In der Geometrie ist ein orthocentric System eine Reihe vier Punkte im Flugzeug, von denen einer der orthocenter des durch die anderen drei gebildeten Dreiecks ist.

Wenn vier Punkte ein orthocentric System bilden, dann ist jeder der vier Punkte der orthocenter der anderen drei. Diese vier möglichen Dreiecke werden alle denselben Neun-Punkte-Kreis haben. Folglich müssen diese vier möglichen Dreiecke alle circumcircles mit demselben circumradius haben.

Der allgemeine Neun-Punkte-Kreis

Das Zentrum dieses allgemeinen Neun-Punkte-Kreises liegt am centroid der vier Orthocentric-Punkte. Der Radius des allgemeinen Neun-Punkte-Kreises ist die Entfernung vom Neun-Punkte-Zentrum bis den Mittelpunkt von einigen der sechs Stecker, die sich jedem Paar von Orthocentric-Punkten anschließen, durch die der allgemeine Neun-Punkte-Kreis geht. Der Neun-Punkte-Kreis führt auch die drei orthogonalen Kreuzungen an den Füßen der Höhen des vier möglichen Dreiecks durch.

Dieses allgemeine Neun-Punkte-Zentrum liegt an der Mitte Punkt des Steckers, der sich jedem Orthocentric-Punkt mit dem circumcenter des von den anderen drei Orthocentric-Punkten gebildeten Dreiecks anschließt.

Das allgemeine orthic Dreieck, sein incenter und die Ex-Zentren

Wenn die sechs Stecker, die sich jedem Paar von Orthocentric-Punkten anschließen, zu sechs Linien erweitert werden, die einander durchschneiden, erzeugen sie sieben Kreuzungspunkte. Vier dieser Punkte sind die ursprünglichen Orthocentric-Punkte, und die zusätzlichen drei Punkte sind die orthogonalen Kreuzungen an den Füßen der Höhen. Das Verbinden dieser drei orthogonalen Punkte in ein Dreieck erzeugt ein orthic Dreieck, das für alle vier möglichen Dreiecke üblich ist, die von den vier Orthocentric-Punkten gebildet sind, genommen drei auf einmal.

Bemerken Sie, dass der incenter dieses allgemeinen orthic Dreiecks einer der ursprünglichen vier Orthocentric-Punkte sein muss. Außerdem werden die drei restlichen Punkte die Ex-Zentren dieses allgemeinen orthic Dreiecks. Der Orthocentric-Punkt, der der incenter des orthic Dreiecks wird, ist, dass orthocentric am nächsten am allgemeinen Neun-Punkte-Zentrum hinweisen. Diese Beziehung zwischen dem orthic Dreieck und den ursprünglichen vier Orthocentric-Punkten führt direkt zur Tatsache, dass der incenter und die Ex-Zentren eines Bezugsdreiecks ein orthocentric System bilden.

Es ist normal, den Orthocentric-Punkt zu wählen, der der incenter des orthic Dreiecks als H der orthocenter der drei Außenorthocentric-Punkte ist, die als ein Bezugsdreieck-Abc gewählt werden. In dieser normalisierten Konfiguration wird der Punkt H immer innerhalb des Dreieck-Abc liegen, und alle Winkel des Dreieck-Abc werden akut sein. Die vier möglichen Dreiecke, die oben verwiesen sind, sind dann Dreieck-Abc, ABH, ACH und BCH. Die sechs Stecker, die oben verwiesen sind, sind AB, AC, v. Chr., AH, BH und CH. Die sieben Kreuzungen, die oben verwiesen sind, sind A, B, C, H (die ursprünglichen Orthocentric-Punkte) und H, H, H (die Füße der Höhen des Dreieck-Abc und der Scheitelpunkte des orthic Dreiecks).

Das orthocentric System und seine orthic Äxte

Die orthic Achse hat mit einem normalisierten orthocentric System A verkehrt, B, C und H, wo Abc das Bezugsdreieck ist, ist eine Linie, die drei gebildete Kreuzungspunkte durchführt, wenn jede Seite des orthic Dreiecks jede Seite des Bezugsdreiecks trifft. Denken Sie jetzt die drei anderen möglichen Dreiecke, ABH, ACH und BCH. Sie hat jeder ihre eigene orthic Achse.

Linien von Euler und homothetic orthocentric Systeme

Lassen Sie Vektoren, und bestimmen Sie die Position von jedem der vier Orthocentric-Punkte und lassen Sie = (+ + +) / 4 der Positionsvektor von N, dem allgemeinen Neun-Punkte-Zentrum sein. Schließen Sie sich an jeder der vier orthocentric weist zu ihrem allgemeinen Neun-Punkte-Zentrum hin, und erweitern Sie sie in vier Linien. Diese vier Linien vertreten jetzt die Linien von Euler der vier möglichen Dreiecke, wo die verlängerte Linie HN die Linie von Euler des Dreieck-Abc und die verlängerte Linie ist der Linie von Euler des Dreiecks BCH usw. zu sein. Wenn ein Punkt P auf der Linie von Euler gewählt wird, leiten HN des Bezugsdreieck-Abc mit einer Position solch dass = + α (&minus), wo α ein reiner unveränderlicher Unabhängiger der Positionierung der vier Orthocentric-Punkte und noch drei Punkte P, P, P solch dass = + α ist (&minus) usw., dann P, P, P, bilden P ein orthocentric System. Das hat othocentric System erzeugt ist immer homothetic zum ursprünglichen System von vier Punkten mit dem allgemeinen Neun-Punkte-Zentrum als das homothetic Zentrum und der α das Verhältnis der Ähnlichkeit.

