In der Mathematik erweitert mehrgeradlinige Algebra die Methoden der geradlinigen Algebra. Da auf geradlinige Algebra auf dem Konzept eines Vektoren gebaut wird und die Theorie von Vektorräumen entwickelt, baut mehrgeradlinige Algebra auf die Konzepte von P-Vektoren und Mehrvektoren mit der Algebra von Grassmann.

Ursprung

In einem Vektorraum der Dimension n denkt man gewöhnlich nur die Vektoren. Gemäß Hermann Grassmann und anderen verpasst diese Annahme die Kompliziertheit, die Strukturen von Paaren zu denken, verdreifacht sich, und allgemeine Mehrvektoren. Da es mehrere kombinatorische Möglichkeiten gibt, erweist sich der Raum von Mehrvektoren, 2 Dimensionen zu haben. Die abstrakte Formulierung der Determinante ist die unmittelbarste Anwendung.

Mehrgeradlinige Algebra hat auch Anwendungen in der mechanischen Studie der materiellen Antwort auf Betonung und Beanspruchung mit verschiedenen Modulen der Elastizität. Diese praktische Verweisung hat zum Gebrauch des Worttensor geführt, um die Elemente des mehrgeradlinigen Raums zu beschreiben. Die Extrastruktur in einem mehrgeradlinigen Raum hat es dazu gebracht, eine wichtige Rolle in verschiedenen Studien in der höheren Mathematik zu spielen. Obwohl Grassmann das Thema 1844 mit seinem Ausdehnungslehre angefangen hat, und 1862 neu veröffentlicht hat, war seine Arbeit langsam, um Annahme zu finden, weil gewöhnliche geradlinige Algebra genügend Herausforderungen an das Verständnis zur Verfügung gestellt hat.

Das Thema der mehrgeradlinigen Algebra wird in einigen Studien der multivariate Rechnung angewandt und vervielfältigt, wohin die Matrix von Jacobian in Spiel eintritt. Die unendlich kleinen Differenziale der einzelnen variablen Rechnung werden Differenzialformen in der multivariate Rechnung, und ihre Manipulation wird mit der Außenalgebra getan.

Nach etwas einleitender Arbeit von Elwin Bruno Christoffel ist ein Hauptfortschritt in der mehrgeradlinigen Algebra in der Arbeit von Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita gekommen (sieh Verweisungen). Es war die absolute Differenzialrechnungsform der mehrgeradlinigen Algebra, die Marcel Grossman und Michele Besso in Albert Einstein eingeführt haben. Die Veröffentlichung 1915 von Einstein einer allgemeinen Relativitätserklärung für die Vorzession der Sonnennähe von Quecksilber, gegründeter mehrgeradliniger Algebra und Tensor als physisch wichtige Mathematik.

Verwenden Sie in der algebraischen Topologie

Um die Mitte des 20. Jahrhunderts wurde die Studie des Tensor abstrakter wiederformuliert. Die Abhandlung der Bourbaki Gruppe Mehrgeradlinige Algebra war - tatsächlich der Begriff mehrgeradlinige Algebra besonders einflussreich, wurde wahrscheinlich dort ins Leben gerufen.

Ein Grund war zurzeit ein neues Gebiet der Anwendung, homological Algebra. Die Entwicklung der algebraischen Topologie während der 1940er Jahre hat zusätzlichen Ansporn für die Entwicklung einer rein algebraischen Behandlung des Tensor-Produktes gegeben. Die Berechnung der Homologie-Gruppen des Produktes von zwei Räumen ist mit dem Tensor-Produkt verbunden; aber nur in den einfachsten Fällen, wie ein Ring, ist es direkt berechnet auf diese Mode (sieh Lehrsatz von Künneth). Die topologischen Phänomene waren fein genug, um besser foundational Konzepte zu brauchen; technisch sprechend, musste der Felsturm functors definiert werden.

Das Material, um sich zu organisieren, war einschließlich auch Ideen ziemlich umfassend, die Hermann Grassmann, den Ideen aus der Theorie von Differenzialformen zurückgehen, die zu De Rham cohomology, sowie elementareren Ideen wie das Keil-Produkt geführt hatten, das das Kreuzprodukt verallgemeinert.

