Gruppengeschwindigkeit

Die Gruppengeschwindigkeit einer Welle ist die Geschwindigkeit, mit der sich die gesamte Gestalt der Umfänge der Welle — bekannt als die Modulation oder der Umschlag der Welle — durch den Raum fortpflanzt.

Stellen Sie sich zum Beispiel vor, was geschieht, wenn ein Stein in die Mitte eines sehr stillen Teichs geworfen wird. Wenn der Stein die Oberfläche des Wassers schlägt, erscheint ein kreisförmiges Muster von Wellen. Es verwandelt sich bald in einen kreisförmigen Ring von Wellen mit einem ruhigen Zentrum. Der jemals dehnbare Ring von Wellen ist die Welle-Gruppe, innerhalb deren individuelle Elementarwellen von sich unterscheidenden Wellenlängen wahrnehmen kann, die mit verschiedenen Geschwindigkeiten reisen. Die längeren Wellen reisen schneller als die Gruppe als Ganzes, aber sie sterben aus, weil sie sich dem Blei nähern.

Die kürzeren Wellen reisen langsamer, und sie sterben aus, weil sie aus der schleifenden Grenze der Gruppe erscheinen.

Definition und Interpretation

Definition

Die Gruppengeschwindigkeit v wird durch die Gleichung definiert:

:

wo ω die winkelige Frequenz der Welle (gewöhnlich ausgedrückt in radians pro Sekunde) ist, und k der winkelige wavenumber (gewöhnlich ausgedrückt in radians pro Meter) ist.

Die Funktion ω (k), der ω als eine Funktion von k gibt, ist als die Streuungsbeziehung bekannt. Wenn ω zu k direkt proportional ist, dann ist die Gruppengeschwindigkeit der Phase-Geschwindigkeit genau gleich. Sonst wird der Umschlag der Welle verdreht werden, wie es sich fortpflanzt. Diese "Gruppengeschwindigkeitsstreuung" ist eine wichtige Wirkung in der Fortpflanzung von Signalen durch Glasfaserleiter und im Design von Hochleistungs-, Lasern des kurzen Pulses.

Referenzen: Die obengenannte Definition der Gruppengeschwindigkeit ist nur für wavepackets nützlich, der ein Puls ist, der sowohl im echten Raum als auch in Frequenzraum lokalisiert wird. Weil sich Wellen an verschiedenen Frequenzen an sich unterscheidenden Phase-Geschwindigkeiten in dispersive Medien für eine große Frequenzreihe fortpflanzen (ein schmaler Umschlag im Raum), würde der beobachtete Puls Gestalt ändern, während er reist, Gruppengeschwindigkeit eine unklare oder nutzlose Menge machend.

Abstammung

Eine mögliche Abstammung basiert auf der Fortpflanzung des Umschlags eines Paares von schlagenden Sinus-Wellen. Eine alternative Abstammung des Welle-Pakets der Formel für die Gruppengeschwindigkeit ist wie folgt.

Betrachten Sie ein Welle-Paket als eine Funktion der Position x und Zeit t: α (x, t). Gelassen (k), sein Fourier sein, verwandeln sich in der Zeit 0:

:

Durch den Überlagerungsgrundsatz ist der wavepacket jederzeit t:

:

wo ω implizit eine Funktion von k ist. Wir nehmen an, dass das Welle-Paket α fast monochromatisch ist, so dass (k) Nichtnull nur in der Nähe von einem zentralen wavenumber k ist. Dann gibt linearization:

:

wo und die Ableitung daran ist. Dann, nach einer Algebra,

:

Der Faktor vor dem Integral hat absoluten Wert 1. Deshalb,

:

d. h. der Umschlag des wavepacket reist an der Geschwindigkeit. Das erklärt die Gruppengeschwindigkeitsformel.

Höhere Ordnung nennt in der Streuung

Ein Teil der vorherigen Abstammung ist die Annahme:

:

Wenn der wavepacket eine relativ große Frequenz ausbreiten ließ, oder wenn die Streuung scharfe Schwankungen (solcher als wegen einer Klangfülle) hat, oder wenn das Paket-Reisen über sehr lange Entfernungen, diese Annahme nicht gültig ist. Infolgedessen bewegt sich der Umschlag des Welle-Pakets nicht nur, sondern auch verdreht. Lose sprechend, reisen verschiedene Frequenzbestandteile des wavepacket mit verschiedenen Geschwindigkeiten mit den schnelleren Bestandteilen, die an die Vorderseite des wavepacket und des langsameren Zurückbleibens am Rücken herangehen. Schließlich wird das Welle-Paket ausgestreckt.

Der nächst-höhere Begriff in der Reihe von Taylor - hat sich auf die zweite Ableitung bezogen

Physische Interpretation

Von der Gruppengeschwindigkeit wird häufig als die Geschwindigkeit gedacht, an der Energie oder Information entlang einer Welle befördert werden. In den meisten Fällen ist das genau, und von der Gruppengeschwindigkeit kann als die Signalgeschwindigkeit der Wellenform gedacht werden. Jedoch, wenn die Welle durch ein Absorptionsmedium reist, hält das nicht immer. Seit den 1980er Jahren haben verschiedene Experimente nachgeprüft, dass es für die Gruppengeschwindigkeit von durch besonders bereite Materialien gesandten Laserlichtimpulsen möglich ist, die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum bedeutsam zu überschreiten. Jedoch, superluminal Kommunikation ist in diesem Fall nicht möglich, da die Signalgeschwindigkeit weniger bleibt als die Geschwindigkeit des Lichtes. Es ist auch möglich, die Gruppengeschwindigkeit auf die Null zu reduzieren, den Puls aufhörend, oder negative Gruppengeschwindigkeit zu haben, den Puls lassend, scheinen, sich umgekehrt fortzupflanzen. Jedoch, in allen diesen Fällen, setzen Fotonen fort, sich mit der erwarteten Geschwindigkeit des Lichtes im Medium fortzupflanzen.