Wenn P als der centroid G, dann α = −1/3 gewählt wird. Wenn P als der circumcenter O, dann α = −1 gewählt wird und das erzeugte orthocentric System zum ursprünglichen System kongruent ist sowie ein Nachdenken davon über das Neun-Punkte-Zentrum zu sein. In dieser Konfiguration P, P, bilden P ein Dreieck von Johnson des ursprünglichen Bezugsdreieck-Abc. Folglich der circumcircles des vier Dreieck-Abc, ABH, ACH, sind BCH alle gleich und bilden eine Reihe von Kreisen von Johnson, wie gezeigt, im angrenzenden Diagramm.

Weitere Eigenschaften

Die vier Linien von Euler eines orthocentric Systems sind zu den vier orthic Äxten eines orthocentric Systems orthogonal.

Die sechs Stecker, die sich jedem Paar der ursprünglichen vier Orthocentric-Punkte anschließen, werden Paare von Steckern erzeugen, die zu einander solch orthogonal sind, dass sie die Entfernungsgleichungen befriedigen

wo R der allgemeine circumradius der vier möglichen Dreiecke ist. Diese Gleichungen zusammen mit dem Gesetz von Sinus laufen auf die Identität hinaus

Der Lehrsatz von Feuerbach stellt fest, dass der Neun-Punkte-Kreis Tangente zum incircle und den drei Ex-Kreisen eines Bezugsdreiecks ist. Weil der Neun-Punkte-Kreis für alle vier möglichen Dreiecke in einem orthocentric System üblich ist, ist es Tangente zu 16 Kreisen, die den incircles und die Ex-Kreise der vier möglichen Dreiecke umfassen.

Irgendwelcher konisch, der die vier Orthocentric-Punkte durchführt, kann nur eine rechteckige Hyperbel sein.

Das ist ein Ergebnis des konischen Lehrsatzes von Feuerbach, der feststellt, dass für den ganzen circumconics eines Bezugsdreiecks, das auch seinen orthocenter durchführt, der geometrische Ort des Zentrums solchen circumconics den Neun-Punkte-Kreis bildet, und dass der circumconics nur rechteckige Hyperbeln sein kann.

Bemerken Sie, dass der geometrische Ort des perspectors dieser Familie von rechteckigen Hyperbeln immer auf den vier orthic Äxten liegen wird. So, wenn eine rechteckige Hyperbel durch vier Orthocentric-Punkte gezogen wird, dass sie geheftetes Zentrum von demjenigen auf dem allgemeinen Neun-Punkte-Kreis haben wird, aber sie wird vier perspectors ein auf jeder der orthic Äxte der vier möglichen Dreiecke haben. Bemerken Sie auch, dass ein Punkt auf dem Neun-Punkte-Kreis, der das Zentrum dieser rechteckigen Hyperbel ist, vier verschiedenen Definitionsabhängigen haben wird, auf welchem der vier möglichen Dreiecke als das Bezugsdreieck verwendet wird.

Die gut dokumentierten rechteckigen Hyperbeln, die vier Orthocentric-Punkte durchführen, sind Feuerbach, Jeřábek und Kiepert circumhyperbolas des Bezugsdreieck-Abc in einem normalisierten System mit H als der orthocenter.

Die vier möglichen Dreiecke haben eine Reihe vier inconics bekannt als der orthic inconics, die bestimmte Eigenschaften teilen. Die Kontakte dieser inconics mit den vier möglichen Dreiecken kommen an den Scheitelpunkten ihres allgemeinen orthic Dreiecks vor. In einem normalisierten orthocentric System ist der orthic inconic, der Tangente zu den Seiten des Dreieck-Abc ist, ein inellipse, und die orthic inconics der anderen drei möglichen Dreiecke sind Hyperbeln. Diese vier orthic inconics teilen auch denselben Punkt von Brianchon, H, die orthocentric weisen am nächsten am allgemeinen Neun-Punkte-Zentrum hin. Die Zentren dieser orthic inconics sind die Symmedian-Punkte, K der vier möglichen Dreiecke.

Es gibt viele haben cubics dokumentiert, die ein Bezugsdreieck und seinen orthocenter durchführen. Der circumcubic bekannt als der orthocubic - K006 ist darin interessant es führt drei orthocentric Systeme sowie die drei Scheitelpunkte des orthic Dreiecks (aber nicht der orthocenter des orthic Dreiecks) durch. Die drei orthocentric Systeme sind der incenter und die Ex-Zentren, das Bezugsdreieck und sein orthocenter, und schließlich spitzt der orthocenter des Bezugsdreiecks zusammen mit der drei anderen Kreuzung an, dass das kubisch mit dem circumcircle des Bezugsdreiecks hat.

• Bernard Gibert Circumcubic K006
• Clark Kimberling, "Enzyklopädie von Dreieck-Zentren". (Listen ungefähr 5000 interessante Punkte haben mit jedem Dreieck verkehrt.)