In der geradlinigen Algebra ist eine symmetrische Matrix eine Quadratmatrix, die seinem gleich ist umstell. Lassen Sie A eine symmetrische Matrix sein. Dann:

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Die Einträge einer symmetrischen Matrix sind in Bezug auf die Hauptdiagonale (Spitze symmetrisch, die verlassen ist, Recht zu ergründen). So, wenn die Einträge als = (a), dann geschrieben werden

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für alle Indizes i und j. Das folgende 3×3 Matrix ist symmetrisch:

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1 & 7 & 3 \\

7 & 4 &-5 \\

3 &-5 & 6\end {bmatrix}. </Mathematik>

Jede Diagonalmatrix ist symmetrisch, da alle außerdiagonalen Einträge Null sind. Ähnlich jedes diagonale Element eines Verdrehens - symmetrische Matrix muss Null sein, da jeder seine eigene Verneinung ist.

In der geradlinigen Algebra vertritt eine echte symmetrische Matrix einen selbst adjungierten Maschinenbediener über einen echten Skalarprodukt-Raum. Der entsprechende Gegenstand für einen komplizierten Skalarprodukt-Raum ist eine Matrix von Hermitian mit Komplex-geschätzten Einträgen, die seinem verbundenen gleich ist, stellen um. Deshalb, in der geradlinigen Algebra über die komplexen Zahlen, wird es häufig angenommen, dass sich eine symmetrische Matrix auf diejenige bezieht, die reellwertige Einträge hat. Symmetrische matrices erscheinen natürlich in einer Vielfalt von Anwendungen, und typische numerische geradlinige Algebra-Software macht spezielle Anpassungen für sie.

Eigenschaften

Der endlich-dimensionale geisterhafte Lehrsatz sagt, dass jede symmetrische Matrix, deren Einträge echt sind, diagonalized durch eine orthogonale Matrix sein kann. Ausführlicher: Für jede symmetrische echte Matrix dort besteht eine echte orthogonale Matrix Q solch, dass D = QAQ eine Diagonalmatrix ist. Jede symmetrische Matrix ist so, bis zur Wahl einer orthonormalen Basis, einer Diagonalmatrix.

Eine andere Weise, den geisterhaften Lehrsatz auszudrücken, besteht darin, dass eine echte n×n Matrix A wenn und nur symmetrisch ist, wenn es eine orthonormale Basis gibt, aus Eigenvektoren für A zu bestehen.

Jede echte symmetrische Matrix ist Hermitian, und deshalb sind seine alle eigenvalues echt. (Tatsächlich sind die eigenvalues die Einträge in der obengenannten Diagonalmatrix D, und deshalb wird D durch bis zur Ordnung seiner Einträge einzigartig bestimmt.) Im Wesentlichen entspricht das Eigentum, für echten matrices symmetrisch zu sein, dem Eigentum, Hermitian für den Komplex matrices zu sein.

Eine komplizierte symmetrische Matrix A kann häufig, aber nicht immer, diagonalized in der Form D = U Ein U sein, wo D komplizierte Diagonale ist und U nicht Hermitian, aber Komplex ist, der mit U U = ich orthogonal ist. In diesem Fall sind die Säulen von U die Eigenvektoren von A, und die diagonalen Elemente von D sind eigenvalues. Ein Beispiel einer komplizierten symmetrischen Matrix, die diagonalized nicht sein kann, ist

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i& 1 \\

1&-i\end {bmatrix}. </Mathematik>

Die Summe und der Unterschied von zwei symmetrischen matrices sind wieder symmetrisch, aber das ist für das Produkt nicht immer wahr: In Anbetracht symmetrischen matrices A und B dann ist AB symmetrisch, wenn, und nur wenn A und B, d. h., wenn AB = BA pendeln. So für die ganze Zahl n ist A symmetrisch, wenn A symmetrisch ist. Zwei echte symmetrische matrices pendeln, wenn, und nur wenn sie denselben eigenspaces haben.

Wenn A besteht, ist es symmetrisch, wenn, und nur wenn A symmetrisch ist.

