Stochastische Rechnung ist ein Zweig der Mathematik, die auf stochastischen Prozessen funktioniert. Es erlaubt einer konsequenten Theorie der Integration, für Integrale von stochastischen Prozessen in Bezug auf stochastische Prozesse definiert zu werden. Es ist an Mustersysteme gewöhnt, die sich zufällig benehmen.

Der am besten bekannte stochastische Prozess, auf den stochastische Rechnung angewandt wird, ist der Prozess von Wiener (genannt zu Ehren von Norbert Wiener), der verwendet wird, um Brownsche Bewegung, wie beschrieben, durch Louis Bachelier 1900 und durch Albert Einstein 1905 und andere physische Diffusionsprozesse im Raum des Partikel-Themas zufälligen Kräften zu modellieren. Seit den 1970er Jahren ist der Prozess von Wiener in der Finanzmathematik und Volkswirtschaft weit angewandt worden, um die Evolution in der Zeit von Aktienpreisen und Band-Zinssätzen zu modellieren.

Die Hauptgeschmäcke nach der stochastischen Rechnung sind die Itō Rechnung und sein abweichender Verwandter die Rechnung von Malliavin. Aus technischen Gründen ist das Itō Integral für allgemeine Klassen von Prozessen am nützlichsten, aber der verwandte integrierte Stratonovich ist in der Problem-Formulierung oft nützlich (besonders in Technikdisziplinen.) Der integrierte Stratonovich kann in Bezug auf das Itō Integral sogleich ausgedrückt werden. Der Hauptvorteil des integrierten Stratonovichs ist, dass es der üblichen Kettenregel folgt und deshalb Itō's Lemma nicht verlangt. Das ermöglicht Problemen, in einem Koordinatensystem invariant Form ausgedrückt zu werden, die unschätzbar ist, wenn sie stochastische Rechnung auf Sammelleitungen außer R entwickelt.

Der beherrschte Konvergenz-Lehrsatz hält für den integrierten Stratonovich nicht, folglich ist es sehr schwierig, Ergebnisse zu beweisen, ohne die Integrale in der Itō-Form wiederauszudrücken.

Integrierter Itō

Das Itō Integral ist zur Studie der stochastischen Rechnung zentral. Das Integral wird für ein Halbmartingal X definiert und hat lokal voraussagbaren Prozess H. begrenzt

Integrierter Stratonovich

Der Stratonovich, der eines Halbmartingals gegen ein anderes Halbmartingal Y integriert ist, kann in Bezug auf das Itō Integral als definiert werden

wo [X, Y] den quadratischen covariation der dauernden Teile von X anzeigt

und Y. Die alternative Notation

wird auch verwendet, um den integrierten Stratonovich anzuzeigen.

Anwendungen

Eine sehr wichtige Anwendung der stochastischen Rechnung ist in der quantitativen Finanz, in der, wie man häufig annimmt, Anlagenpreise stochastischen Differenzialgleichungen folgen. Im Schwarzen-Scholes Modell, wie man annimmt, folgen Preise der geometrischen Brownschen Bewegung.

• Fima C Klebaner, 2012, Einführung in die Stochastische Rechnung mit der Anwendung (3. Ausgabe). Das wissenschaftliche Weltveröffentlichen, ISBN:9781848168312
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