In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt das Gesetz der Gesamtabweichung oder Abweichungszergliederungsformel fest, dass, wenn X und Y zufällige Variablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum sind, und die Abweichung von Y, dann begrenzt

ist:

Auf der Sprache, die vielleicht besser Statistikern bekannt ist als zu probabilists, sind die zwei Begriffe das "unerklärte" und "hat Bestandteil der Abweichung" (vgl Bruchteil der Abweichung unerklärte, erklärte Schwankung) erklärt.

Die Nomenklatur im Titel dieses Artikels passt dem Ausdruck-Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit an. Einige Schriftsteller auf der Wahrscheinlichkeit nennen das die "bedingte Abweichungsformel" oder verwenden andere Namen.

Bemerken Sie, dass der bedingte erwartete Wert eine zufällige Variable in seinem eigenen Recht ist, dessen Wert vom Wert von X abhängt. Bemerken Sie, dass der bedingte erwartete Wert von Y gegeben das Ereignis X = y eine Funktion von y ist (das ist, wo die Anhänglichkeit an der herkömmlichen starr mit dem Fall empfindlichen Notation der Wahrscheinlichkeitstheorie wichtig wird!). Wenn wir E (Y | X = y) = g (y) dann schreiben, ist die zufällige Variable gerade g Anmerkungen von (X). Similar gelten für die bedingte Abweichung.

Beweis

Das Gesetz der Gesamtabweichung kann verwendend des Gesetzes der Gesamterwartung bewiesen werden. Erstens,

:

aus der Definition der Abweichung. Dann wenden wir das Gesetz der Gesamterwartung an, indem wir auf der zufälligen Variable X bedingen:

::

Jetzt schreiben wir den bedingten zweiten Moment von Y in Bezug auf seine Abweichung und der erste Moment um:

::

Da die Erwartung einer Summe die Summe von Erwartungen ist, können die Begriffe jetzt umgruppiert werden:

::

Schließlich erkennen wir die Begriffe in Parenthesen als die Abweichung der bedingten Erwartung E [YX] an:

::

Das Quadrat der Korrelation

In Fällen, wo solch sind, dass der bedingte erwartete Wert geradlinig ist; d. h., in Fällen wo

:

es folgt aus dem bilinearity von Cov (-,-) das

:und:

und der erklärte Bestandteil der durch die Gesamtabweichung geteilten Abweichung ist gerade das Quadrat der Korrelation zwischen Y und X; d. h., in solchen Fällen,

:

Ein Beispiel dieser Situation ist, wenn einen bivariate normalen (Gaussian) Vertrieb haben.

Höhere Momente

Ein ähnliches Gesetz für den dritten Hauptmoment μ sagt

:

+3 \,\operatorname {cov} (\operatorname {E} (Y\mid X), \operatorname {var} (Y\mid X)). \, </math>

Für höher cumulants besteht eine einfache und elegante Generalisation. Sieh Gesetz von ganzem cumulance.

Siehe auch

• Gesetz der Gesamtkovarianz, eine Generalisation

• (Problem 34.10 (b))