Das resultierende ziemlich strenge Schreiben des Themas (durch Bourbaki) hat völlig eine Annäherung in der Vektor-Rechnung (der quaternion Weg, d. h. im allgemeinen Fall, der Beziehung mit Lüge-Gruppen) zurückgewiesen. Sie haben stattdessen eine neuartige Annäherung mit der Kategorie-Theorie mit der als eine getrennte Sache angesehenen Lüge-Gruppenannäherung angewandt. Da das zu einer viel saubereren Behandlung führt, gab es wahrscheinlich nicht das Zurückgehen in rein mathematischen Begriffen. (Ausschließlich wurde die universale Eigentumsannäherung angerufen; das ist etwas allgemeiner als Kategorie-Theorie und die Beziehung zwischen den zwei, weil abwechselnde Wege auch zur gleichen Zeit geklärt wurden.)

Tatsächlich, was getan wurde, soll fast genau erklären, dass Tensor-Räume die Aufbauten sind, die erforderlich sind, mehrgeradlinige Probleme auf geradlinige Probleme zu reduzieren. Dieser rein algebraische Angriff befördert keine geometrische Intuition.

Sein Vorteil ist, dass durch das Wiederausdrücken von Problemen in Bezug auf die mehrgeradlinige Algebra es eine klare und bestimmte 'beste Lösung' gibt: Die Einschränkungen, die die Lösung ausübt, sind genau diejenigen Sie brauchen in der Praxis. Im Allgemeinen gibt es kein Bedürfnis, jeden Ad-Hoc-Aufbau, geometrische Idee oder Zuflucht anzurufen, um Systeme zu koordinieren. Im mit der Kategorie theoretischen Jargon ist alles völlig natürlich.

Beschluss auf der abstrakten Annäherung

Im Prinzip kann die abstrakte Annäherung alles Getanes über die traditionelle Annäherung wieder erlangen. In der Praxis kann das nicht so einfach scheinen. Andererseits ist der Begriff von natürlichen mit dem allgemeinen Kovarianz-Grundsatz der allgemeinen Relativität im Einklang stehend. Die letzten Geschäfte mit Tensor-Feldern (Tensor, der sich vom Punkt bis Punkt auf einer Sammelleitung ändert), aber Kovarianz, behaupten, dass die Sprache des Tensor für die richtige Formulierung der allgemeinen Relativität notwendig ist.

Einige Jahrzehnte später wurde die ziemlich abstrakte Ansicht, die aus der Kategorie-Theorie kommt, mit der Annäherung angebunden, die in den 1930er Jahren von Hermann Weyl (in seinem Buch Classical Groups) entwickelt worden war. In einem Weg hat das den Theorie-Vollkreis genommen, noch einmal den Inhalt von alten und neuen Gesichtspunkten verbindend.

Themen in der mehrgeradlinigen Algebra

Der Gegenstand der mehrgeradlinigen Algebra hat weniger entwickelt als die Präsentation unten die Jahre. Hier sind weitere dafür zentral wichtige Seiten:

• Tensor
• Doppelraum
• bilinearer Maschinenbediener
• Skalarprodukt
• mehrgeradlinige Karte
• Außenalgebra
• Die Regierung von Cramer
• teilfreie Behandlung des Tensor
• Delta von Kronecker
• Tensor-Zusammenziehung
• Mischtensor
• Symbol von Levi-Civita
• Tensor-Algebra, freie Algebra
• symmetrische Algebra, symmetrische Macht
• Außenableitung
• Notation von Einstein
• symmetrischer Tensor
• metrischer Tensor

Es gibt auch ein Wörterverzeichnis der Tensor-Theorie.

Aus dem Gesichtswinkel von Anwendungen

Einige der Wege, auf die mehrgeradlinige Algebra-Konzepte angewandt werden:

• klassische Behandlung des Tensor
• dyadischer Tensor
• Notation des Büstenhalters-ket
• geometrische Algebra
• Algebra von Clifford
• Pseudoskalar
• Pseudovektor
• spinor
• Außenprodukt
• hyperkomplizierte Zahl
• mehrgeradliniger Subraum, der erfährt
• Hermann Grassmann (2000) Erweiterungstheorie, amerikanische Mathematische Gesellschaft. Übersetzung von Lloyd Kannenberg von 1862-Ausdehnungslehre.
• Wendell H. Fleming (1965) Funktionen von mehreren Variablen, Addison-Wesley.

:: Die zweite internationale Springer-Standardbuchnummer der Ausgabe (1977) 3-540-90206-6.

:: Kapitel: Außenalgebra und Differenzialrechnung # 6 in der 1. Hrsg., # 7 im 2.