeder wird in einem Marmor tarsia auf dem Fußboden der Basilika von St. Markus, Venedigs, Italien gezeichnet, von ca datierend. 1430 und manchmal zugeschrieben Paulo Ucello. Wenzel Jamnitzer hat sein Buch von Holzschnitten Perspectiva Corporum Regularium 1568 veröffentlicht. Er zeichnet das große Dodekaeder, und das große stellated Dodekaeder - in dieser Sekunde, wird wahrscheinlich durch Fehler in der Methode aber nicht Unerfahrenheit der Form ein bisschen verdreht. Jedoch gibt es keine Beweise, dass diese Künstler die Regelmäßigkeit solcher Zahlen verstanden haben.

Im 20. Jahrhundert hat das Interesse des Künstlers M. C. Escher an geometrischen Formen häufig zu Arbeiten geführt, die auf oder einschließlich regelmäßiger Festkörper gestützt sind; Schwerkraft basiert auf einem kleinen stellated Dodekaeder.

Ein Sezieren des großen Dodekaeders wurde für den Stern von Alexander des Rätsels der 1980er Jahre verwendet.

Norwegische Skulptur des Künstlers Vebjørn Sands Der Kepler Stern wird in der Nähe vom Osloer Flughafen, Gardermoen gezeigt. Der Stern misst 14 Meter ab, und besteht aus einem Ikosaeder und einem Dodekaeder innerhalb eines großen stellated Dodekaeders.

Siehe auch

• Regelmäßiger polytope
• Regelmäßiges Polyeder
• Liste von regelmäßigem polytopes
• Gleichförmiges Polyeder
• Polyedrische Zusammensetzung
• Schläfli-Hess polychoron Der 10 4-dimensionale Stern polytopes
• J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 46 (1858), Seiten 79-82, 117.
• Augustin Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. Polytechnik von J. de l'École 9, 68-86, 1813.
• Arthur Cayley, Auf den Vier Neuen Regelmäßigen Festkörpern von Poinsot. Philos. Illustrierte. 17, Seiten 123-127 und 209, 1859.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Die Symmetrie von Dingen 2008, internationale Standardbuchnummer 978-1-56881-220-5 (Kapitel 24, Regelmäßiges Stern-Polytopes, Seiten 404-408)
• Kaleidoskope: Ausgewählte Schriften von H.S.M. Coxeter, der von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asien Ivic Weiss, Wiley-Zwischenwissenschaftsveröffentlichung, 1995, internationale Standardbuchnummer 978-0-471-01003-6 http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html editiert ist
• (Papier 1) H.S.M. Coxeter, Die Neun Regelmäßigen Festkörper [Proc. Kann. Mathematik. Kongress 1 (1947), 252-264, HERR 8, 482]
• (Papier 10) H.S.M. Coxeter, Stern Polytopes und die Schlafli-Funktion f (α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25-36]
• P. Cromwell, Polyeder, Cabridgre Universität Presse, Hbk. 1997, Ppk. 1999.
• Theoni Pappas, (Die Kepler-Poinsot Festkörper) Die Heiterkeit der Mathematik. San Carlos, Kalifornien: Breiter Weltpubl./Tetra, p. 113, 1989.
• Louis Poinsot, Memoire sur les polygones et polyèdres. Polytechnik von J. de l'École 9, Seiten 16-48, 1810.
• Lakatos, Imre; Beweise und Widerlegungen, Universität von Cambridge Presse (1976) - Diskussion des Beweises der Eigenschaft von Euler

• Seiten 39-41.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Der Symmetries von Dingen 2008, internationale Standardbuchnummer 978-1-516881-220-5 (Kapitel 26. Seiten 404: Regelmäßige Stern-Polytopes Dimension 3)

Links

• Papiermodelle von Kepler-Poinsot Polyedern
• Freie Papiermodelle (Netze) von Kepler-Poinsot Polyedern
• Die gleichförmigen Polyeder
• VRML Modelle der Kepler-Poinsot Polyeder
• Stellation und facetting - eine kurze Geschichte
• Stella: Polyeder-Navigator: Software hat gepflegt, viele der Images auf dieser Seite zu schaffen.