In der mathematischen Logik hat ein logisches System das Stichhaltigkeitseigentum, wenn, und nur wenn seine Interferenzregeln nur Formeln beweisen, die in Bezug auf seine Semantik gültig sind. In den meisten Fällen läuft das auf seine Regeln hinaus, die das Eigentum haben, Wahrheit zu bewahren, aber das ist nicht der Fall im Allgemeinen. Das Wort ist auf den germanischen 'Sund' als in Gesundheit zurückzuführen, Gesundheit bedeutend. Um so zu sagen, dass ein Argument gesunde Mittel im Anschluss an die Etymologie ist, zu sagen, dass das Argument gesund ist.

Argumente

Ein Argument ist wenn und nur wenn gesund

1. Das Argument ist gültig.
2. Alle seine Propositionen sind wahr.

Zum Beispiel,

:All-Männer sind sterblich.

:Socrates ist ein Mann.

:Therefore, Sokrates ist sterblich.

Das Argument ist gültig (weil der Beschluss gestützt an Ort und Stelle wahr ist, d. h. dass der Beschluss den Propositionen folgt), und da die Propositionen tatsächlich wahr sind, ist das Argument gesund.

Das folgende Argument ist gültig, aber nicht gesund:

:All-Organismen mit Flügeln können fliegen.

:Penguins haben Flügel.

:Therefore, Pinguine können fliegen.

Da die erste Proposition wirklich falsch ist, ist das Argument, obwohl gültig, nicht gesund.

Logische Systeme

Stichhaltigkeit ist unter den grundsätzlichsten Eigenschaften der mathematischen Logik. Ein Stichhaltigkeitseigentum stellt den anfänglichen Grund dafür zur Verfügung, ein logisches System als wünschenswert aufzuzählen. Das Vollständigkeitseigentum bedeutet, dass jede Gültigkeit (Wahrheit) nachweisbar ist. Zusammen deuten sie an, dass ganz und nur Gültigkeit nachweisbar ist.

Die meisten Beweise der Stichhaltigkeit sind trivial. Zum Beispiel, in einem axiomatischen System, beläuft sich der Beweis der Stichhaltigkeit auf das Überprüfen der Gültigkeit der Axiome, und dass die Regeln der Schlussfolgerung Gültigkeit (oder das schwächere Eigentum, die Wahrheit) bewahren. Die meisten axiomatischen Systeme haben nur die Regel des Modus ponens (und manchmal Ersatz), so verlangt es nur das Überprüfen der Gültigkeit der Axiome und einer Regel der Schlussfolgerung.

Stichhaltigkeitseigenschaften kommen in zwei Hauptvarianten: Schwache und starke Stichhaltigkeit, deren der erstere eine eingeschränkte Form der Letzteren ist.

Stichhaltigkeit

Die Stichhaltigkeit eines deduktiven Systems ist das Eigentum, dass jeder Satz, der in diesem deduktiven System nachweisbar ist, auch auf allen Interpretationen oder Modellen der semantischen Theorie für die Sprache wahr ist, auf die diese Theorie basiert. In Symbolen, wo S das deduktive System, L die Sprache zusammen mit seiner semantischen Theorie und P ein Satz von L ist: wenn  P, dann auch  P. Mit anderen Worten ist ein System gesund, wenn jeder seiner Lehrsätze (d. h. Formeln, die vom leeren Satz nachweisbar sind), in jeder Struktur der Sprache gültig ist.

Starke Stichhaltigkeit

Die starke Stichhaltigkeit eines deduktiven Systems ist das Eigentum, dass jeder Satz P der Sprache, auf die das deduktive System basiert, der von einem Satz Γ von Sätzen dieser Sprache ableitbar ist, auch eine logische Folge dieses Satzes im Sinn ist, dass jedes Modell, das alle Mitglieder von Γ wahr macht, auch P wahr machen wird. In Symbolen, wo Γ eine Reihe von Sätzen von L ist: wenn Γ  P, dann auch Γ  P. Bemerken Sie, dass in der Behauptung der starken Stichhaltigkeit, wenn Γ leer ist, wir die Behauptung der schwachen Stichhaltigkeit haben.

Arithmetische Stichhaltigkeit

Wenn T eine Theorie ist, deren Gegenstände des Gesprächs als natürliche Zahlen interpretiert werden können, sagen wir, dass T arithmetisch gesund ist, wenn alle Lehrsätze von T über die normalen mathematischen ganzen Zahlen wirklich wahr sind. Für die weitere Information, sieh ω-consistent Theorie.

Beziehung zur Vollständigkeit

Das gegenteilige vom Stichhaltigkeitseigentum ist das semantische Vollständigkeitseigentum. Ein deduktives System mit einer semantischen Theorie ist stark abgeschlossen, wenn jeder Satz P, der eine semantische Folge von einer Reihe von Sätzen Γ ist, im Abzug-System von diesem Satz abgeleitet werden kann. In Symbolen: wann auch immer, dann auch. Die Vollständigkeit der Logik der ersten Ordnung wurde zuerst von Gödel ausführlich gegründet, obwohl einige der Hauptergebnisse in der früheren Arbeit von Skolem enthalten wurden.

Informell drückt ein Stichhaltigkeitslehrsatz für ein deduktives System aus, dass alle nachweisbaren Sätze wahr sind. Vollständigkeit stellt fest, dass alle wahren Sätze nachweisbar sind.

Der erste Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel zeigt, dass für Sprachen, die genügend sind, für einen bestimmten Betrag der Arithmetik zu tun, es kein wirksames deduktives System geben kann, das in Bezug auf die beabsichtigte Interpretation der Symbolik dieser Sprache abgeschlossen ist. So sind nicht alle gesunden deduktiven Systeme in diesem speziellen Sinn der Vollständigkeit abgeschlossen, in der die Klasse von Modellen (bis zum Isomorphismus) auf den beabsichtigten eingeschränkt wird. Der ursprüngliche Vollständigkeitsbeweis gilt für alle klassischen Modelle, nicht eine spezielle richtige Unterklasse von beabsichtigten.

• Irving Copi. Symbolische Logik, 5. Hrsg., Macmillian Publishing Co., 1979.
• Boolos, Bürger, Jeffrey. Berechenbarkeit und Logik, 4. Hrsg., Cambridge, 2002.

Außenverbindungen

Gültigkeit und Stichhaltigkeit in der Internetenzyklopädie der Philosophie.