Lassen Sie Matte den Raum von matrices anzeigen. Ein symmetrischer n &times; n Matrix wird durch n (n + 1)/2 Skalare (die Zahl von Einträgen auf oder über der Hauptdiagonale) bestimmt. Ähnlich ein Verdrehen - symmetrische Matrix wird durch n bestimmt (n &minus; 1)/2-Skalare (die Zahl von Einträgen über der Hauptdiagonale). Wenn Sym den Raum von symmetrischem matrices anzeigt und Verdrehen Sie den Raum dessen, verdrehen - symmetrischer matrices dann seitdem und}, d. h.

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wo  die direkte Summe anzeigt. Lassen Sie dann

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Bemerken Sie, dass und Das für jede Quadratmatrix X mit Einträgen von jedem Feld wahr ist, dessen Eigenschaft von 2 verschieden ist.

Jede zu einer symmetrischen Matrix kongruente Matrix ist wieder symmetrisch: Wenn X eine symmetrische Matrix dann ist, auch ist AXA für jede Matrix A.

Zeigen Sie mit dem Standardskalarprodukt auf R an. Die echte n-by-n Matrix A ist wenn und nur wenn symmetrisch

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Da diese Definition der Wahl der Basis unabhängig ist, ist Symmetrie ein Eigentum, das nur vom geradlinigen Maschinenbediener A und einer Wahl des Skalarprodukts abhängt. Diese Charakterisierung der Symmetrie ist zum Beispiel in der Differenzialgeometrie nützlich, weil jeder Tangente-Raum zu einer Sammelleitung mit einem Skalarprodukt ausgestattet sein kann, verursachend, was eine Sammelleitung von Riemannian genannt wird. Ein anderes Gebiet, wo diese Formulierung verwendet wird, ist in Räumen von Hilbert.

Eine symmetrische Matrix ist eine normale Matrix.

Zergliederung

Mit dem Jordan normale Form kann man beweisen, dass jede echte Quadratmatrix als ein Produkt von zwei echten symmetrischen matrices geschrieben werden kann, und jede komplizierte Quadratmatrix als ein Produkt von zwei komplizierten symmetrischen matrices geschrieben werden kann.

Jede echte nichtsinguläre Matrix kann einzigartig factored als das Produkt einer orthogonalen Matrix und einer symmetrischen positiven bestimmten Matrix sein, die eine polare Zergliederung genannt wird. Einzigartiger matrices kann auch factored, aber nicht einzigartig sein.

Zergliederung von Cholesky stellt fest, dass jede echte positiv-bestimmte symmetrische Matrix A ein Produkt einer Niedrig-Dreiecksmatrix L und seines ist umstellen Sie.

Wenn die Matrix unbestimmt symmetrisch ist, kann sie noch als zersetzt werden, wo ist

eine Versetzungsmatrix (vom Bedürfnis bis Türangel entstehend), eine niedrigere Einheit Dreiecksmatrix, eine symmetrische tridiagonal Matrix und

eine direkte Summe von symmetrischen 1×1 und 2×2 Blöcke.

Jede echte symmetrische Matrix A kann diagonalized sein, außerdem nimmt die eigen Zergliederung eine einfachere Form an:

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wo Q eine orthogonale Matrix ist (dessen Säulen Eigenvektoren von A sind), und ist Λ echt und diagonal (den eigenvalues auf der Diagonale zu haben).

Jute

Symmetrische echte n-by-n matrices erscheinen als die Jute zweimal unaufhörlich differentiable Funktionen von n echten Variablen.

Jede quadratische Form q auf R kann in der Form q (x) = xAx mit einer symmetrischen n-by-n Matrix A einzigartig geschrieben werden. Wegen des obengenannten geisterhaften Lehrsatzes kann man dann sagen, dass jede quadratische Form, bis zur Wahl einer orthonormalen Basis von R, wie "aussieht"

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mit reellen Zahlen λ. Das vereinfacht beträchtlich die Studie von quadratischen Formen, sowie die Studie der Niveau-Sätze {x: q (x) = 1\, die Generalisationen von konischen Abteilungen sind.

Das ist teilweise wichtig, weil das Verhalten der zweiten Ordnung jeder glatten mehrvariablen Funktion durch die quadratische Form beschrieben wird, die der Jute der Funktion gehört; das ist eine Folge des Lehrsatzes von Taylor.

Matrix von Symmetrizable

Wie man

sagt, ist eine n-by-n Matrix A symmetrizable, wenn dort eine invertible Diagonalmatrix D und symmetrische Matrix S solch dass bestehen

Das Umstellen einer symmetrizable Matrix ist symmetrizable für Eine Matrix