Anomale Streuung geschieht in Gebieten der schnellen geisterhaften Schwankung in Bezug auf den Brechungsindex. Deshalb werden negative Werte der Gruppengeschwindigkeit in diesen Gebieten vorkommen. Anomale Streuung spielt eine grundsätzliche Rolle im Erzielen des rückwärts gerichteten Fortpflanzens und superluminal Lichtes. Anomale Streuung kann auch verwendet werden, um Gruppe und Phase-Geschwindigkeiten zu erzeugen, die in verschiedenen Richtungen sind. Materialien, die große anomale Streuung ausstellen, erlauben der Gruppengeschwindigkeit des Lichtes, c zu überschreiten und/oder negativ zu werden.

Geschichte

Die Idee von einer von einer Phase-Geschwindigkeit einer Welle verschiedenen Gruppengeschwindigkeit wurde zuerst von W.R. Hamilton 1839 vorgeschlagen, und die erste volle Behandlung war durch Rayleigh in seiner "Theorie des Tons" 1877.

Andere Ausdrücke

Für das Licht, der Brechungsindex n, sind Vakuumwellenlänge λ und Wellenlänge im Medium λ, durch verbunden

:

mit v = ω/k die Phase-Geschwindigkeit.

Die Gruppengeschwindigkeit befriedigt deshalb:

:

In drei Dimensionen

Für Wellen, die durch drei Dimensionen wie leichte Wellen reisen, werden Schallwellen, und Sache-Wellen, die Formeln für die Phase und Gruppengeschwindigkeit auf eine aufrichtige Weise verallgemeinert:

:One-Dimension:

:Three-Dimensionen:

wo Mittel der Anstieg der winkeligen Frequenz als eine Funktion des Welle-Vektoren, und der Einheitsvektor in der Richtung k ist.

Wenn die Wellen durch einen anisotropic (d. h., nicht Rotations-symmetrisch) Medium, zum Beispiel ein Kristall fortpflanzen, dann können der Phase-Geschwindigkeitsvektor und Gruppengeschwindigkeitsvektor in verschiedenen Richtungen hinweisen.

Gruppengeschwindigkeit der Sache-Welle

Albert Einstein hat zuerst die Dualität der Welle-Partikel des Lichtes 1905 erklärt. Louis de Broglie hat Hypothese aufgestellt, dass jede Partikel auch solch eine Dualität ausstellen sollte. Die Geschwindigkeit einer Partikel, er hat dann aufgehört (aber kann heute infrage gestellt werden, oben zu sehen), sollte immer der Gruppengeschwindigkeit der entsprechenden Welle gleichkommen. De Broglie hat dass abgeleitet, wenn die für das Licht bereits bekannten Dualitätsgleichungen dasselbe für eine Partikel wären, dann würde seine Hypothese halten. Das bedeutet das

:

wo E die Gesamtenergie der Partikel ist, ist p sein Schwung, ħ ist der reduzierte unveränderliche Planck. Für eine freie nichtrelativistische Partikel hieraus folgt dass

:

v_g &= \frac {\\teilweise E\{\\teilweise p\= \frac {\\teilweise} {\\teilweise p\\left (\frac {1} {2 }\\frac {p^2} {M} \right), \\

&= \frac {p} {M}, \\

&= v.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo die Masse der Partikel und v seine Geschwindigkeit ist.

Auch in der speziellen Relativität finden wir das

:

v_g &= \frac {\\teilweise E\{\\teilweise p\= \frac {\\teilweise} {\\teilweise p\\left (\sqrt {p^2c^2+m^2c^4} \right), \\

&= \frac {pc^2} {\\sqrt {p^2c^2 + m^2c^4}}, \\

&= \frac {p} {m\sqrt {\\verlassen (\frac {p} {mc }\\Recht) ^2+1}}, \\

&= \frac {p} {m\gamma}, \\

&= \frac {mv\gamma} {m\gamma}, \\

&= v.\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo M die Masse der Partikel ist, ist c die Geschwindigkeit des Lichtes in einem Vakuum, ist der Faktor von Lorentz, und v ist die Geschwindigkeit der Partikel unabhängig vom Welle-Verhalten.

Gruppengeschwindigkeit (gleich einer Geschwindigkeit eines Elektrons) sollte mit der Phase-Geschwindigkeit (gleich dem Produkt der Frequenz des Elektrons nicht verwirrt sein, die mit seiner Wellenlänge multipliziert ist).

Sowohl in der relativistischen als auch nichtrelativistischen Quant-Physik können wir die Gruppengeschwindigkeit einer Welle-Funktion einer Partikel mit der Partikel-Geschwindigkeit identifizieren. Quant-Mechanik hat diese Hypothese sehr genau demonstriert, und die Beziehung ist ausführlich für Partikeln so groß gezeigt worden wie Moleküle.

Siehe auch

  • Welle-Fortpflanzung
  • Streuung (Optik) für eine volle Diskussion von Welle-Geschwindigkeiten
  • Phase-Geschwindigkeit
  • Vordergeschwindigkeit
  • Gruppenlaufzeit und Phase verzögern
  • Geben Sie Geschwindigkeit Zeichen
  • Langsames Licht
  • Welle-Fortpflanzungsgeschwindigkeit
  • Das Definieren der Gleichung (Physik)

Referenzen

Weiterführende Literatur

  • 223 p.

Links


Giovanni Pierluigi da Palestrina / Glitnir
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